河南省周口市项城市重点高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（解析版）

河南省周口市项城市重点高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题
1．过两点和的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，若，，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．8
3．已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
4．已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知函数及其导函数满足，则（ ）
A． B．0 C． D．
6．抛物线的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．7 B．9 C．81 D．3
8．曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
9．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．平行或线在面内
10．已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数在处有极值0，则的值为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
12．过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数的导数为__________．
14．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为____________．
15．已知数列中，，则_________．
16．如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
三、解答题
17．已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若等比数列满足，，求数列的前项和.
18．已知圆，直线．
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)若直线与圆相切，求实数的值．
19．如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，.
(1)求证： 直线 平面；
(2)求直线 与平面所成的角的正弦值.
21．已知函数，．
(1)求函数的图象在点处的切线方程．
(2)求函数的单调递增区间．
22．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．
河南省周口市项城市重点高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题
1．过两点和的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据斜率公式，结合倾斜角与斜率直线的关系，建立方程，可得答案.
【详解】斜率，又倾斜角，，．
故选：D．
2．在等差数列中，若，，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．8
【答案】C
【分析】根据等差数列性质可知，若则，即可计算出结果.
【详解】由题意可知，在等差数列中，
由等差数列性质可知，若则；
所以
故选：C.
3．已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.
【详解】，，
，
解得
故选：A.
4．已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】利用两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.
【详解】由已知可得，解得或.
故选：C.
5．已知函数及其导函数满足，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，对原式进行求导，然后令，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则
令，则，解得
故选:A
6．抛物线的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．
【详解】解：抛物线，可知抛物线的开口向上，，
所以抛物线的准线方程是：．
故选：．
7．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．7 B．9 C．81 D．3
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.
【详解】依题意可得，
又，所以，
所以.
故选：D
8．曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答.
【详解】由求导得：，则有，
因此，曲线在处的切线的斜率为，
所以曲线在处的切线的倾斜角是.
故选：D
9．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．平行或线在面内
【答案】A
【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.
【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.
故选：A.
10．已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.
【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故选：D.
11．已知函数在处有极值0，则的值为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
【答案】C
【分析】由于在处有极值0，所以可得，解方程组可求出的值，从而可求得答案
【详解】解：由，得，
因为在处有极值0，
所以，即，解得或，
当时，，则 在上单调递增，此时函数无极值，所以舍去，
当时，，令，得或，经检验 和都为函数的极值点，
综上，
所以，
故选：C
12．过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率.
【详解】设点，
则有，两式做差后整理得，
由已知，
，又，
，
得
故选：B
二、填空题
13．函数的导数为__________．
【答案】
【详解】分析：直接根据积的求导公式可得所求.
详解：
.
故答案为.
点睛：导数运算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，再求导．
(2)方法：
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
⑥复合函数：由外向内，层层求导．
14．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为____________．
【答案】3
【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据有.即可求出，进而求出三角形的面积.
【详解】
由已知可得，，，所以，.
因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，，
所以.
又，所以为直角三角形，则，
所以，所以.
故答案为：3.
15．已知数列中，，则_________．
【答案】
【分析】由求出，，，确定数列为循环数列，最小正周期为3，从而求出.
【详解】因为，所以，，
，……，
所以数列为循环数列，最小正周期为3，
故.
故答案为：-2
16．如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标,利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】以A为原点，在平面内过点A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
在正三棱柱中，，，
则 ，
故 ,,
设异面直线与所成角为，
所以 ,
∴异面直线 与所成角的余弦值为,
故答案为：.
三、解答题
17．已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若等比数列满足，，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出数列的通项公式；
（2）先由得出公比，再由求和公式计算即可.
【详解】（1）因为，，所以，解得.
即数列的通项公式为.
（2）设公比为，因为，所以，所以数列的前项和为.
18．已知圆，直线．
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)若直线与圆相切，求实数的值．
【答案】(1)圆心的坐标为，半径为2．
(2)
【分析】（1）通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径；
（2）通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可.
【详解】（1）圆，
圆的标准方程为．
圆的圆心的坐标为，半径为2．
（2）直线与圆相切，
圆心到直线的距离，解得．
实数的值为．
19．如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，.
(1)求证： 直线 平面；
(2)求直线 与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1） 证明和，利用直线与平面垂直的判定定理可得证.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量解决线面角的问题.
【详解】（1）因为 平面， 且平面，所以 .
在正方形 中，.
而, 平面，
故 平面.
（2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系.
设 ，则，
从而.
设平面 的法向量为，
，令 ， 则.
设直线 与平面所成的角为，则，
故直线 与平面的所成角的正弦值为.
20．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）；（2），最小值为–16．
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．
21．已知函数，．
(1)求函数的图象在点处的切线方程．
(2)求函数的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为 ，再根据点斜式得结果；
（2）先求导数，再根据导数大于零得函数的单调递增区间．
【详解】（1）解：，得，
∴，，
∴函数在处的切线方程为．
（2）解：∵，
令，得，令，得，
又的定义域是，
∴函数的单调递增区间为．
22．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；
（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.
【详解】（1）由题意得，，，，
，，
椭圆的标准方程为．
（2）依题意，知，设，．
联立消去，可得．
，即，，
，．
，．
，
，
整理，得，
解得或（舍去）．
直线的方程为．
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