皖豫名校联盟2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年皖豫名校联盟高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题
1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若两条直线：与：平行，则实数的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与圆:相交于两点,弦的中点为,则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的不同值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．18 B．36 C．40 D．42
8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为等差数列，满足，，为等比数列，满足，，则（ ）
A．的首项与公差相等 B．，，成等比数列
C．的首项与公比相等 D．，，成等差数列
10．已知圆：，直线经过点，且直线被圆截得的最短弦为，最长弦为，则（ ）
A．直线的斜率为 B．直线经过坐标原点
C． D．四边形的面积为
11．如图所示，为正方形，平面平面，为的中点，，且，则（ ）
A．
B．直线到平面的距离为2
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
12．已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，（在的上方）两点，点关于轴的对称点为（ 于点），直线为抛物线的准线，则（ ）
A．为定值 B．的最小值为4
C．直线恒过点 D．直线的斜率的取值范围是
三、填空题
13．已知向量，，且，则______．
14．圆与圆的公共弦长为______．
15．已知数列的前项和（），且，则______．
16．若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则______．
四、解答题
17．在等差数列中，已知且．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求满足的的最小值．
18．已知圆与轴相切，且过点，圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若圆心的横坐标与纵坐标都为整数，直线：与圆交于两点，且，求实数的值．
19．已知数列中，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和为．
20．已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
21．如图，在长方体中，点为的中点，且，，点在线段上．
(1)问：是否存在一点，使得直线平面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
(2)若是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
22．已知椭圆：（）的离心率，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为坐标原点，点，是椭圆上的两个动点，且，证明：直线恒与圆：相切．
2022-2023学年皖豫名校联盟高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题
1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.
【详解】，
故选：D.
2．若两条直线：与：平行，则实数的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】若两条直线平行，则两条直线斜率相等，由此列式计算即可.
【详解】若两条直线平行，则两条直线斜率相等，故，解得.经检验两直线不重合.
故选：A
3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据空间向量共面定理逐一验证即可得出结果.
【详解】根据题意可知，对于选项A，假设存在一组实数对满足，可知无解，即向量，，不共面；
对于选项B，假设存在一组实数对满足，可知无解，即向量，，不共面；
对于选项C，假设存在一组实数对满足，可知无解，即向量，，不共面；
只有D选项存在一组实数对满足，
即，，是共面向量.
故选：D
4．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算，，，，，确定为周期是的数列，计算得到答案.
【详解】，故，，，，
，，故为周期是的数列，.
故选：B
5．已知直线与圆:相交于两点,弦的中点为,则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由是弦的中点,所以,求出的斜率,进而求得的斜率,根据的中点为,根据点斜式即可写出直线的方程.
【详解】解:由题知,圆:,即圆心,
因为弦的中点为,所以,
因为,所以,即,
因为在上,所以,即.
故选:C
6．已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的不同值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】解方程可得出的离心率，对曲线的形状进行分类讨论，结合离心率公式求出的值，即可得出结论.
【详解】解方程可得或，所以，或.
①若，则曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，解得；
②若，则曲线为椭圆，
若椭圆的焦点在轴上，则且，解得；
若椭圆的焦点在轴上，则且，解得.
综上所述，满足条件的的值有个.
故选：C.
7．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．18 B．36 C．40 D．42
【答案】B
【分析】确定为等差数列，得到，代入数据计算得到答案.
【详解】，故为等差数列，
故，故，解得.
故选：B
8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，由可得，然后利用椭圆的定义和勾股定理即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，则，
由椭圆的定义可得：，
所以，则，，
所以，因为，
在中，，即，
所以，则，
故选：.
二、多选题
9．已知为等差数列，满足，，为等比数列，满足，，则（ ）
A．的首项与公差相等 B．，，成等比数列
C．的首项与公比相等 D．，，成等差数列
【答案】BC
【分析】代入，求数列的首项和公差，数列的通项公式，逐一判断选项可得结果.
【详解】解：因为是等差数列，设公差为，则，，解得：，，故A错误；
可得，所以，是等比数列，故B正确；
数列为等比数列，且，，所以，则，故C正确；不是等差数列，故D错误.
故选：BC
10．已知圆：，直线经过点，且直线被圆截得的最短弦为，最长弦为，则（ ）
A．直线的斜率为 B．直线经过坐标原点
C． D．四边形的面积为
【答案】ABD
【分析】的长为直径，与垂直，根据垂径定理求出，从而可得四边形的面积.
【详解】当直线圆心时，直线被圆截得最长弦为，此时,
当直线与直线垂直时，直线被圆截得最短弦为，
又,故直线的斜率为，
直线直线的方程为，即,过原点，故AB正确.
点到直线的距离为，
故，四边形的面积为,
故C错误，D正确.
故选:ABD.
11．如图所示，为正方形，平面平面，为的中点，，且，则（ ）
A．
B．直线到平面的距离为2
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【分析】根据几何体特征，可利用空间向量对各选项进行求解；以为坐标原点建立空间直角坐标系可得，即选项A正确；易知直线到平面的距离为，即B错误；利用向量的夹角计算公式可求得所成角的余弦值为，即C正确；求出直线与平面法向量夹角的余弦值即可得D正确.
【详解】根据题意可知，平面平面，平面平面，
又为正方形，所以，即平面；
又平面，平面，所以，；
过点作，过点作交于点，所以四边形是平行四边形；且
又，所以四边形是矩形；即
分别以所在直线为轴，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：
由，可得；
则，
由为的中点可知；
所以，
所以，故A正确；
易知，平面，平面，所以平面，
由，可知，平面，
所以直线到平面的距离为，即B错误；
易知，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，即C正确；
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
即；
，设直线与平面所成的角为，
则，即D正确.
故选：ACD
12．已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，（在的上方）两点，点关于轴的对称点为（ 于点），直线为抛物线的准线，则（ ）
A．为定值 B．的最小值为4
C．直线恒过点 D．直线的斜率的取值范围是
【答案】AC
【分析】运用韦达定理及抛物线的定义分析选项A、B，对于选项C，点斜式写出AC方程，令解得x是一个定值即可判断，对于选项D，运用斜率公式及韦达定理将其转化为求函数值域即可.
【详解】由已知可设直线AB方程为，，
，则，，
所以，，
由题意知，A在B上方，设，，则，，
由抛物线的定义知，，，
对于选项A，，即为定值，故选项A正确；
对于选项B，，因为，所以，所以，即，故选项B错误；
对于选项C，直线AC的方程为：，令得：，所以直线AC恒过点.故选项C正确；
对于选项D，，
因为，所以，即，所以，即直线AC斜率的取值范围为，故选项D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知向量，，且，则______．
【答案】
【分析】根据空间向量平行的坐标运算公式，计算可得答案.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得，，所以.
故答案为：.
14．圆与圆的公共弦长为______．
【答案】##
【分析】首先求出两圆公共弦方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离即可得出弦长.
【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为，
圆的标准方程为，其圆心，半径；
圆心到公共弦的距离
所以公共弦长为.
故答案为：
15．已知数列的前项和（），且，则______．
【答案】7
【分析】先通过求出的值，然后利用与的关系证明当时成立，从而求出数列的通项公式，写出.
【详解】因为，当时，有，；
当时，，两式相减得，
即，
当时，，所以，
所以.
故答案为：7
16．若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则______．
【答案】
【分析】根据给定条件，探求四边形的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出，再求出作答.
【详解】依题意，点与，与都关于原点O对称，且，因此四边形是矩形，如图，
由双曲线：得：，，
于是，
显然四边形的外接圆半径为，因此，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．在等差数列中，已知且．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求满足的的最小值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）利用等差数列的基本量计算出首项和公差，然后代公式即可求通项；
（2）先求出等差数列的前n项和，然后化简不等式，利用一元二次不等式即可求解.
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，
则由，得，
解得，所以．
（2）由（1）及等差数列前n项和公式得，
由，即，
解得或（舍去），
所以满足条件的的最小值为9.
18．已知圆与轴相切，且过点，圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若圆心的横坐标与纵坐标都为整数，直线：与圆交于两点，且，求实数的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）求出圆心和半径，即可求出圆的方程；
（2）利用几何法求弦长，即可求出实数的值．
【详解】（1）设圆心坐标为．
因为圆与轴相切，所以圆心到轴的距离等于半径，即，
所以圆的方程为．
又圆过点，所以，
化简得，解得或，
所以圆的方程为或．
（2）由已知得圆：．
设圆心到直线的距离为，因为，
所以．
由点到直线的距离公式，得，
解得或．
19．已知数列中，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和为．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）将已知化为，两边加变为，由此判断出数列是等比数列.
（2）由（1）可求得的通项公式，由此求得的通项公式，利用分组求和法和错位相减法可求得的值.
试题解析：
【详解】（1）由已知得，
∴，又，得，∴，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（2）得，∴，
，
设，-------------①
则，---------②
①式减去②式得
，
得，
又，
∴．
20．已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得，即可求出，然后由可求出，即可得到答案；
（2）设，然后可得，结合双曲线的方程可证明.
【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点，
所以，．
因为，所以，
所以由双曲线的定义知，解得．
设双曲线的半焦距为（）．
因为，所以，
所以，所以．
所以双曲线的标准方程为．
（2）设（），则，
所以，所以，所以．
因为，，所以，
所以，为定值．
21．如图，在长方体中，点为的中点，且，，点在线段上．
(1)问：是否存在一点，使得直线平面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
(2)若是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设直线平面，利用线面垂直的性质则有，进而可证明，与实际情况不符，从而证明不成立；（2）分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系．空间向量法求平面与平面的夹角的余弦值即可.
【详解】（1）不存在．
理由如下：若直线平面，则必有．
如图，连接，假设，
因为平面，所以，
又因为，所以平面，
所以，显然不成立，
所以线段上不存在点，使得直线平面．
（2）分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
易知点，，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则
令，得平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则
令，得平面的一个法向量为．
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
22．已知椭圆：（）的离心率，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为坐标原点，点，是椭圆上的两个动点，且，证明：直线恒与圆：相切．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用题意得到关于的等式，进行联立求解即可；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，当斜率存在时，设直线：，与椭圆进行联立可得到，结合得到，即可求证
【详解】（1）设椭圆的半焦距为（）．
根据题意得，解得，
∴椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，设直线：，
由可得，，
由可得，则，∴，
于是直线：与圆相切．
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，
由得，
即
设，，则，
由，即，
整理得，亦即满足，
从而原点到直线的距离，即直线与圆相切．
综上，命题得证．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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