9.2多边形的内角和学案
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课题 多边形的内角和 课型 新授课 课时 35 主备人 姜波
学习目标 1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。
学习重点 多边形的内角和定理。
学习难点 多边形的内角和定理的推导。
知识链接 _______________________________________叫三角形.三角形的内角和是________°_________________________________________________叫三角形的外角，三角形有_______个外角，三角形的外角和是__________°
学习内容 学法指导 学习反思
多变形的定义及相关概念多边形分类外角概念正多边形对角线多边形内角和的计算公式例题学习内角和的其它推导方法巩固训练 阅读教材 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 1．多边形的概念， 三角形有三个内角、三条边，我们也可 ( http: / / www.21cnjy.com )以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。 你能说出什么叫四边形、五边形吗 如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。 一般地，由_____________________________连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。 图1 图22.多边形分类①________________；②________________3.多边形的外角与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有____个内角，有_____个外角。4.正多边形如果多边形的各边都______，各内角也都_______，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。5.对角线连结多边形不_______的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 错误！不能通过编辑域代码创建对象。问：(1)四边形有几条对角线 (两条AC、BD) (2)五边形有几条对角线 以A为端点的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。(3)六边形有几条对角线 n边形呢 六边形有9条对角线。 从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，因此，我们可以得到n边形的对角线的条数的计算公式：6．多边形的内角和公式。 三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢 让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。填写教材表9.2.1,由此，你可以得到”边形的内角和公式吗 n边形的内角和＝(n-2)·180°（1）知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。（2）知道多边形的边数,可以求出多边形的度数例1.求八边形的内角和的度数。解： 例2.已知多边形的内角和的度数为900°，求这个多边形的边数？解： 例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数.解: 拓展：对于正多边形来说，因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数（n－2）×180°/ n例4.正五边形的每一个内角等于_____.例5.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是_____二．思路拓展：多边形的内角和等于(n-2)·180° ( http: / / www.21cnjy.com )，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形 这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系 请你试一试。 如图(教科书图9.2.5) ( http: / / www.21cnjy.com )每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以 P为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。因此，n边形的内角和为： n·180°-360°＝n·180°-2·180°=(n-2)·180° 问：还有其他方法吗 请自主探索！三、练习教科书第86页练习1、2。 类比三角形给多边形下定义区分两类不同的多边形类比三角形外角由正三角形、正方形来归纳归纳对角线条数计算公式在三角形的内角和基础上推出尝试运用 思考探究自主训练，进一步熟练应用知识。
学习小结 多边形的内角和是_______________.多边形的对角线有________________条。正多边形每个内角的度数是______________. 自主总结
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一 耐心选一选，你会开心（每题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )4分，共28分）1.下列多边形中,正多边形有( )个.①等腰直角三角形②等边三角形③菱形④长方形⑤正方形⑥等腰梯形⑦五边形A 2 B 3 C 4 D 52．四边形的三个内角分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，那么第四个顶点处的外角为（ ）Ａ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｂ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ． ( http: / / www.21cnjy.com )3．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）Ａ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｂ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ． ( http: / / www.21cnjy.com )4．一个多边形的边数减少 ( http: / / www.21cnjy.com )，则它的内角和（ ）Ａ．不变 Ｂ．减少 ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ．减少 ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ．增加 ( http: / / www.21cnjy.com )5.若 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的内角和是 ( http: / / www.21cnjy.com )，则边数 ( http: / / www.21cnjy.com )为（ ）Ａ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｂ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ． ( http: / / www.21cnjy.com )6.若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（ ） Ａ．八边形 Ｂ．九边形 Ｃ．十边形 Ｄ．十二边形7．一个多边形共有 ( http: / / www.21cnjy.com )条对角线，则这个多边形的边数是（ ）Ａ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｂ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ． ( http: / / www.21cnjy.com )二 精心填一填，你会轻松（每题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )4分，共24分）8．若 ( http: / / www.21cnjy.com )边形内角和为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则其边数 ( http: / / www.21cnjy.com )为_____．9．一个多边形的每一个内角都等于 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么这个多边形的边数为_____10．若一个正多边形的每一个外角都是 ( http: / / www.21cnjy.com )，则这个正多边形的内角和等于 度．11．已知一个多边形的内角和与外角和的比为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则它的边数是_____．12．五边形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )，则其中最大内角为_____度．13.若一个多边形的内角和是1800°,则从它的一个顶点可引________条对角线.三 细心做一做，你会成功14．有两个正多边形，若这两个正多边形边数的比为 ( http: / / www.21cnjy.com )，内角的比为 ( http: / / www.21cnjy.com )，你能确定它们的边数吗？请说明理由．(9分) 15．小美想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008 ( http: / / www.21cnjy.com )的多边形图案多有意义，小美的想法能实现吗？(9分)
学习目标 1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。
学习重点 多边形的内角和定理。
学习难点 多边形的内角和定理的推导。
知识链接 _______________________________________叫三角形.三角形的内角和是________°_________________________________________________叫三角形的外角，三角形有_______个外角，三角形的外角和是__________°
学习内容 学法指导 学习反思
多变形的定义及相关概念多边形分类外角概念正多边形对角线多边形内角和的计算公式例题学习内角和的其它推导方法巩固训练 阅读教材 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 1．多边形的概念， 三角形有三个内角、三条边，我们也可 ( http: / / www.21cnjy.com )以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。 你能说出什么叫四边形、五边形吗 如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。 一般地，由_____________________________连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。 图1 图22.多边形分类①________________；②________________3.多边形的外角与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有____个内角，有_____个外角。4.正多边形如果多边形的各边都______，各内角也都_______，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。5.对角线连结多边形不_______的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 错误！不能通过编辑域代码创建对象。问：(1)四边形有几条对角线 (两条AC、BD) (2)五边形有几条对角线 以A为端点的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。(3)六边形有几条对角线 n边形呢 六边形有9条对角线。 从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，因此，我们可以得到n边形的对角线的条数的计算公式：6．多边形的内角和公式。 三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢 让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。填写教材表9.2.1,由此，你可以得到”边形的内角和公式吗 n边形的内角和＝(n-2)·180°（1）知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。（2）知道多边形的边数,可以求出多边形的度数例1.求八边形的内角和的度数。解： 例2.已知多边形的内角和的度数为900°，求这个多边形的边数？解： 例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数.解: 拓展：对于正多边形来说，因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数（n－2）×180°/ n例4.正五边形的每一个内角等于_____.例5.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是_____二．思路拓展：多边形的内角和等于(n-2)·180° ( http: / / www.21cnjy.com )，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形 这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系 请你试一试。 如图(教科书图9.2.5) ( http: / / www.21cnjy.com )每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以 P为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。因此，n边形的内角和为： n·180°-360°＝n·180°-2·180°=(n-2)·180° 问：还有其他方法吗 请自主探索！三、练习教科书第86页练习1、2。 类比三角形给多边形下定义区分两类不同的多边形类比三角形外角由正三角形、正方形来归纳归纳对角线条数计算公式在三角形的内角和基础上推出尝试运用 思考探究自主训练，进一步熟练应用知识。
学习小结 多边形的内角和是_______________.多边形的对角线有________________条。正多边形每个内角的度数是______________. 自主总结
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一 耐心选一选，你会开心（每题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )4分，共28分）1.下列多边形中,正多边形有( )个.①等腰直角三角形②等边三角形③菱形④长方形⑤正方形⑥等腰梯形⑦五边形A 2 B 3 C 4 D 52．四边形的三个内角分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，那么第四个顶点处的外角为（ ）Ａ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｂ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ． ( http: / / www.21cnjy.com )3．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）Ａ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｂ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ． ( http: / / www.21cnjy.com )4．一个多边形的边数减少 ( http: / / www.21cnjy.com )，则它的内角和（ ）Ａ．不变 Ｂ．减少 ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ．减少 ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ．增加 ( http: / / www.21cnjy.com )5.若 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的内角和是 ( http: / / www.21cnjy.com )，则边数 ( http: / / www.21cnjy.com )为（ ）Ａ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｂ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ． ( http: / / www.21cnjy.com )6.若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（ ） Ａ．八边形 Ｂ．九边形 Ｃ．十边形 Ｄ．十二边形7．一个多边形共有 ( http: / / www.21cnjy.com )条对角线，则这个多边形的边数是（ ）Ａ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｂ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｃ． ( http: / / www.21cnjy.com ) Ｄ． ( http: / / www.21cnjy.com )二 精心填一填，你会轻松（每题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )4分，共24分）8．若 ( http: / / www.21cnjy.com )边形内角和为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则其边数 ( http: / / www.21cnjy.com )为_____．9．一个多边形的每一个内角都等于 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么这个多边形的边数为_____10．若一个正多边形的每一个外角都是 ( http: / / www.21cnjy.com )，则这个正多边形的内角和等于 度．11．已知一个多边形的内角和与外角和的比为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则它的边数是_____．12．五边形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )，则其中最大内角为_____度．13.若一个多边形的内角和是1800°,则从它的一个顶点可引________条对角线.三 细心做一做，你会成功14．有两个正多边形，若这两个正多边形边数的比为 ( http: / / www.21cnjy.com )，内角的比为 ( http: / / www.21cnjy.com )，你能确定它们的边数吗？请说明理由．(9分) 15．小美想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008 ( http: / / www.21cnjy.com )的多边形图案多有意义，小美的想法能实现吗？(9分)