小升初数学复习课件-容斥问题 人教版(共32张PPT)

(共32张PPT)
容斥问题
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。
通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。
容斥问题1：
两量重叠问题
基本解题方法：
A类与B类元素个数的总和= A类元素的个数十B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数
公式变型：
既是A类又是B类的元素个数=A类与B类元素个数的总和-（A类元素的个数+B类元素个数）
A类元素的个=A类与B类元素个数的总和+既是A类又是B类的元素个数-B类元素个数
B类元素的个=A类与B类元素个数的总和+既是A类又是B类的元素个数-A类元素个数
1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．语文、数学两种课外书都借的有多少人？
全班45人，借语文或数学课外读物的共39+32=71（人），
超过全班人数71-45=26（人），
进而得出这26人都借了语文、数学两种课外书．
39+32-45，
=71-45，
=26（人）；
答：语文、数学两种课外书都借的有26人．
2、六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有 14人，两组都参加的有多少人？
把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，
所以减去总人数，就是两组都参加的人数
17+14-26=5（人）。
也可以这样解：17-（26-14）=5 人）
或14-（26-17）=5（人）
答：两组都参加的有5人。.
3、某市有1000个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有750人，既懂英语又懂俄语的有200人，那么懂俄语的教师有多少人．
在懂英语的750人中有200人懂俄语，
那么就有550人只懂英语，
那么剩下的450人就肯定懂俄语了．
1000-（750-200）
=1000-550
=450（人）．
答：懂俄语的教师有450人．
4、某班每个学生至少会参加音乐课和美术课的一种课程，已知38人参加音乐课，35人参加美术课，其中25人两种课程都参加。这个班一共有多少名同学？
将参加音乐课和美术课的人数加起来，共有38+35=75人
发现，两种都参加的人数被统计了两次，故
要减去25人才能求出总人数
35+38-25
=73-25
=45人
答：这个班一共有48名学生
5、课外读物征订活动结束了，（1）班有36人订了《数学王国》，有27人订了《作文天地》.每人至少订一种，其中有9人两种杂志都订了，（1）班一共有多少人？
先计算出阅两杂志的人数：6+27=63人，
因为其中有人两杂都订了，所以重复数2要减去才是班实人数.
解：6+7-9=54（人）
答：（1）班一共有54人。
6、（1）班有45人，其中24人参加了语文竞赛，28人参加了数学竞赛，11人两项比赛都参加了，（1）班有多少人两项比赛都没参加.
要求两项比赛都没参加人数，可以先求得至少参加一项竞赛的人数，
那么总人数减去至少参加一项竞赛的人数，剩下的就是没参加竞赛的人数；
由此分析：至少参加一项竞赛的人数为：24+28-11=41人，
由此即可得出两项都没参加的人数为45-41=4人.
解：45-（24+28-11）
=45-4
=4（人）
答:（1）班有4人两项比赛都没参加.
7、五班有学生60人，参加语文趣小组的有20人，参加数学兴趣小组的有28人，语，数小组都参加的有10人，这两个兴题小组都没有参加的有多少人.
参加语文兴趣小组的有20人，参加数学兴趣小组的有28人.语、数小组都参加的有10人，
根据容斥原理公式可知，
参加语文与数学兴趣小组的人共有20+28-10人，全班有60人，
所以两项都没参加的有60-（20+28-10）人.
解：60-（20+28-10）
=60-38
=22（人）
答：这两个兴趣小组都没有参加的有22人.
8、某校各年级都参加的一次奥数比赛中，五年级与六年级共有50人获奖，获奖人数中33人不是五年级的，35人不是六年级的。这次的奥数比赛中获奖的总人数是多少？
获奖人数中33 人不是五年级的，那么33人是六年级和其他年级的获奖人数和；
35人不是六年级的，那么35人是五年级和其他年级的获奖人数和。
这两者相加再减去50人得出的结果是其他年级的获奖人数的2倍，
求出其他年级的获奖人数后加上原有的五、六年级的获奖人数，就能算出这次比赛获奖的总人数。
（33+ 35-50）÷2= 9（人）
9+50= 59（人）
答：这次的奥数比赛中获奖的总人数是59人。
9、在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个。
能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；
能被7整除的数共有1000÷7=142（个）...6（个）；
同时能被5和7整除的数共有1000÷35=2（个）...20（个）。
所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：
200+142-28=314（个）；
不能被5或7整除的数一共有
1000-314=686（个）。
*10、六年级一班有学生46人，其中36人会书法，38人会打羽毛球，37人会画画，32人会轮滑。那么这个班中至少有多少人以上四项活动都会？
先分别求出不会这四项活动的各有多少人，不会书法的有46-36 =10（人），
不会打羽毛球的有46-38=8（人），
不会画画的有46-37=9（人），
不会轮滑的有46-32=14(人），
所以至少有一个项目不会的人最多是10+8+9+ 14=41（人），
因此四项运动都会的至少有46-41= 5（人）。
容斥问题2：
三量重叠问题
基本解题方法：
A类、B类与C类元素个数的总和=
A类元素的个数十B类元素个数十C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数.
即:总和=A+B+C-AB-BC-AC+ABC
1、某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
分析：参加足球队的人数25人为A类元素，
参加排球队人数22人为B类元素，
参加游泳队的人数24人为C类元素，
既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人
，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，
既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人
，三项都参加的是A类B类C类的总和设为x。
注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。
答案：25+22+24-12-9-8+X=45
解得X=3
2、六年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
分析：参加美术小组的20人为A类元素，
参加音乐小组的22人为B类元素，
参加手工小组的24人为C类元素，
既是A类又是B类的为美术音乐都参加的5人
，既是B类又C类的为音乐手工都参加的6人，
既是C类又是A类的为排球游泳都参加的7人
，三项都参加的是A类B类C类的美术、音乐、手工为3。
20+24+31-5-7-6+3=60人
3、培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了《中国少年报》，有350人订阅了《少年文艺》，有250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人．请问：培英学校有多少人没有订报？
答此题的关键是，弄清题意，找出对应量，利用容斥原理，
先求出或订“中国年报”或订“数学报”或订“少年文艺”的总人数，
再用全校的总人数减去或订“中国少年报”或订“数学报”或订“少年文艺”的总人数
就是要求的答案．
解答： 解：1000-（500+350+250-400+100），
=1000-800，
=200（人）；
答：培英学校中没有订阅任何报刊的有200人．
4、甲、乙、两三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃.那么，甲、乙、三个小组各擦了多少块玻璃？
68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的，
52 块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的.
因甲乙两组共擦了60块玻璃，
那么两个丙组擦的玻璃68+52-60=60（块），
丙组擦的玻璃数.60÷2=30（块）
乙组擦了：68-30=38（块）玻璃
甲组擦了：52-30=22（块）玻璃.
5、某次数学考试共5道题，全班52人参加，若做对一题给1分，全班共得181分.已知每人至少做对1题，且做对1道题的有7人。做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，问做对4道题的人数是多少？
根据题干分析可知，答对2、3、4道题的人数为：52-7-6=39人，
由此设答对2道和3道的人数均为x人，
则做对4道的人数为就是39-2x人，
根据等量关系：52人一共做对181道题，列出方程解决问题.
1×7+2x+3x+4×（39-2x）+5×6=181
解得x=4
所以做对4道的人数为：
39-2×4=31（人）.
答：做对4道的人数为31人.
6、在50束鲜花中，16束有月季花，15束有马蹄莲，21束有白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有.则50束鲜花中，上述三种花都没有的花束共有多少朵
先求出有月季花、马蹄莲、白兰花的一共有多少束，然后减去有其中2种花的束数，再加上三种花都有束数，就是三种花至少有一种的有多少束，再用总数50束，减去至少有一种的束数，就是三种都没有的束数.
解：3种花至少有一种的有：
16+15+21-7-8-10+5
=52-（7+8+10）+5
=52--25+5
=32（束）
50-32=18（束）
答：月季花、马蹄莲、白兰花三种花都没有的花束共有18束.
7、六年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。请问：参加文艺小组的学生有多少人？
这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，
然而从题目的叙述来看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，
即三项活动都参加人数。因
而必须先求出这个三项活动都参加人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。
设三项活动都参加人数为x，
根据题意得参加文艺小组的人数为7x，
既参加数学小组又参加文艺小组的人数为7x÷3.5=2x，
既参加文艺小组又参加语文小组的人数为2x。
可得46-4x=24+20-10，
x=3，
所以：参加文艺小组的学生有7x=21 人。
容斥问题进阶练习题
基本解题方法：
公式1：
A类与B类元素个数的总和= A类元素的个数十B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数
公式2：
A类、B类与C类元素个数的总和=
A类元素的个数十B类元素个数十C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数.
即:总和=A+B+C-AB-BC-AC+ABC
1、某班有学生45人，其中有28人学习钢琴，有35人学习电脑，有37人学习美术，有40人上奥校，那么可以肯定，这个班至少有多少个学生以上四项内容都学了？
换个角度可理解为：
没学钢琴的人数：45-28=17（人），
没学电脑的人数：45-35=10（人），
没学美术的人数：45-37=8（人），
没学奥数的人数：45-40=5（人），
那么没学其中一项最多有：17+10+8+5=40（人），
剩下的人必须全部都学，45-40=5（人），即是至少四项都学的人数为5人．
答：这个班至少有5个学生以上四项内容都学了．
2、新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人．
只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为：50-10=40（人），
所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，
所以参加了合唱的人中同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有：40-10-10-3=17（人），
答：同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有17人．
3、图书室有100本书，借阅图书者需要在图书上签名．已知在100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书有25本，同时有乙、丙签名的图书有36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．
三个人一共看过的书的本数是：
甲+乙+丙-（甲乙+甲丙+乙丙）+甲乙丙
=33+44+55-（29+25+36）+甲乙丙=42+甲乙丙，
当甲乙丙最大时，三人看过的书最多，
因为甲、丙共同看过的书只有25本，比甲乙和乙丙共同看到的都少，
所以甲乙丙最 多共 同看过25本．
三人总共看过最多有
42+25=67（本），
都没看过的书最少有：
100-67=33（本）
答：这批图书中最少有 33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．
4、甲、乙.两三人共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题，现将其中只有一人解出的题叫做难题，三人都能解出的题叫做容易题，容易题与难题相差几道题.
根据题意，除了难题和容易题，还有普通题，
利用题目中“甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题，
现将其中只有一人解出的题叫做难题，三人都能解出的题叫做容易题”
列出关系式即可解答.
根据题意分析：难题+普通题+容易题= 100①；
1×难题+2×普通题+3×容易题=3X60=180②；
①×2-②可得：难题容易题=200-180=20（题）
故答案为容易题与难题相差20题.
5、某班共有30名男生，其中20人参加足球队。12人参加篮球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加篮球队。有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有几人.
设既参加足球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可.
[解答]解：如图所示，设既参加足球队又参加排球队的人数为x，
则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解得x=4.
排球队10人
X 2
足球队 6 篮球队
20人 12人
6、某校男生人数占学生总数的45%，会游泳的学生占学生总数的54%，男生中会游泳的占72%。那么，在全体学生中，不会游泳的女生点___%.
由于男生人数占总人数的45%，男生中会游泳的占72%，
所以在全体学生中，会游泳的男生占45%x72%=32.4%；
则在全体学生中会游泳的女生占54%-32.4%=21.6%；
设全体学生为单位“1”，由于男生人数占总人数的45%，则女姓占全体学生的1-45%=55%
5则不会游泳的女生有55%-21.6%=33.4%.
7、学校音乐兴趣小组有37人，其中有20人会手风琴，16人会钢琴，24人会电子琴，既会手风琴又会钢琴的8人，既会电子琴又会钢琴的10人，即会手风琴又电子琴的8人，这三种琴都不会的至多有多少人.
要想三种琴都不会的最多，就要让会弹琴的人数尽量的少，
有20人会手风琴，24人会电子琴，而这两种都会的人是8人，
所以会这两种琴的人共有：20+24-8=36（人）
会弹钢琴的16人同时有10人会电子琴，8人会手风琴，（10+8）-16=2（人），
所以有2人三种琴都会：也就是说，会弹琴的人最少有36人
则不会弹琴的人最多有：38-36=2（人）.
8、学校艺术团共有团员45人，其中有22名同学会弹钢琴，27名同学会拉小提琴，而两样都会的同学人数恰好是两样都不会的同学人数的3倍，则至少会其中一样的同学有几名.
[分析]设两样都不会的为x人，都会则为3x人，根据共有团员45人，
可得：22-3x+27-3x+3x+x=45，
解方程求出两样都不会的人数，用45减去两样都不会的人数即可求出至少会其中一样的同学的人数.
解：设两样都不会的为x人，都会则为3x人，由题意可得：
22-3x+27-3x+3x+x=45
解得x=2
所以至少会其中一样的同学有：45-2=43（人）；
答：至少会其中一样的同学有43名
9、学羊村小学六年级进行一次数学测验，测验共有15道题，如果小喜喜、小沸沸、小美美、小懒懒都答对的题目分别是11道、12道、13道、14道.那么他们四人都答对的题目最少有__道.
解：四个人答错的题目分别是4道、3道、2道、1道，
四个人一共错了：4+3+2+1=10（道），
令4个人错的题都不一样，则四个人同对的题最少，
所以，四个人共同做对的题至少有：15-10=5（道）；
答：他们四人都答对的题目最少有5道.
10、冬冬、阿奇和小悦用一根木棍做游戏，冬冬先用红笔在木棍上做标记，将木棍12等分：阿奇再用蓝笔在木棍上做标记，将木棍20等分：最后小悦用黑笔在木棍上做标记，将木棍30等分，此时按标记将木棍锯开，那么所锯成的小段中长度最短的共有几段。
解：10，12，15的最小公倍数是60，
设木棍60厘米，60÷12=5（厘米），60÷15=4（厘米），60÷30=2（厘米），
12等分的为第一种刻度线，共12-1=11（条），
20等分的为第二种刻度线，共20-1=19（条）。
30等分的为第三种刻度线，过30-1=29（条），第一种与第二种刻度线重合的条数：5和4的最小公倍数是20，60÷20-1=3-1=2（条），
第一种与第三种刻度线重合的条数：5和2的最小公倍数是10，60÷10-1=6-1=5（条），
第二种与第三种刻度线重合的条数：4和2的最小公倍数是4，60÷4-1=15-1=14（条），
三种刻度线重合的没有，6、5和4的最小公倍数是60，
因此，共有刻度线11+19+29-2-5-14=38（条），木棍总共被锯成38+1=39（段）；
答：木棍总共被锯成39段.
11、在1至1000的所有自然数中，不能被2、3、5、整除的数有多少？
被2整除，即 两个两个地数有多少组，1000\2=500 （\表示除后取整数部分）
被3整除，即 三个三个地数有多少组，1000\3=333
被5整除，即 五个五个地数有多少组，1000\5=200
被2和3同时整除，即 六个六个地数， 1000\6=166
被2和5同时整除，即 十个十个地数， 1000\10=100
被3和5同时整除，即 十五个十五个的数，1000\15=66
被2、3和5同时整除，即三十个三十个地数，1000\30=33
以上条件中不重复的数有 500+333+200-166-100-66+33=734
(里面已重复减掉了2、3、5同时整除的数，所以最后还是要加上33)
所以，不能被2、3、5任何一个数整除的个数为
1000-734=266 个