小升初数学复习课件-数论问题 人教版(共67张PPT)通用版

(共67张PPT)
数论问题
数论问题，包括数的整除、约数倍数、余数问题、质数合数、分解质因数、唯一分解定理、奇偶分析、中国剩余定理、位值原理、完全平方数、整数拆分、进位制等试题
数论问题1:数的整除
1.能被2（或5）整除的数的特征：个位能被2（或5）整除。
引申1：即能被2又能补5整除的数的个位一定是0.
引申2：若干个数相乘，判断积末尾0的个数，只需看这些数包含多少个2和5.
2.能被4（或25）整除的数的特征：看末两位能被4（或25）整除。
3.能被8（或125）整除的数的特征：看末三位能被8（或125）整除。
4.能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
5.能被11整除的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）是11的倍数。
6.能被7（11或13）整除的特征：把此数三位一隔，三位一隔，奇位和与偶位和作差（以大减小），其差能被（11或13）整除。
1.大于2011的自然数中，能被11、3、2、7整除的数最小是多少？
能被11、3、2、7整除的数就一定是11×3×2×7=462的倍数。
462×5=2310，2310大于2011，
又同时是11、3、2、7的倍数，
所以2310即为所求。
2、三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2__7__5“元，求每位学生最多可能交多少元？
解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 × 3，则这个五位数是25和3的倍数。
　　因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x，
　　如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；
　　如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725。
　　所以，满足题意的最大五位数为29775。
　　29775÷75=397(元)，
即每位学生最多可能交397元。
3、在所有五位数中，各位数字之和等于43，且能够被11整除的数有多少个？
其中最大的一个五位数是多少？
已知奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的和是43，
运用和差公式可知奇数位上的数字之和是（43+11）÷2=27；
偶数位上的数字之和是43-27=16。
所以符合条件的五位数只能是99979、98989、97999这三个数，
其中最大的一个是99979。
4、小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是"*679.*KB"，"*"表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗？
解："*679. *"能被72除尽，
则"*679*"应是72的倍数。72=8 ×9，
先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；
考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，
即这两个数字分别是3和2。
5、一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗？请证明你的判断。
解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，
则m-n=7d(d为整数),即n=m-7d，
原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，
1001=13 ×11 ×7，
7000d=7 ×1000d，
所以原数是7的倍数。
6、有一个能同时被2、3、5整除的数，已知这个数的各个数位上的数字加在一起是12，那么，这个数的个位上的数字是( )。
　解：0。
　　能被5整除，个位是5、0；
　　又能被2整除，则个位只能是0；
　　又因其他位数字的和为12，所以肯定能被3整除。
7、在1~1040间选出一些数，使任意两数之和是34的整数倍，最多可选( )个。
　①若每一个数均为34的整数倍，则任意两数之和也为34的整数倍。都选34的倍数，有[1040÷34]=30(个)，
　②若每一个数均为17的奇数倍，则任意两数之和必为17的偶数倍，即34的整数倍,选34的整数倍加17，有[(1040-17)÷34]+1=31(个)，
　　方法②最多，有31个。
8、从2、0、1、5、4、6这六个数中任意取出三个数字，可以组成很多各位数字互不相同的三位数。在这些三位数中，能被3整除的数有多少个
【分析】能被3整除数字之和就是3的倍数，我们发现0，1，2.4，5，6除以3余数分别是0，1，2.1，2，0，.所以我们把数字分成三组，
1，4一组除以3余数是1.
2，5一组除以3余数是2，
0，6一组除以3余数为0.
数字余数相加整除3即可.
【解答】解：第一组1，4.第二组2，5.第三组0，6，百位数字不为0共有1，2，4，5，6五种选择，
比如选择1，为确保余数不同，十位数字不能选千位同组数字，
共有2，5，06四种选择，
比如选择6，为确保余数不同，个位数组不能和百位十位同组，有2，5两种选择，
共有5×4×2=40种.
答：固本题有40个数字.
8、从2、0、1、5、4、6这六个数中任意取出三个数字，可以组成很多各位数字互不相同的三位数。在这些三位数中，能被3整除的数有多少个
【分析】能被3整除数字之和就是3的倍数，我们发现0，1，2.4，5，6除以3余数分别是0，1，2.1，2，0，.所以我们把数字分成三组，
1，4一组除以3余数是1.
2，5一组除以3余数是2，
0，6一组除以3余数为0.
数字余数相加整除3即可.
【解答】解：第一组1，4.第二组2，5.第三组0，6，百位数字不为0共有1，2，4，5，6五种选择，
比如选择1，为确保余数不同，十位数字不能选千位同组数字，
共有2，5，06四种选择，
比如选择6，为确保余数不同，个位数组不能和百位十位同组，有2，5两种选择，
共有5×4×2=40种.
答：固本题有40个数字.
9、如果六位数2011口口能被90整除，那么它的最后两位数是.
【分析】先将90分解质因数9×10，再结合被9整除、被10整除的特征，算出六位数的最后两位数.【解答】
解：能被90整除说明即能被9整除也能被10整除，被10整除说明这个六位数的个位数是0，
被9整除说明数字和应为9的倍数，
即2+0+1+1+a+0是9的倍数，所以a=5，
即后两位是50.
10、若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能被4整除，它的97倍是偶数，十位数字不小于6.则这个两位数是.
【分析】先将90分解质因数9×10，再结合被9整除、被10整除的特征，算出六位数的最后两位数.【解答】
解：能被90整除说明即能被9整除也能被10整除，被10整除说明这个六位数的个位数是0，
被9整除说明数字和应为9的倍数，
即2+0+1+1+a+0是9的倍数，所以a=5，
即后两位是50.
数论问题2:约数倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
约数个数：m=(p1)^(x1)*(p2)^(x2)*(p3)^(x3)*……
其中p1,p2,p3...是质数（素数）,x1,x2,x3...是它们的指数
则m的约数的个数是(x1+1)*(x2+1)*(x3+1)*……
例如24=(2^3) * (3^1)
所以其约数的个数为(3+1)*(1+1)=8个
1、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃.中午12点整，电子钟响铃又亮灯.问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？
【解析】因为电子钟每到整点响铃，所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了。
从中午12点起，每9分钟亮一次灯，由于1小时=60分钟，这个问题换句话说就是：9分钟的多少倍是60分钟的整数倍，
即求9分和60最小公倍数.9和60的最小公倍数是180.这就是说
从正午起过180分钟，也就是3小时，电子钟会再次既响铃又亮灯。
答：下一次既响铃又亮灯时是下午3点钟。
2、甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？
【解析】甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟。
【答案】40分钟
3、大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花围的周长，他的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个即印.求医形花围的周长。
【解析】必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数，
两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为
[54，72]=216厘米。
在216厘米里，两人留下的脚印数分别是：
216+54=4（个），216+72=3（个），
由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有4+3-1=6（个）脚印.
60÷6=10，即走完全程共重合10次，
因此，花圆周长为：216×10=2160（厘米）.
【
4、一次考试，参加的学生中有1/7得优，1/3得良，1/2得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？
【解析】由题意"参加的学生中有1/7得优，1/3得良，/2去得中"，可知参加考试的学生人数是7，3，2的倍数，
因为7，2，3的最小公倍数为42，42×2=84>50，所以参加的学生总数为42人.
那么得差的学生有：42×（1-1/7-1/3-1/2）=1人.
5、甲、乙是两个不同的自然数，都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12．则甲、乙二数之和是
解析：12=2 ×3，
A、B至少含有两个2和一个3.
因为A有12个约数，12=2×6=3×4，
所以A、B可能是2 ×2 ×2×3、2 ×3 ×3或3 ×2 ×2；即A、B可能是96、108、72，
因为这两个数不相同，并且最大公因数是12，
所以可以得出A、B只能是96和108或108和96，
故A+B=96+108=204
抓住A、B的约数个数是12，得出A、B至少含有两个2和一个3
6、有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？
【解析】由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，
甲和乙每分钟差120-80=40（米），则需要400+40=10分钟乙才能第一次追上甲
同理，乙每分钟比丙多走120-70=50（米），则需要400÷50=8分钟乙才能追上丙：
同理，甲每分钟比丙多走80-70=10（米），则需要400÷10=40分钟甲才能追上丙：
而想要三人再次相递，所需的时间则为10，8，40的公倍数.因为[10，8，40]=40，
所以三人相聚需要过40分钟，即40分钟后，三个人可以首次相聚。
7、今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆．每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分多少堆
112=2×2×2×2×7；
42=2×3×7；
70=2×5×7，
42、112、70的最大公因数是2×7=14，可以分成14堆．
答：最多可以分成14堆．
数论问题3:余数问题
带余除法的定义及性质
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。
1、自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．
【解析】因为1992是a的46倍还多r，
得到1992÷46=43....14，
得1992=46×43+14，
所以a=43，r=14.
2、2019被大于11的整数加除的余数为11，m的答案有个.
【分析】先将2019-11=2008，然后将2008进行分解，看看大于1的因数有多少。
【解答】解：2019-11=2008
2008=2×2×2×251因此m的值可能是251
251×2=502
251×2×2=1004
251×2×2×2=2008这四个数。
3、一个正整数除以20，得到的余数比商的10倍大2，这个数为？
【解答】解：假设a÷20=b....c.
由题意可知，c=10b+2.因为余数一定会小于等于20，
所以一定会大于等于于2.也就是商只能是0，1.
商为1时，1×10+2=12，20×1+12=32，
商为0时，0×10+2=2，20X0+2=2；
答案为32或2
4、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
310-37=273，说明273是所求余数的倍数，
而273=3×7×13，
所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.
5、求2461×135×6047÷11的余数.
【解析】因为2461÷11=223..8，135÷11=12..3，6047÷11=549..8，根据同余定理（三），
2461×135×6047÷11的余数等于8×3×8÷11的余数，而8×3×8=192，192÷11=17..5，
所以2461×135×6047÷11的余数为5.
6、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人
【解析】由48÷4=12，48÷5=9.6知，一组是10或11人.
同理可知48÷3=16，48÷4=12知，二组是13、
14或15人，
因为二组比一组多5人，
所以二组只能是15人，一组10人.
7、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【解析】所求班级数是除以118，67，33余数相同的数。
那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数，
所求答案为17.
数论问题4:质数、合数和分解质因数
1.质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
1、小华把数字2~9分成4对，使得每对数的和为质数.问一共有多少种不同的分法？
【分析】按一定的顺序去列举.
【解答】解：
23；47；56；89
23；49；58；67
25；34；67；89
25；38；49；67
29；34；58；67
29；38；47；56
一共有上面6种.
2、三位数abc是质数，a，b，c也是质数，cba是偶数，ab是5的倍数，求三位数abc.
【解答】解：cba是偶数，且a是质数，那么a=2，b是5的倍数，且b也是质数，那么只有b=5，
abc是质数，c也是质数，c不可能是2和5.只能3或7，
如果c=3，那么abc=253=23×11不符合质数要求，c=7，abc=257质数.
即三位数abc是257.
3、不计算，判断48×825×34×375×120的积的末尾共有多少个连续的0？
解：48=2×2×2×2×3，
825=3×5×5×11，
34=2×17，
375=3×5×5×5
120=2×2×2×3×5，
这些数中只有8个2和6个5，所以末尾有6个0。
答：积的末尾共有6个0。
4、如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？
【分析与解】4875=3×5×5×5×13，
　　有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．
　　那么它们的差为39-25=14．
　　评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63．
　　而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．
　　我们再对65，195，325，375，975等一一验证．
　　严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．
5、某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元
这个学校最少有35+14×30=455名师生，
最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．
1995=3×5×133，
在455～665之间的约数只有5×133=665，
所以师生总数为665人，
则平均每人捐款1995÷665=3元．
6、若a、b互素，且两个最简分数之和m/a+n/b=31/35，则m/a+n/b-1/（mn）等于多少
【解答】解：因为若a、b互素，且计算结果的分母为35，则35就是这两个质数的乘积，
35=5×7，
所以，a=5，b=7，则7m+5n=31，
解得，m=3，n=2，所以，
a/m+b/n-1/(mn)=5/3+7/2-1/6=5
7、将所有质数从小到大推列，前2016个质数乘积的末尾有个0.
【解答】解：在所有的质数中，除了2和5外都没有质因数2或5，否则就不是质数，所以前2016个质数乘积的末尾0的个数，是由2和5的乘积的末尾0的个数决定的，
2×5=10，所前2016个质数乘积的末尾有1个0.
答：将所有质数从小到大推列，前2016个质数乘积的末尾有1个0.
故答案为：1.
8、已知一个长方体的长宽高分别为3个连续自然数，并且这三个自然数均为合数，那么，这个长方体的休积最小是多少.
【分析】确定出三个连续合数乘积最小的三个连续合数，即可解决问题。
【解答】解：要使长方体的体积最小，即要使三个连续合数的乘积最小，最小的三个连续合数分别是8，9，10，所以长方体的体积为720.
故答案为720.
数论问题5:奇偶分析问题
性质一：
偶数+偶数=偶数（偶数-偶数=偶数）
奇数+奇数=偶数（奇数-奇数=偶数）
偶数+奇数=奇数（偶数-奇数=奇教）
可以看出：一个数加上（或减去）偶数，不改变这个数的奇偶性；一个数加上（或减去）奇数，它的奇偶性会发生变化.
也就是说，两个奇偶性相同的数加减得偶数，两个奇偶性不同的数加减得奇数；
性质二：
偶数×奇数=偶数（偶数个奇数相加得偶数）
偶数×偶数=偶数（偶数个偶数相加得偶数）
奇数×奇数=奇数（奇教个奇数相加得奇数）
可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数。
性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
整数的奇偶性是整数的一种重要而有趣的性质，通过对于奇性的分析可以解决许多与整数有关的数学问题和实际问题，这种方法被称为“奇偶分析法”。
1、有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有面码之和能否是1999
不可能．每张纸上的两个页码之和是奇数，20个奇数之和是偶数．
2、试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．
这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．
3、桌子上有11个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的6个，问能否经过若干次翻动，使得11个杯子的开口全都向下？
不能，杯子要翻过来的翻奇数次，11个杯子都要翻过来，要把所有被子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动6个，那总次数是偶数，偶数不可能等于奇数，因此不能把11个杯子的开口全都向下．。
4、甲，乙，丙三名选手参加长跑比赛．起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙，甲与丙的位置次序共交换13次．比赛结果甲是第几名？
注意到和奇数相邻的一定是偶数，和偶数相邻的一定是奇数甲每和乙丙交换一次位置次序，自己名次的奇偶性就发生一次变化变化了13次相当于变化一次，甲开始在第一，名次是奇数，变化一次后变为偶数名次只可能是1，2，3，这里面只有2是偶数，因此比赛结果甲是第2名．
5、沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等．早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物．傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头．请说明甲、乙两船的航程不相等．
以相邻两码头间的距离为单位，则乙船从1号码头出发又回到1号码头，其航程必为偶数个单位；甲船从1号码头出发，最终泊在6号码头，其航程必为奇数个单位．
6、判断1987+1989+1991+1993+…+2135所得的和是奇数还是偶数？
答案:和是奇数。由题中可以看出，加数是连续奇数，
共有（2135－1987）÷2+1＝75个，
75是奇数，而奇数个奇数相加和是奇数，
所以所得的和是奇数。
7、有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和 并说明理由。
不可以。一名为98个数中有49个奇数，奇数加偶数等于奇数，奇数不是二的倍数
数论问题6:剩余定理
“物不知数问题”一般解题步骤：
①凑“多”相同，即把余数处理成相同。条件：余数与除数的和相同
②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同。条件：除数与余数的差相同
③先考虑上面两种，如果都不行，可使用逐步满足法或使用“中国剩余定理”。
④逐步满足法：先满足条件一，得N，再用“M=N+已满足除数公倍数”来满足下一个条件.
1、“民间流传着一则故事——‘韩信点兵’．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人．忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？
【分析】也就是说：一个自然数在1000和1100之间，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的数.
先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…；
再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，…
这两列数中，首先出现的公共数是8. 而3与5的最小公倍数是15.
两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8，23，38，…，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.
而[3，5，7]=105，我们就把题目转化为：求1000~1100之间被105除余23的数.
韩信有105×10+23=1073（个）将士.
2、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
　　则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
　　为了使20被3除余1，用20×2=40；
　　使15被4除余1，用15×3=45；
　　使12被5除余1，用12×3=36。
　　然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
　　因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
3、有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？
　题中9、7、5三个数两两互质。
　　则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
　　为了使35被9除余1，用35×8=280；
　　使45被7除余1，用45×5=225；
　　使63被5除余1，用63×2=126。
　　然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
　　因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
4、—堆糖分给A、B、C三个班级的小朋友（每班人数互不相同），如果A班每人6颗，则多3颗；乙班每人7颗，则少3颗：丙班每人8颗，则少7颗，问这堆糖至少有多少颗？
【分析】设A、B、C三个班级的小朋友人数分别是A人，B人，C人，由题意得：64+3=7B-3=8C-7，据此解答即可。
【解答】解：设A、B、C三个班级的小朋友人数分别是4人，B人，C人，由题意得：
6A+3=7B-3=8C-7所以：
7B-6A=6
8C-7B=4
4C-3A=5经过枚举可知：
A=13，B=12，C=11
6×13+3=81（颗）
7×12-3=81（颗）
8×11-7=81（颗）
答：这堆糖至少有81颗.
5、.某战士发装备，一共有31套军装，71个水壶和79双军鞋，每个战士拿的一样多，最后一共剩下20件物品没有发出去.那么一共有多少名战士？
【分析】首先根据题意，把军装、水壶和军鞋的数量相加，求出一共有181件物品；然后用物品的总量减去剩下的物品的数量，求出一共发出去了161件物品；最后把161分解质因数，再分类讨论，判断出一共有多少名战土即可。
31+71+79-20=161（件） 161=23×7
（1）当有7名战士时，
31÷7=4（套）…3（套）
71÷7=10（个）.…1（个）
79÷7=11（双）..2（双）
因为3+1+2=6（件），6≠20.所以有7名战士不符合题意.
（2）当有23名战士时，
31÷23=1（套）.…8（套）
71÷23=3（个）.…2（个）
79÷23=3（双）.…10（双）
因为8+2+10=20（件），所以一共有23名战士，每名战士分得1套军装。3个水壶和3双军鞋。可得一共有23名战士
数论问题7:位置定理
一、位值原理的认识
1、定义：因为位置不同，所以数值大小不同二、位值原理的应用
1.组数求和：用完全拆分证明用数字组数所得的所有数之和一定是某个数的倍数.
（1）用数字a、b和c组成的6个无重复数字的三位数之和一定是222的倍数.
证明：abc+ac6+bac+bca+cab+cba=222×（a+b+c）
2.完全拆分：abcd=a×1000+b×100+c×10+d×1
3.部分拆分：abcd=abc×1000+d×1
4.原序数和反序数：（作差找整除）
（1）偶数位的原序数和反序数的和一定是11的信数，差一定是9的倍数
（2）奇数位的原序数和反序数的差一定是99的倍数
1、有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可以得到一个三位数，如果把3加写在它的后面，则也可以得到一个三位数，如果在它的前后各加写一个数码3，则可以得到一个四位数。将这两个三位数和一个四位数相加等于3600，求原来的两位数
设原来的二位数为x
(300+x)+(10x+3)+(3000+10x+3)=3600
21x=294
x=294÷21
x=14
原来的两位数为14
2、将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7992，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是
设原四位数为 a，b，c，d．（a，b，c，d 为 0-9的整数，a≠0），d必定大于a，且a和d均不为0，千位数相减；因为d-a=7不成立，因为，个位数相减10+a-d=2，所以d-a=8
此时只有一种组合，即a=1，d=9，此结果为固定；
再看b和c；从十位数看，b-1-c=9，
所以b-c=10，则b=c；
从百位数看，c-1-b=9，
所以c-b=10，也支持b=c，
要想原数最大，在a、d值已固定的情况下，
则唯使b、c，最大即可，即b=c=9，
故答案为：1999．
3、有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是1111.那么原来的三位数是多少？
解答：设原三位数为abc，则新三位数为cba，根据位置原理有
abc+cba=101(a+c)+20b.
又因为1111=101×11，且b为一位数，
所以a+c=11,b=0;
原数为8的倍数，
则c=4,a=7,
所以原来的三位数是704.
4、小红的爸爸的汽车车牌号是一个五位数，小红做倒立时发现，这时车牌号变成了另一个五位数，而且新的五位数比原来的五位数大78633。求小红爸爸的车牌号是多少？
解：只有0、1、8、6、9这五个数字倒着看后仍然是有效的数字，
78633的最高位是7，个位是3，
所以车牌号的第一位是1，最后一位是8，十位是3，
只能是0-6被借后得十位是3，千位9-0被借后得8，中间只能是两个倒着看的数相减得6，
只能是6-9被借后得6，
即这辆车的车牌号是10968。
5、某人1995年过了生日后，他的实际年龄（实足年龄）是他出生年份的四个数字之和，那么这个人是哪一年出生的？
解：设此人是19ab年出生的，则
95-（10a+b）=1+9+a+b，
整理得11a+2b=85，
则a=7，b=4，此人是1974年出生的。
6、有两个三位数，如果把较大的数放在较小数的左边，所成的数正好等于把较小数放在较大数左边所成数的6倍，那么这两个数相差多少？
解：设较大的数是x，较小的数是y，则
1000x+y=6（1000y+x），
化简得142x=857y，
所以x=857，y=142，
857-142=715。
7、小明是公元ABCD年出生。2008年，小明的年龄是（4+8+C+D+6）岁。小明生于哪一年？
解：若小明生于19CD年，
则100-（10C+D）+8=1+9+C+D+6，
即11C+2D=92，C=8，D=2，
即1982年；若小明生于200D年，
易知小明生于2000年。
8、有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
设这六个不同的三位数为abc，acb，bac，bca，cab，cba，
因为abc=100a+10b+c，acb=100a+10c+b，..…，
它们的和是：222×（a+b+c）=1554，
所以a+b+c=1554+222=7，
由于这三个数字互不相同且均不为0，
所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，
而7-（1+2）=4，所以最大的数最大为4；
又1+2+3=6<7，
所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2.
数论问题7:完全平方数
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，
性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十依数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方酸的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：完全平方数的约数个数为奇数。
　平方差公式：X -Y =（X-Y）（X+Y）
　完全平方和公式：（X+Y） =X +2XY+Y
　完全平方差公式：（X-Y） =X -2XY+Y
1、一个自然数加n，满足：n与200的和为一个平方数，n与292的和为另一个平方数.那么这个自然数是多少
【解答】解：设
n+200=a ，（1）
n+292=b ，（2）
（2）-（1），得b -a =92，
（b+a）（b-a）=46×2，b+a=46（3）
b-a=2（4）
由（3）（4）解得
a=22，b=24；
n=22 -200=484-200=284；
答：这个自然数是284.
2、一个正整数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上168，则是另一个完全平方数，则这个正整数是多少
【解答】解：设所求的数为n，由题意，得：
n+168=a .…（1）
n+100=b ..（2）
（1）-（2），得：68=a -b =（a+b）（a-b），
由于68=1×68=2×34=4×17，只有三种情况，即：
①a+b=68，a-b=1；②a+b=34，a-b=2；③a+b=17，a-b=4；
因为①a与b没有整数解，排除；
②算出a=18，b=16，所以：
n=18 -168=16 -10=156；
③a与b没有整数解，排除.
综上，只有n=156，即为所求的数.
故答案为：156.
3、一个整数a与108的乘积是一个完全平方数，这个平方数是
【解答】解：108=2×2×3×3×3，其中有2 、3
所以再有一个因数3，即可组成一个完全平方数，所以a=3，
108×3=324，
答：这个完全平方数是324.
故答案为：324.
4、46305乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方.求最小的a和这个整数.
【解答】解：46305=3×3×3×5×7×7×7，
所以a为：3×5×7=105；
这个整数是：3×3×5×7×7=2205
答：最小的a是105；这个整数是2205.
5、一个四位数是完全平方数，这个数的千位数字也是完全平方数，这个数的后三位数字组成的三位数还是一个完全平方数，所有这样四位数之和是
【解答】解：由题可知，这个数的千位数字为1、4、9.
当千位上为1时，后三位数字组成的三位数设为m ，四位数为n .（n，m为自然数），
则有1000+m =n ，则有（n+m）（n-m）=1000.
算出m=15，n=35，所以四位数为1225.
同理可算出其余四位数为4900，
所以所有这样四位数之和是1225+4900=6125，
故答案为6125.