小升初数学复习课件-牛吃草问题 人教版(共33张PPT)

(共33张PPT)
牛吃草问题
牛顿问题又称牛吃草问题或消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。
牛吃草的难点在于吃的草总量随着吃的天数的增加而增加．但是，不论总草量如何增加，总草量都是由牧场上原有的草量和每天新生长出来的草量相加得来的．
牛吃草问题”解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-生长的草量= 消耗原有的草量)；
4、最后求出牛可吃的天数。
一块草地牛吃草问题：
草匀速生长
①生长量=（较长时间对应牛的头数×较长时间-较短时间对应牛的头数×较短时间）÷时间差；
减少量=（较短时间对应牛的头数×较短时间-较长时间对应牛的头数×较长时间）÷时间差；
②原有量=（牛的头数-增加量）×时间；
原有量=（牛的头数+减少量）×时间；
③牛的头数=原有量÷时间+增加量；
牛的头数=原有量÷时间-减少量；
④时间=原有量÷（牛的头数-增加量）；
时间=原有量÷（牛的头数+减少量）。
1、牧场上长满牧草，每天牧草都在匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天或15头牛吃10天．问可供25头牛吃几天？(每头牛每天的吃草量相同)
设每头牛每天吃1份的草，
10头牛20天吃的草是：10×20＝200(份)，
15头牛10天吃的草是：15×10＝150(份)．
两种情况下：原有草量相同，每天新长草量相同
草量相差200－150＝50(份)
前一种情况草地多长了20－10＝10(天)，
草地每天生长的草是50÷10＝5(份)，
草地上原有的草是20×（10-5）＝100(份)．
让5头牛专门吃生长出来的草，还有20头牛吃草地上原有的100牛天的草，
需要的天数是100÷20＝5(天)
答：可供25头牛吃5天。
2、牧场上有一片匀速生长的草地可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供多少头牛吃18周
如果每1头牛1周吃草1份,则
27头牛6周吃27×6=162 份
23头牛周天吃23×9=207 份
所以牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15 份
原来牧场有草 162－15×6=72份
18周共有草15×18+72＝342份
342÷18＝19头
可供19头牛吃18周
3、有一片牧草，每天匀速生长，它可供17只牛吃30天，或可供19只牛吃24天。现有若干只牛，吃了6天后卖了4只，余下的牛再吃2天将草吃完，那么原来有多少只牛？
假设1只牛1天吃1个份的草．
17只牛30天吃17×30=510份
19只牛24天吃19×24=456份
牧场每日长新草：（510－456）÷（30－24）＝9份
再求草地原有草：17×30－9×30＝240份
如果不卖4只牛,那么8天共吃草：
240+9×（6+2）+2×4＝320份
原来有牛：320÷（6+2）＝40（只）
答：原来有牛40只．
4、一片牧草，可供9头牛12天，也可供8头牛吃16天，开始只有4头牛吃，从第7天起增加了若干头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草，问从第7天起增加了多少头牛？
设一头牛一天吃一份草.
9头牛12天吃的草：9×12=108（份）
8头牛16天吃的草：8×16=128（份）
每天新增量：（128-108）÷（16-12）=5（份）
原有草量：108-12×5=48（份）
从开始4头牛到6天后增加牛后再吃6天可知前后共计12天，
这片草地共有草量：48+5× 12=108（份）
开始的4头牛12天吃的草：4×12=48（份）
增加的牛数：（108-48）÷6=10（头）
5、有一片草地，草每天生长的速度相同．这片草地可供5头牛吃40天，或供6头牛吃30天．如果4头牛吃了30天以后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？
设每头牛每天吃草1份，
5头牛吃40天共吃：5×40=200（份），
6头牛吃30天共吃：6×30=180（份），
草每天生长的份数列式为：（5×40-6×30）÷（40-30）=2（份）；
草地原有的草量：（5-2）×40=120（份）；
减去“4头牛吃了30天”中原有的份数即（4-2）×30=60（份），
剩下的份数是：120-60=60（份）；
让增加的2头牛一起吃草每天生长的2份，那么4头牛就吃剩下的60份，
这片草地还可以再吃的天数：60÷（6-2）=15（天）
6、有一片草地，可供8只牛吃20天，或供14只牛吃10天。假设草每天的生长速度不变，现有牛若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天，便将草吃完。问：原有牛多少只？
设一只牛吃一天的草量为一份.
8头牛吃20天共吃：8×20=160（份），
14头牛吃10天共吃：14×10=140（份），
每天新长的草量：（8x20-14x10）+（20-10）=2（份）
原有的草量：8x20-2x20=120（份）
若不增加6只牛，这若干只牛吃6天的草量，等于原有草量加上4+2=6天新长草量再减去6只牛2天吃的草量：120+2x（4+2）-1x2x6=120（份）
牛的只数：120+6=20（只）
7、一块1500平方米的牧场上长满牧草，每天都匀速生长．可供18头牛吃16天，或是供27头牛吃8天．如果这片牧场有6000平方米，6天中最多可供几头牛吃？
解：设每头牛每天吃1份，
18头牛吃16天共吃：18×16=288（份），
27头牛吃8天共吃：27×6=216（份），
每天草长的份数：（288-216）÷（16-8）=72÷8=9（份），
原来草总共的份数是：288-9×16=144（份），
现在牧场的草是原来的倍数：6000÷1500=4倍，
所以现在草有：144×4=576（份），每天长：9×4=36（份），
这样每天新长的草正好可供36头牛吃，而现在的草要吃6天，可供：
576÷6=96（头），所以总共可供：96+36=132（头）；
答：如果这片牧场有6000平方米，6天中最多可供132头牛吃．
一块草地牛吃草问题：
草匀速减少
①生长量=（较长时间对应牛的头数×较长时间-较短时间对应牛的头数×较短时间）÷时间差；
减少量=（较短时间对应牛的头数×较短时间-较长时间对应牛的头数×较长时间）÷时间差；
②原有量=（牛的头数-增加量）×时间；
原有量=（牛的头数+减少量）×时间；
③牛的头数=原有量÷时间+增加量；
牛的头数=原有量÷时间-减少量；
④时间=原有量÷（牛的头数-增加量）；
时间=原有量÷（牛的头数+减少量）。
1、牛场由于天气逐渐变冷，牧场上的草不仅没有新长反而以固定的速度在减少． 目前，牧场上的草可供20头牛吃6天，或可供15头牛吃7天．那么，可供27头牛吃多少天？
解：设每头牛每天吃1份，
20头牛6天吃草：20×6=120（份）
15头牛7天吃草：15×7=105（份）；
青草每天减少：（120-105）÷（7-6）=15（份）；
牛吃草前牧场有草：20×6+15×6=210（份）；
可供27头牛吃的天数：210÷（27+15）=5（天）．
2、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度减少,如果某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天,那么可供11头牛吃多少天
设每头牛每天吃草1份
20头牛,5天吃草：20×5=100份
16头牛,6天吃草：16×6=96份
青草每天减少：（100-96）÷（6-5）=4（份）；
牧场原来有草：100+4×5=120份
11头牛来吃,每天要吃草11份
加上每天减少的4份,
牧场的草每天要减少：11+4=15份
可以吃：120÷15=8天
3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？
解：设每头牛每天吃1份，
20头牛5天吃草：20×5=100（份）
15头牛6天吃草：15×6=90（份）
青草每天减少：（100-90）÷（6-5）=10（份）；
牛吃草前牧场有草：100+10×5=150（份）；
150份草吃10天本可供：150÷10=15（头）；
但因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉；
所以只能供牛15-10=5（头）．
4、由于天气逐渐寒冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供15头牛吃12天，或可供10头牛吃15天。照此计算，可以供多少头牛吃12天？
设1头牛1天的吃草量为“1”
15头牛12天吃草：15×12=180（份）
10头牛15天吃草：10×15=150（份）
青草每天减少：（180-150）÷（15-12）=10（份）；
牛吃草前牧场有草：180+12×10=300（份）；
300份草吃12天本可供：300÷12=25（头）；
但因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉；
所以只能供牛25-10=15（头）．
牛吃草问题：
牛羊一起吃草
①生长量=（较长时间对应牛的头数×较长时间-较短时间对应牛的头数×较短时间）÷时间差；
减少量=（较短时间对应牛的头数×较短时间-较长时间对应牛的头数×较长时间）÷时间差；
②原有量=（牛的头数-增加量）×时间；
原有量=（牛的头数+减少量）×时间；
③牛的头数=原有量÷时间+增加量；
牛的头数=原有量÷时间-减少量；
④时间=原有量÷（牛的头数-增加量）；
时间=原有量÷（牛的头数+减少量）。
1、一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量；假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份．
16头牛吃了20天，共吃了16×5×20=1600份；
100只羊吃12天，共吃了100×12=1200份；
草每天生产：（1600-1200）÷（20-12）=50（份）；
原来只有16×5×20-50×20=600份草；
10头牛一天吃10×5=50份草，正好是草每天生成的量；
剩下的就是原来的草，75只羊来吃，吃600÷75=8天．
原来的草有：16×5×20-50×20=600（份）；
10头牛一天吃：10×5=50（份），正好是草每天生成的量；
75只羊吃的天数是：600÷75=8（天）．
答：这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．
2、有一片草场，草每天的生长速度相同．若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）．那么17头牛和20只羊多少天可将草吃完？
解：设一头牛一天的吃草量为1份，
那么70只羊，20只羊转化成牛的头数是：
70÷4=17.5（头），20÷4=5（头）；
草每天的生长速度是：（14×30-17.5×16）÷（30-16），
原有的草是：14×30-30×10=120（份），
那么17头牛和20只羊也就相当于牛的头数是：17+5=22（头）；
那么每天生长的10份的草就够22头牛中的10头牛吃的，剩下的牛去吃120份需要的天数是：
120÷（22-10）=10（天），
所以22头牛也就相当于17头牛和20只羊10天
3、一片青草，每天生长的速度相同，现在这片青草可供10头牛和60只羊一起吃8天；或者8头牛32只羊吃20天．已知一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么可供80只羊吃多少天．
一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，
10头牛的吃草量就等于（10×4）只羊的吃草量；
8头牛的吃草量就等于（8×4）头牛的吃草量；
假设每只羊每天吃草1份，那么一头牛一天吃4份
根据“（10×4+60）只羊吃8天，或供（8×4+32）只羊吃20天”
可以求出草每天生长的份数：（64×20-100×8）÷（20-8）=40（份）；
根据“（10×4+60）只羊吃8天”则草地原有的草的份数：（100-40）×8=480（份）；
由于草每天生长40份，可供80只中的40只羊吃，
剩下40只吃草地原有的480份草，
可以吃480÷40=12（天）；
答：可供80只羊吃12天
4、一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽，如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
设马每天吃的草为1，牛羊30天吃完,相当于马30天吃完，一共吃了30份
原有牧草+30天长出牧草=30份（1）
牛马15天吃完,则：原有牧草+15天长出牧草=15份+牛15天吃草
与（1）比较,得：15天长出牧草=15份-牛15天吃草；1天长出牧草=1份-牛1天吃草
马羊20天吃完,则：原有牧草+20天长出牧草=20份+羊20天吃草
与（1）比较,得：；10天长出牧草=10份-羊20天吃草；1天长出牧草=1份-羊2天吃草
所以牛1天吃草等于羊2天吃草
重新设一下：羊每天吃草为1份,牛每天吃草为2份,马每天吃草为1+2=3份
牛马15天,一共吃草：(2+3)×15=75份
马羊20天,一共吃草：(1+3)乘20=80份
草地每天长草：(80-75)÷(20-15)=1份
草地原来有草：75-15×1=60份
马牛羊同时吃,每天能吃：1+2+3=6份
除了每天长出的1份,还要吃掉原来的：6-1=5份
吃尽需要：60÷5=12天
牛吃草问题：
多块地吃草
①生长量=（较长时间对应牛的头数×较长时间-较短时间对应牛的头数×较短时间）÷时间差；
减少量=（较短时间对应牛的头数×较短时间-较长时间对应牛的头数×较长时间）÷时间差；
②原有量=（牛的头数-增加量）×时间；
原有量=（牛的头数+减少量）×时间；
③牛的头数=原有量÷时间+增加量；
牛的头数=原有量÷时间-减少量；
④时间=原有量÷（牛的头数-增加量）；
时间=原有量÷（牛的头数+减少量）。
1、有三块草地，面积分别为4亩，8亩，10亩，草地上的草一样厚，而且长的一样快，第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周，则第三块草地可供50头牛吃几周？
分析：虽然三块草地的面积不同，但是单位面积上原有草量，和新增草量是相同的。
解：设1头牛1周吃草量为1份。
1亩地上的原有草 6周新长草：1×24×6÷4=36（份）
1亩地上的原有草12周新长草：1×36×12÷8=54（份）
1亩地上每周新长草：（54-36）÷（12-6）=3（份）
1亩地上原有草：36-3×6=18（份）或54-3×12=18（份）
第三地10亩，原有草：18×10=180（份）
10亩，每周新长草：3×10=30（份）
让30头牛去吃新长草，其余20头吃原有180份草：
180÷（50-30）=9（周）
答：第三块草地可供50头牛吃9周。
2、把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？
分析：虽然三块草地的面积不同，但是单位面积上原有草量，和新增草量是相同的。
解：设1头牛1周吃草量为1份。
1公顷地上的原有草30天新长草：1×10×30÷5=60（份）
1公顷上的原有草45天新长草：1×28×45÷15=84（份）
1公顷上每周新长草：（84-60）÷（45-30）=1.6（份）
1公顷上原有草：60-1.6×30=12（份）或84-1.6×45=12（份）
第三地24公顷，原有草：12×24=288（份）
24公顷80天新长草量为24×1.6×80=3072；
24公顷80天共有草量3072+288=3360；
所以有3360÷80=42（头）．
答：第三块地可供42头牛吃80天．
3、如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃完,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃完,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,需多少头牛
设1头牛1天吃草量为1份。
22头牛54天吃完33公亩所有的草,
则每公亩草量 22×54÷33＝ 36( 份)
17头牛吃同样牧场28公亩的草,84天可吃完
则17×84÷28＝ 51( 份)
每公亩每天长草量是：
( 51－36 )÷( 84－54 )＝0.5 (份)
原有草量：36－0.5×54＝9 ( 份)
40公亩24天共有草量：9×40＋0.5×24×40＝ 840 ( 份)
需牛的头数：840÷24＝35 (头)
4、一个农夫有2公顷、4公顷、6公顷的三块牧场,三块牧场上的草长得一样密,而且长得一样快,农夫将8头牛赶到2公顷的牧场,5天吃完了；农夫又将8头牛赶到4公顷的牧场, 15天吃完了；最后这8头牛又被赶到6公顷的牧场,这块牧场够吃多少天
假设每头牛每天吃草为1
8头牛在2公顷牧场5天共吃草8×5=40,
平均每公顷5天草总量是20,
8头牛在4公顷牧场15天共吃草8×15=120,
平均每公顷15天草总量是30,
平均每公顷每天草生长量是(30-20)÷(15-5)=1,
平均每公顷原有草的总量是20-1×5=15或30-1×15=15,
8头牛在6公顷牧场中可以吃15×6÷(8-6×1)=45(天)
牛吃草问题：变型
①生长量=（较长时间对应牛的头数×较长时间-较短时间对应牛的头数×较短时间）÷时间差；
减少量=（较短时间对应牛的头数×较短时间-较长时间对应牛的头数×较长时间）÷时间差；
②原有量=（牛的头数-增加量）×时间；
原有量=（牛的头数+减少量）×时间；
③牛的头数=原有量÷时间+增加量；
牛的头数=原有量÷时间-减少量；
④时间=原有量÷（牛的头数-增加量）；
时间=原有量÷（牛的头数+减少量）。
1、某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人在排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？
一个检票口8分钟共检票25x8=200（人）
检票开始后排队的人数是10x8=80(人）
检票前排队的人数是200-80=120（人）
两个检票口检票,1分钟检票25x2=50人,
1分钟来10人,所以每分钟减少排队的人数为：50-10=40(人）
检票到无人排队的时间为：
120÷40=3（分钟）
2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
设1个检票口1分钟检票的人数为1份。
4个检票口30分钟通过4×30=120份
5个检票口20分钟通过5×20=100份
每分钟新来旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
原有旅客为
（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要
60÷（7-2）=12（分）。
3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
男孩5分钟减少的级数：20×5 =100（级）
女孩6分钟减少的级数：15×6=90（级）
每分钟减少的级数：
（20×5-15×6）÷（6-5）=10（级）
自动扶梯的级数：
20× 5+5×10=150（级）
4、两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？
男孩 100秒新增的级数：3×100=300（级）
女孩300秒新增的级数： 2×300=600（级）
每秒新增的级数：
（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）
自动扶梯级数：
3×100-100×1.5=150（级）
5、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
将一人一小时淘出的水量定为1
3小时的总水量 10×3=30（份）
8小时的总水量 5×8=40（份）
每小时的进水量 （40-30）÷（8-3）=2（份）
2小时的总水量 30-2=28（份）
每小时淘出的水量 28÷2=14（份）
答：要安排14人淘水
6、有一个水池，池底有一个打开的出水口．如果用5台抽水机20小时可将水抽完，如果用8台抽水机15小时可将水抽完．如果仅靠出水口出水，把水漏完需多少小时？
可假设每台抽水机每小时抽水量是1份，
8台抽水机15小时的抽水量：8×15=120份
5台抽水机20小时的抽水量：5×20=100份水池出水口每小时的漏水量是
（8×15-5×20）÷（20-15）=4（份），
水池的原有水量的总份数：15×8+15×4=180（份），
仅靠出水口出水需要的时间：（15×8+15×4）÷4=180÷4=45小时
答：把水漏完需要45小时．
7、有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽8小时，如用8台抽水机需抽12小时．那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？
设每部抽水机每小时能抽泉水1份，
每小时涌出的泉水量为：（8×12-10×8）÷（12-8）=4（份）；
井中原有的水量为：8×10-4×8=48（份）；
6部抽水机拿出4部抽每小时涌出的2份的泉水，
剩下的4台抽井中原有的水量，所需时间为：48÷2=24（小时）
答：如果用6台抽水机，需抽24小时．
8、一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀．如果同时打开进水阀一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完．那么，关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需多少分钟才能排完水池的水．
进水阀的进水速度相当于牧草生长的速度。
假设排水阀每分钟排水量为1份
进水阀每分钟进水量为：
（1x30-2x10）÷（30-10）=0.5（份）
排水前水池已有的水量：
（1-0.5）x30=15（份）
关闭进水阀，打开3个排水阀需要：
15÷3=5（分钟）