山东省青岛市胶州市等2022-2023学年高二下学期期初自主检测数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛市胶州市等高二下学期期初自主检测
数学试题
一、单选题
1．已知直线的斜率为,则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数据甲：；数据乙：，则（ ）
A．甲的平均数大于乙的平均数 B．乙的平均数大于甲的平均数
C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的方差大于甲的方差
3．已知椭圆的右焦点为，点在上，点到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
4．某中学“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款元．他们第天只得到元，之后采取了积极措施，从第天起，每一天收到的捐款都比前一天多元．则这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A． B． C． D．
5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下述正确的是（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C．与相等 D．与相互独立
6．经过两点的直线的方向向量为，点满足，其中为参数，记点的轨迹为曲线．则直线上的点到上的点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且的离心率为，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知为有穷整数数列，对任意，在中存在，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某社会调查机构就某地居民的年运动时间情况调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．则（ ）
A．
B．再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在段应抽出人数是
C．估计该地居民年运动时间的中位数在段内
D．估计该地居民年运动时间的平均数为
10．已知圆，圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．圆与圆公切线的长度为
C．圆与圆公共弦所在直线的方程为
D．圆与圆公共部分的面积为
11．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则（ ）
A．是无理数 B．是有理数
C． D．无限循环小数是有理数
12．已知椭圆的两个焦点坐标分别为，离心率为，则（ ）
A．越接近，则就越接近于圆
B．越接近，则就越接近于圆
C．若经过点，则的长轴长为
D．若，动直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上
三、填空题
13．直线恒过定点，则点的坐标为_____________．
14．从这个数中随机选一个数，则该数的平方的个位数字为的概率等于_____________．
15．已知为椭圆的左、右焦点，点在上，则的最小值为___________．
四、双空题
16．已知双曲线的一条渐近线为，的左、右顶点分别为，点在右支上且在第一象限，设直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则（1）_____________；（2）的取值范围是_____________．
五、解答题
17．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否相互不影响，各轮结果也互不影响．设分别表示甲两轮猜对个，个，个成语的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个成语的事件．
(1)求；
(2)求“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率．
18．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为常数列；
(2)证明：．
19．已知为坐标原点，动点到两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线．
(1)说明是何种曲线，并求曲线的方程；
(2)若直线过点，曲线截所得弦长等于，求直线的方程．
20．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)若，求数列的前项和；
(3)求集合中的元素个数．
21．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别记为，的离心率为，与圆在第一象限的交点为，的面积等于．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上顶点为，动点在圆上，动点在椭圆上，直线的斜率分别为，且，求外接圆直径的最大值．
22．已知为坐标原点，双曲线的焦距等于，由点，构成的四边形的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线相切于点，与圆相切于点，求的最小值．
2022-2023学年山东省青岛市胶州市等高二下学期期初自主检测
数学试题
一、单选题
1．已知直线的斜率为,则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据斜率和倾斜角之间的关系即可得倾斜角.
【详解】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为,,
所以,即.
故选:D
2．已知数据甲：；数据乙：，则（ ）
A．甲的平均数大于乙的平均数 B．乙的平均数大于甲的平均数
C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的方差大于甲的方差
【答案】C
【分析】先计算出两组数据的平均数, 再根据方差的定义计算出方差, 从而得出答案.
【详解】甲的平均数，
乙的平均数，
∴甲的平均数与乙的平均数相等，故A、B错误；
甲的方差；
乙的方差，
∴，故C正确，D错误.
故选：C．
3．已知椭圆的右焦点为，点在上，点到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆的右焦点为求得的值，得出椭圆方程，设，点到直线的距离为求得，代入椭圆方程求出，利用两点间距离可求得答案.
【详解】已知椭圆的右焦点为，则，故椭圆，
设，点到直线的距离为，则，解得或，
当时，，由题意得，即，此方程无解；
当时，，由题意得，即，则，
综上，.
故选：B.
4．某中学“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款元．他们第天只得到元，之后采取了积极措施，从第天起，每一天收到的捐款都比前一天多元．则这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】每天收到的捐款成等差数列，求项数.
【详解】由题，每天收到的捐款是以10为首项，10为公差的等差数列，
设活动进行了n天，则，
即
解得或（舍去），
所以活动进行了15天.
故选：D.
5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下述正确的是（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C．与相等 D．与相互独立
【答案】D
【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)，
显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A，事件B既不互斥也不对立，故A，B均错误；
事件A，事件B中有不同的结果，于是得事件A与事件B不相等，故C错误；
因为，则，所以A与B相互独立，故D正确.
故选：D.
6．经过两点的直线的方向向量为，点满足，其中为参数，记点的轨迹为曲线．则直线上的点到上的点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意求出和直线的方程，利用点到直线的距离公式和辅助角公式及余弦型函数性质的应用求出结果．
【详解】由题意得，直线方程为,
则曲线(为参数)，
所以点到直线的距离为
，其中，
所以当时，，
即直线上的点到上的点的距离的最小值为．
故选：A.
7．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且的离心率为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用双曲线的定义，结合条件求得，，再由余弦定理即可得到所求结论．
【详解】为双曲线上一点，且，则由双曲线的定义可得，
所以，，又，，
则，
因为，所以.
故选：C．
8．已知为有穷整数数列，对任意，在中存在，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意由开始逐一探求即可求解的最小值．
【详解】当时，则最多能表示共1个数字，不合题意；
当时，则最多能表示共3个数字，不合题意；
当时，则最多能表示共6个数字，不合题意；
从而，
当时，取数列，可以表示出这8个数字，即存在符合题意，
故的最小值为4.
故选：B．
二、多选题
9．某社会调查机构就某地居民的年运动时间情况调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．则（ ）
A．
B．再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在段应抽出人数是
C．估计该地居民年运动时间的中位数在段内
D．估计该地居民年运动时间的平均数为
【答案】AC
【分析】根据各小矩形面积之和等于1，即可解出a的值；中位数是小矩形面积之和累计为0.5的值；再由频率分布直方图中频率计算平均数，求出段频率即可求解人数.
【详解】对于A，由，得，
故A正确；
对于B，根据频率分布直方图可得，年活动时间在段的频率为，所以抽出人中该段人数为，故B不正确；
对于C，前两个小矩形面积之和为，
前三个小矩形面积之和为，
由中位数是小矩形面积之和累计为0.5的值，所以中位数在段内，故C正确；
对于D，该地居民年运动时间的平均数约为
，故D不正确.
故选：AC
10．已知圆，圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．圆与圆公切线的长度为
C．圆与圆公共弦所在直线的方程为
D．圆与圆公共部分的面积为
【答案】BCD
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.
【详解】解：因为圆，圆，
所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以，故圆与圆相交，即A错误；
因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确
将两圆方程作差得，
所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确；
因为的圆心为，半径，
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为，
又圆心到直线的距离为，
所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确.
故选：BCD
11．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则（ ）
A．是无理数 B．是有理数
C． D．无限循环小数是有理数
【答案】BCD
【分析】由于，设，①，得，②，由②－①得出，即可判断C；由可判断A，B；由于无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，从而可判断D．
【详解】由于，设，①，得，②
②－①得，解得，于是得，故C正确；
因为，可以化为的形式，故是有理数，故A错误，B正确；
无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故D正确．
故选：BCD．
12．已知椭圆的两个焦点坐标分别为，离心率为，则（ ）
A．越接近，则就越接近于圆
B．越接近，则就越接近于圆
C．若经过点，则的长轴长为
D．若，动直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上
【答案】ACD
【分析】由椭圆的性质可判断A、B；由椭圆的定义可求得长轴长即可判断C；联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系可得直线被椭圆所截线段中点的坐标，代入直线成立，说明直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上．
【详解】由椭圆的性质可知，越接近0，椭圆就越接近于圆；越接近1，椭圆就越扁平，故A正确，B错误；
若经过点，则由椭圆的定义可知的长轴长为，故C正确；
由已知得，则，故椭圆的方程为，
联立直线与椭圆方程，得，
由，解得.
设直线与椭圆相交于，则，
，
故线段的中点，
代入直线，可得成立．
直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上．
故选：ACD.
三、填空题
13．直线恒过定点，则点的坐标为_____________．
【答案】
【分析】将直线方程化为，令，解得即可.
【详解】直线，即，令，解得，
所以直线过定点.
故答案为：
14．从这个数中随机选一个数，则该数的平方的个位数字为的概率等于_____________．
【答案】##0.2
【分析】根据古典概型概率公式即得.
【详解】从这个数中随机选一个数共10种等可能的结果，
其中该数的平方的个位数字为的数字为4,6，即该数的平方的个位数字为的结果为2种，
所以该数的平方的个位数字为的概率等于.
故答案为：.
15．已知为椭圆的左、右焦点，点在上，则的最小值为___________．
【答案】##
【分析】利用椭圆的定义和基本不等式直接求最值.
【详解】因为点在椭圆上，所以，所以.
所以
（当且仅当，即时等号成立 ）.
所以的最小值为.
故答案为：.
四、双空题
16．已知双曲线的一条渐近线为，的左、右顶点分别为，点在右支上且在第一象限，设直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则（1）_____________；（2）的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】由题意可得，求得双曲线的方程，由直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，可求得；由结合基本不等式可求得的取值范围．
【详解】由题意可得，，从而，双曲线
设，则，可得
所以；
因为，且，可得
所以
因为
所以，即的取值范围是.
故答案为：；．
五、解答题
17．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否相互不影响，各轮结果也互不影响．设分别表示甲两轮猜对个，个，个成语的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个成语的事件．
(1)求；
(2)求“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率．
【答案】(1)，，，，，
(2)
【分析】（1）根据独立重复试验乘法公式计算；
（2）分析“星队在两轮活动中猜对2个成语”的具体情况，再利用互斥事件的加法公式计算.
【详解】（1）根据独立性假设：
，
，
，
，
，
；
（2）设“‘星队’在两轮活动中猜对个成语”，可能的情况是：甲队0个乙队2个；甲队1个乙队1个；甲队2个乙队0个；
则
且两两互斥，与，与，与分别相互独立
所以；
综上， ，
星队在两轮活动中猜对2个成语的概率是 .
18．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为常数列；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用之间的关系即可得证；
（2）由（1）知可得，然后利用裂项求和法求得，即可证得结论.
【详解】（1）由题知：，解得
因为，（）
两式相减得：，即
所以，
又，则也适合上式
所以数列为常数列.
（2）由（1）知，，
所以
所以.
19．已知为坐标原点，动点到两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线．
(1)说明是何种曲线，并求曲线的方程；
(2)若直线过点，曲线截所得弦长等于，求直线的方程．
【答案】(1)是圆心为，半径等于的圆；
(2)或
【分析】（1）直接根据条件列式，化简整理可得曲线的方程，进而判断曲线类型；
（2）分为两种情况讨论：若直线的斜率不存在，直接验证即可；若直线的斜率存在，设直线的方程为，由弦长可得圆心到直线的距离，列出方程可求得，从而得出答案.
【详解】（1）由题知，设点，
则，所以，
即，整理得，
所以，所以是圆心为，半径等于的圆.
（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，与的交点坐标为，此时弦长等于
若直线的斜率存在，设直线的方程为：，
圆心到直线的距离
曲线截所得弦长等于，所以，解得
所以，解得
则直线的方程为：，即
综上，直线的方程为：或.
20．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)若，求数列的前项和；
(3)求集合中的元素个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)5
【分析】（1）设数列的公差为，结合已知条件解方程组得，从而得证；
（2）结合（1）可求得，用裂项求和法求出结果；
（3）结合（1）可得，解得的范围，即可得出答案.
【详解】（1）设数列的公差为，
由已知得，即
解得，，所以.
（2）由（1）知：，所以
所以
所以
.
（3）由（1）知，，由得：
所以，即，解得：
又，则
所以集合中元素个数为个.
21．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别记为，的离心率为，与圆在第一象限的交点为，的面积等于．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上顶点为，动点在圆上，动点在椭圆上，直线的斜率分别为，且，求外接圆直径的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知点在圆上得，结合的面积和解得，进而由离心率解得，可得椭圆的方程；
（2）设，设直线，代入可解得；设直线，代入可解得，从而得，进而得出为直角三角形，其外接圆的直径为线段，根据的表达式，利用二次函数的性质求出最大值.
【详解】（1）由题知，点在圆上，所以，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，解得
又因为离心率，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）设，设直线，
将代入得，
所以，
设直线，
将代入得，
所以，
所以
所以，所以为直角三角形，其外接圆的直径为线段，
又因为
当且仅当时时，取最大值，
综上，外接圆直径的最大值为.
22．已知为坐标原点，双曲线的焦距等于，由点，构成的四边形的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线相切于点，与圆相切于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意列出方程组求得，可得结果；
（2）若直线斜率不存在，直接求解；若直线斜率存在，设，由直线与圆相切得，由直线与双曲线相切得，，可求得的范围以及，，与的关系，然后根据的表达式，结合基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由题知：，所以，解得
所以，双曲线的方程为.
（2）若直线斜率不存在，，所以；
若直线斜率存在，设
直线与圆相切，所以
因为直线与双曲线相切，，得，
所以，，
对于：因为，且，
所以，且
所以，
所以
当且仅当时取等号，
所以最小值为.
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