皖豫名校联盟2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年皖豫名校联盟高一下学期开学考试
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的后，再向左平移个单位长度得到函数的图象，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若方程有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二象限，则角2的终边可能在（ ）
A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限
10．下列说法正确的有（ ）
A．“”是“集合有两个子集”的充分不必要条件
B．“”是“函数是增函数”的充要条件
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于y轴对称
11．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．是的一个周期 D．的最小值为
12．设函数的定义域为，如果对任意的，，且，总有成立，则称函数在上为线增函数．下列函数中在其定义域上为线增函数的有（ ）
A． B．
C． D．，
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．
14．若，则的值为______．
15．已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
16．若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题
17．求值：
(1)；
(2)．
18．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求m和，的值；
(2)求的值．
19．已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)当时，求不等式的解集．
20．某公司每个仓库的收费标准如下表（表示储存天数，（万元）表示天收取的总费用）．
(1)给出两个函数且，且，要从这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由．
(2)该公司旗下有个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要元的运营成本，不存货物时仅需元的成本．一批货物需要存放天，设该批货物存放在个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这天的仓库收益不少于元，则的最小值是多少？
注：收益收入成本．
21．已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围．
22．已知函数，．
(1)求在区间上的最小值；
(2)若，函数，且，求的取值范围；
(3)若，，不等式恒成立，求的取值范围．
2022-2023学年皖豫名校联盟高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集的运算法则计算.
【详解】由题意 ；
故选：C.
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域的求法直接构造不等式组求解即可.
【详解】由得：，即的定义域为.
故选：A.
3．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依次判断各个选项中函数的零点及在零点左右两侧函数值是否异号即可.
【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.
故选：B.
4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、三角函数、幂函数和对勾函数性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不是奇函数，A错误；
对于B，在上单调递减，在上存在递减区间，B错误；
对于C，，为定义在上的奇函数，
由幂函数性质知：在上单调递增，C正确；
对于D，由对勾函数性质知：在上单调递减，D错误.
故选：C.
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合临界值，可得，；利用作差法可得，由此可得结论.
【详解】，，，；
，
，即；
综上所述：.
故选：D.
6．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当时，，则，又，当时，，代入计算求解即可．
【详解】当时，，而，
则
故选：C
7．将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的后，再向左平移个单位长度得到函数的图象，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则可求得，根据正弦型函数值域的求法可求得结果.
【详解】图象上所有点横坐标缩短为原来的得：；
将向左平移个单位长度得：；
当时，，，
即在上的值域为.
故选：A.
8．已知函数，若方程有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象作出函数的图象，根据图象得出当时，有三个不同的与对应，令，得出在内有两个不同的实根，最后由二次函数零点的分布求出范围即可.
【详解】因为，作出函数的图象，如图所示：
由图象可知：当时，有三个不同的与对应，
令，因为方程有六个不相等的实数根，
所以在内有两个不同的实根，
设，
即，即，解得：，
所以实数a的取值范围是，
故选：.
二、多选题
9．已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二象限，则角2的终边可能在（ ）
A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BCD
【分析】由任意角的定义写出角的范围判断即可.
【详解】由题意得，，，则，，故角2的终边可能在第三象限、y轴的负半轴、第四象限上.
故选：BCD.
10．下列说法正确的有（ ）
A．“”是“集合有两个子集”的充分不必要条件
B．“”是“函数是增函数”的充要条件
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于y轴对称
【答案】AC
【分析】集合有两个子集，则集合含有一个元素即或解方程结合充分条件和必要条件的定义可判断A；求出函数是增函数时的范围可判断B；根据互为反函数的图象性质可判断C；根据关于x轴对称的图象性质可判断D.
【详解】对于A，集合有两个子集，则集合含有一个元素，
即方程只有1个根，即或，
解得：或，即“”是“集合有两个子集”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，函数是增函数，则，解得或，
所以“”是“函数是增函数”的充分不必要条件，所以B不正确；
对于C，由于函数与互为反函数，
所以函数与的图象关于直线对称，所以C正确；
对于D，由于函数，所以函数与的图象关于x轴对称，所以D不正确；
故选：AC.
11．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．是的一个周期 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】根据时，，知A错误；当时，，由正弦型函数单调性判断方法可知B正确；由知C正确；分类讨论可求得在每段区间上的值域，由此可知D错误.
【详解】对于A，当时，，此时不单调递增，A错误；
对于B，当时，，
若，则，此时单调递增，
在上单调递减，B正确；
对于C，，
是的一个周期，C正确；
对于D，当时，，此时；
当时，；
当时，，此时；
当时，；
综上所述：的最小值为，D错误.
故选：BC.
12．设函数的定义域为，如果对任意的，，且，总有成立，则称函数在上为线增函数．下列函数中在其定义域上为线增函数的有（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】BCD
【分析】在定义域内设，根据线增函数的定义式依次验证各个选项即可得到结果.
【详解】由得：；
对于A，的定义域为，不妨设，
；
当时，，
不是线增函数，A错误；
对于B，的定义域为，不妨设，
，
，，，
是线增函数，B正确；
对于C，的定义域为，不妨设，
，
，，，
是线增函数，C正确；
对于D，，，不妨设，
，
，，，
，是线增函数，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．
【答案】
【分析】利用扇形弧长和面积公式直接求解即可.
【详解】设扇形的半径为，则弧长，解得：，扇形面积.
故答案为：.
14．若，则的值为______．
【答案】
【分析】根据指数和对数互化原则可得，由对数运算法则可求得结果.
【详解】由得：，，
.
故答案为：.
15．已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】结合对数函数值域可确定的值域包含，通过讨论对称轴的位置可求得的最大值，由包含关系可构造不等式求得结果.
【详解】当时，的值域为；
记，的值域为，
的值域为，；
当，即时，在上单调递增，
，解得：，；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
，解得：或，或；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
16．若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，将问题转化为在上有且仅有四个不同实数解，根据的范围，结合方程解的个数可构造不等式组求得结果.
【详解】；
若在上有四个零点，则在上有且仅有四个不同实数解，
当时，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数运算法则直接求解即可；
（2）根据对数运算法则直接求解即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求m和，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据任意角三角函数的定义即可求解；
(2)利用诱导公式化简，结合（1）的结论即可求解.
【详解】（1）依题意，，
解得或（舍去）．
此时，
故，．
（2）原式．
将，，代入，
得原式．
19．已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)当时，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，利用整体代换法可求得单调递减区间；
（2）根据正弦型函数的值域可求得的解集，结合可求得结果.
【详解】（1）；
令，解得：，
的单调递减区间为.
（2）由得：，
，解得：，
分别取和得：和，
则当时，的解集为.
20．某公司每个仓库的收费标准如下表（表示储存天数，（万元）表示天收取的总费用）．
(1)给出两个函数且，且，要从这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由．
(2)该公司旗下有个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要元的运营成本，不存货物时仅需元的成本．一批货物需要存放天，设该批货物存放在个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这天的仓库收益不少于元，则的最小值是多少？
注：收益收入成本．
【答案】(1)选择且较好，理由见解析
(2)
【分析】（1）分别将代入两个函数模型，可求得函数解析式，验证和时，两函数模型对应的函数值，比较其与实际数据的差异即可确定结果；
（2）将收益表示为关于的函数，由可解得结果.
【详解】（1）若选择函数且，
将代入函数得：，解得：，；
当时，；当时，；
可知当或时，与实际数据差距较大；
若选择函数且，
将代入函数得：，解得：，；
当时，；当时，；
可知当或时，与实际数据比较接近；
综上所述：选择且较好.
（2）设该公司这天的仓库收益为元，
由表格数据可知：若货物存放天，每个仓库收费元，
，
由得：，的最小值为.
21．已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，令，原方程等价于，解方程即可得出答案；
（2）令，化简得，欲使在上有且仅有一个零点，则须函数的图象和直线在上有且只有一个公共点，求出的值域，即可得出答案.
【详解】（1）当时，
．
令，则，
解方程得或（舍去）．
当时，有，解得，
故的零点为．
（2）由题可知
．
令，得．
欲使在上有且仅有一个零点，则须函数的图象和直线在上有且只有一个公共点．
因为当时，，且当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，．
所以当或时，满足题意，解得或．
所以m的取值范围是．
22．已知函数，．
(1)求在区间上的最小值；
(2)若，函数，且，求的取值范围；
(3)若，，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用基本不等式可直接求得最小值；
（2）根据单调性和可直接构造不等式求得结果；
（3）将问题转化为，令，通过讨论二次函数对称轴的位置得到二次函数的最小值，从而构造不等式求得的范围.
【详解】（1）当时，，
（当且仅当时取等号），
在上的最小值为.
（2）由题意得：，，
，在上单调递增，
由得：，，解得：（舍）或，
的取值范围为.
（3）若，，不等式恒成立，则，
由（1）知：，；
设，，则，
，对称轴为，
①当时，即时，在上单调递增，，
即，解得：；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
即，解得：；
③当，即时，在上单调递减，，
即，解集为；
综上所述：的取值范围为.
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