青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年青海省西宁市大通回族土族自治县高二上学期期末考试
数学（文）试题
一、单选题
1．经过点的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ）
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内
C．直线 ，直线，且bα，aβ
D．α内的任何直线都与β平行
7．若与相外切，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．已知命题：若，则；命题：若，则.则下列是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
9．2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知原命题：“若x＜－2，则”，则逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知命题p：，，则为______．
14．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是______．
15．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是______．
16．在菱形中，，M为的中点，将沿直线翻折成，使得平面平面，如图所示，则三棱锥的外接球的体积是________．
三、解答题
17．设集合，集合．
(1)已知p：，若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．已知直线l经过直线和的交点，且与直线垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C的半径，且圆心C在y轴的负半轴上，直线l被圆C所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
19．已知函数，且.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的值域.
20．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点M，N分别是棱PD的三等分点．
(1)证明：平面ACM；
(2)求三棱锥N－ACM的体积．
21．已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
22．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，且的面积为，其中为坐标原点.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，若直线，关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标.
2022-2023学年青海省西宁市大通回族土族自治县高二上学期期末考试
数学（文）试题
一、单选题
1．经过点的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用两点斜率公式计算即可.
【详解】．
故选：C.
2．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由椭圆的性质求解.
【详解】由题意得，，则，，
椭圆焦点在轴上，
焦点为，，
故选：A
3．若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算.
【详解】由题意可知，，
.
故选：D.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接根据双曲线定义得到，，得到双曲线方程.
【详解】设双曲线的方程为，半焦距为，则，，
故，.所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
5．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解方程即得解.
【详解】，所以，解得．
故选：A．
6．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ）
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内
C．直线 ，直线，且bα，aβ
D．α内的任何直线都与β平行
【答案】D
【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可.
【详解】A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；
B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；
C：直线 ，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；
D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确.
故选：D.
7．若与相外切，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据两圆外切，得到圆心距等于半径之和，求出
【详解】的标准方程是，圆心的坐标为，半径，
的标准方程是，圆心的坐标为，半径，
因为与相外切，
所以，
即，
解得：.
故选：C.
8．已知命题：若，则；命题：若，则.则下列是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数的运算性质及三角函数的值的特点，结合复合命题真假的判断即可求解.
【详解】若，则，所以，故命题为真命题；为假命题；
当时，，但，故命题为假命题，
所以为真命题；为假命题；为假命题；为假命题.
故选：C.
9．2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义，以及已知可得出，解方程组即可得出的值，进而得出答案.
【详解】设公转轨道的长半轴长为（万千米），半焦距为（万千米）.
由题意知，解得，
所以离心率．
故选：D．
10．已知原命题：“若x＜－2，则”，则逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，判断真命题个数.
【详解】原命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；
原命题的逆命题为：“若，则”，
由得或，所以逆命题为假命题；
又因为原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题为假命题；
综上，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题个数为1个.
故选：B.
11．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线为，底面半径为.由已知可得，进而根据圆锥的面积公式可求出，即可得出答案.
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为.
圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为，弧长为，
由已知可得，，所以.
所以，圆锥的表面积，所以，
所以，这个圆锥的底面直径为.
故选：B.
12．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围.
【详解】由已知，函数的定义域为，.
由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，
即，可转化为在上恒成立，所以．
因为，所以，所以．
因此实数a的取值范围是．
故选：D．
【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案.
二、填空题
13．已知命题p：，，则为______．
【答案】，
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】为，.
故答案为：，.
14．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是______．
【答案】
【分析】根据圆心到直线的距离求出圆的半径，即可得出答案.
【详解】圆心到直线的距离.
由已知可得，圆的半径，
所以该圆的标准方程是．
故答案为：．
15．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】函数在区间上有极值点，转化为在区间上有解即可求解.
【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得．
故答案为：
16．在菱形中，，M为的中点，将沿直线翻折成，使得平面平面，如图所示，则三棱锥的外接球的体积是________．
【答案】
【分析】求三棱锥的外接球体积，转化为求长方体的体积，即可得到本题答案.
【详解】由题意知，故，
又平面平面，平面平面，且平面，
故平面，
因为M为的中点，所以．
如图所示，要求三棱锥外接球体积，即求如图所示的长方体外接球的体积，
由已知得长方体的长、宽、高分别为4、、2，则长方体的外接球半径，
而球的体积．
故答案为：
三、解答题
17．设集合，集合．
(1)已知p：，若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，得到不等式组，求出实数m的取值范围；
（2）根据题意得到是的真子集，并得到，得到方程组，求出实数m的取值范围.
【详解】（1）由题意得，故，解得：，
故实数m的取值范围是；
（2）由题意得：，
由“”是“”的必要不充分条件，得到是的真子集，
因为，所以，
故或，
解得：，
故实数m的取值范围是.
18．已知直线l经过直线和的交点，且与直线垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C的半径，且圆心C在y轴的负半轴上，直线l被圆C所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两直线联立方程求出交点，再根据垂直的条件求出直线的斜率，代入点斜式可得直线方程；
（2）设出圆的圆心和半径，利用圆的弦长公式可联立方程解方程可得.
【详解】（1）由已知，得解得两直线交点为，
设直线l的斜率为k，因为直线l与垂直，所以，解得，
所以直线l的方程为，即．
（2）设圆C的标准方程为，
由于直线l被圆C所截得的弦长为，设弦长为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，
则，，，
则由题意，得，
解得或（舍去），
所以圆C的标准方程为．
19．已知函数，且.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；
（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域.
【详解】（1），，解得：，
，则，
在点处的切线方程为：，即.
（2）由（1）知：，则，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，，，
的值域为.
20．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点M，N分别是棱PD的三等分点．
(1)证明：平面ACM；
(2)求三棱锥N－ACM的体积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接BD交AC于E，连接EM，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）证明CD⊥平面PAD，再根据即可得出答案.
【详解】（1）证明：连接BD交AC于E，连接EM，
因为ABCD是正方形，且BD交AC于E，所以E为BD的中点，
又点M，N分别是棱PD的三等分点，所以M为DN的中点，所以，
又平面ACM，平面ACM，
所以平面ACM；
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，AD，平面ABCD，
所以PA⊥CD，PA⊥AD，
因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，
又，AD，平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
在Rt△PAD中，，点M，N分别是棱PD的三等分点，
所以，
所以．
21．已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案；
（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围．
【详解】（1）由题意得，
函数在及处取得极值，
得，解得.
此时，.
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.
（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，
由图象知，解得，
所以实数c的取值范围是．
22．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，且的面积为，其中为坐标原点.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，若直线，关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）由，得点的横坐标为，代入方程得点的纵坐标为，再的面积为解方程即可，
（2）设直线方程，与抛物线方程联立方程组，设，两点坐标，利用直线，关于轴对称，结合斜率公式和韦达定理化简计算即可.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
因为，所以点的横坐标为，代入抛物线方程，得，
又的面积为，所以，又，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
由得，，即，
所以，.
因为直线，关于轴对称，所以，
即，化简，得，
所以，所以，
所以直线的方程为，恒过定点.
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