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2 数据的波动程度导学案
学习目标
1.观察与分析数据特征，探究与发现数据波动性大小，了解与掌握数据方差公式.
2.培养学生运用方差计算公式，探索解决实际问题的能力;通过探究活动来发展学生的
用能力和创新能力.
重点：掌握方差计算公式.
难点：会观察与分析数据的特征,理解数据波动性的实际意义及方差产生的必要性.
学习过程
【自学指导、合作探究】
北京奥运会上，中国健儿取得了51金，21银，28铜的好成绩，位列金牌榜首位，其中，中国射击队功不可没，取得了四枚金牌
如果你是教练：甲，乙两名射击手现要挑选一名射击手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？
乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 7 8 8 8 9
乙命中环数 10 6 10 6 8
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统图；
⑶ 现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？
在平均数相同的情况下，用什么数据来衡量，来决定.
方差定义：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，…，我们用它们的平均数，即用
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 （第1题）
.
意义：用来衡量一批数据的波动大小
在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定
归纳：（1）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小
（2）方差主要应用在平均数相等或接近时
（3）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的
2. 因此在上一题的引入中：
计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
在刚才的例子中，乙选手的方差为3.2，甲选手的方差为0.4，即S2甲< S2乙，因此，甲选手的稳定性比较好，发挥比较稳定，在平均数相同的情况下，建议教练选甲选手参赛
（1）样本方差的作用是（ ）
（A）表示总体的平均水平 （B）表示样本的平均水平
（C）准确表示总体的波动大小 （D）表示样本的波动大小
（2）在样本方差的计算公式
数字10 表示（ ）
数字20 表示（ ）
（3）样本5、6、7、8、9、的方差是多少？
（4）甲乙两个班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 ５５ １４９ １９１ １３５
乙 ５５ １５１ １１０ １３５
某同学分析上表后得出如下结论：
甲乙两班学生成绩平均水平相同
乙班优秀人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥１５０个为优秀）
【同步演练、拓展提升】
1甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图6－28所示．（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中8环以上次数
甲 7 7 1
乙 5.4
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析．
①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．
答：①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从平均数和命中9环以上的次数 相结合看（分析谁的成绩好些）；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．
六、达标训练
1.数据-2，-1，0，1，2的方差是（ ）
A．0 B． C．2 D．4
2.某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为=141.7，=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定
3.甲、乙两名学生的十次数学考试成绩的平均分分别是145和146，成绩的方差分别是8.5和60.5，现在要从两人中选择一人参加数学竞赛，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人平均分相当，选谁都可以
B．乙的平均分比甲高，选乙
C．乙的平均分和方差都比甲高，选乙
D．两人的平均分相当，甲的方差小，成绩比乙稳定，选甲
4.某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ）
甲 乙 丙 丁
.x 8 9 9 8
s2 1 1 1.2 1.3
5.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7000
木工 4 6000
瓦工 5 5000
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差______
变大（填“变小”、“不变”或“变大”）．
6.在2017年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ）
A．18，18，1 B．18，17.5，3
C．18，18，3 D．18，17.5，1
7.甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为_____（填＞或＜）．
8.为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”．短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组．在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题．
（1）请根据图中信息，补齐下面的表格；
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小明 13.3 13.4 13.3 13.3
小亮 13.2 13.1 13.5 13.3
（2）分别计算他们的平均数、极差和方差，若你是他们的教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？
参考答案
1.C[提示：∵数据-2，-1，0，1，2的平均数是：（-2-1+0+1+2）÷5=0，∴数据-2，-1，0，1，2的方差是：×[（-2）2+（-1）2+02+12+22]=2．]
2.B[提示：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，∵141.7＜433.3，∴＜，即甲种水稻的产量稳定，∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．]
3.[提示：∵甲的方差是8.5，乙的方差是60.5，∴甲的方差小于乙的方差，∴甲的成绩比乙稳定；∵甲、乙的平均成绩分别是145，146，∴平均分相当.]
4.B[提示：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙.]
5.增大[提示：∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大．]
6.A[提示：这组数据18出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是18；把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（18+18）÷2=18，则中位数是18；这组数据的平均数是：（17×2+18×3+20）÷6=18，则方差是：[2×（17-18）2+3×（18-18）2+（20-18）2]=1.]
7.＞[提示：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故＞．]
8.解：（1）
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小明 13.3 13.4 13.3 13.2 13.3
小亮 13.2 13.4 13.1 13.5 13.3
（2）小明：平均分为13.3，极差为0.2，方差为0.004，小亮：平均分为13.3，极差为0.4，方差为0.02，∵S2小明＜S2小亮，
∴小明同学的成绩较为稳定，但是他的最高成绩没有小亮高，爆发力不够，有待提高．而小亮同学爆发力还行，但是成绩不稳定，需加强．
0
1
2
2
3
4
5
4
6
8
10
成绩（环）
射击次序
=8（环）
=8（环）
甲
x
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20.2 数据的波动程度
第2课时 根据方差做决策
2.方差的计算公式： ______________，
方差越大，________越大；方差越小，_____ 越小.
数据的波动
数据的波动
1.下列统计量中，能反蚋一名同学在7-9年级学段的学习成绩稳定程度的是（ ）
A. 平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
D
3.在方差的计算公式 中，数字10和20分别表示（ ）
A.样本的容量和方差
B.平均数和样本的容量
C.样本的容量和平均数
D.样本的方差和平均数
C
复习导入
4.已知一组数据-2，-1，0，x，1的平均数是0，那么这组数据的方差是 ．
5.甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且打中环数的平均数 ，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是 S2甲 S2乙.
2
<
引例 某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在 五天中进球的个数统计结果如下：
队员 每人每天进球数
甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球的平均数为 x甲=8，方差为 .
合作探究
活动：探究用样本的方差估计总体的方差并利用方 差作决策
(1)求乙进球的平均数和方差；
(2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．
方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据
的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数
相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的
波动情况．
知识要点
例2 某农民几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽了100棵蜜橘，成活98%，现已挂果，经济效益显著，为了分析经营情况，他从甲山随意采摘了3棵树上的蜜橘称得质量分别为25，18，20、21千克；他从乙山随意采摘了4棵树上的蜜橘，称得质量分别为21，24，19,20千克.如下表：
（1）4+4=8；
解：
甲（千克） 25 18 20 21
乙（千克） 21 24 19 20
（1）样本容量是多少？
（2）样本平均数是多少？并估算出甲、乙两山蜜橘
的总产量？
甲（千克） 25 18 20 21
乙（千克） 21 24 19 20
解：x甲=21， x乙=21
（3）甲、乙两山哪个山上蜜橘长势较整齐？
甲（千克） 25 18 20 21
乙（千克） 21 24 19 20
__
用样估计总体是统计的基本思想，正像用样本平均数估计总体平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，实际常常用样本的方差来估计总体的方差.
1.在什么情况下要用样本的方差估总体方差？
2.用样本的方差估总体方差要注意什么？
当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php(共18张PPT)
20.2 数据的波动程度
第1课时 方差
农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．
选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
复习导入
品种 各试验田每公顷产量（单位：吨）
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.58 7.44 7.49
7.58 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
（1）甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明．
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．
品种 各试验田每公顷产量（单位：吨）
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.58 7.44 7.49
7.58 7.58 7.46 7.53 7.49
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据波动（离散）程度的量，其中最重要的就是方差.
品种 各试验田每公顷产量（单位：吨）
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.58 7.44 7.49
7.58 7.58 7.46 7.53 7.49
（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
合作探究
活动：探究方差的计算、意义及应用
品种 各试验田每公顷产量（单位：吨）
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.58 7.44 7.49
7.58 7.58 7.46 7.53 7.49
（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
①为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下的图．
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
产量波动较大
产量波动较小
②统计学中常采用下面的做法来量化这组数据的波动大小：
设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，
我们用这些值的平均数，即用
来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差．
根据 讨论下列问题：
（1）数据比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，方差值怎样？
（2）数据比较集中（即数据在平均数附近波动较小）时，方差值怎样？
（3）方差的大小与数据的波动性大小有怎样的关系？
结论:方差越大,数据的波动性越大;方差越小,数据的波动性越小.
③请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．
两组数据的方差分别是：
品种 各试验田每公顷产量（单位：吨）
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.58 7.44 7.49
7.58 7.58 7.46 7.53 7.49
显然 ＞ ，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致．
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定，进而可以推测在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲的稳定，综合考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳定性，可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米.
1.利用计算器的________功能可以求方差，一般操作的步骤是：
（1）按动有关键，使计算器进入_______状态；
（2）依次输入数据x1，x2，……，xn；
（3）按动求方差的功能键（例如________键），计算器显示结果.
统计
统计
σx2
认真阅读课本的内容，完成下面的填空.
怎样用计算器求方差
问题1：什么叫做方差？
问题2：方差的统计意义是什么？
设有n 个数据x1，x2，…，xn ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 ，我们用它们的平均数，即用
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance），记作s2.
刻画数据的波动程度，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小.
（1）方差怎样计算？
（2）你如何理解方差的意义？
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
方差的适用条件：
当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．
方差计算步骤分解：一求平均数；二求差；三求平方；四求和；五求平均数.
知识要点
例 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中
两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7 ；
乙：8 9 7 9 7 .
计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
解：
所以是乙台编织机出的产品的波动性较小.
1.方差的计算公式
=___________________________________；
2.方差的意义
方差用来衡量一组数据的波动大小（即这组数据偏离平均数的大小.在样本容量相同的情况下，
方差越大，_________越大；
方差越小，_________越小.
波动性
波动性
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
