7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
第七章 复数
2023/3/10
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及几何意义
高斯不仅阐述了复数的加减法和乘法,而且将复数a+bi表示为复平面的一点(a,b),加法和减法运算更增添了向量的形象，
1777年,数学家欧拉首次提出了新数i,
1801年,数学家高斯系统使用了i这个符号,使之通行于世。
从此复数不再神秘。
在上一节，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算. 下面就来讨论复数集中的运算问题.
1. 复数的加法
显然，两个复数的和实质上就是将两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加，其结果仍然是一个复数.
设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，
规定 复数的加法法则:
可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加.
z1+z2=
2. 复数加法的运算律
即复数加法满足交换律和结合律.
容易得到，对任意设z1, z2, z2∈C，有
探究 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.
根据向量加法的几何意义，我们来研究复数加法的几何意义
如图，设 分别与复数a+bi，c+di 对应，则
Z
Z1(a,b)
Z2(c,d)
因此复数的加法还可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
3. 复数加法的几何意义
这说明向量 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量.
4. 复数的减法
我们知道，实数的减法是加法的逆运算. 类比实数减法的意义，我们可以定义复数的减法。
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足
的复数x+yi(x, y∈R)叫做复数a+bi(a, b∈R)减去复数c+di(c, d∈R)的差.
记作
根据复数相等的含义，可得
这就是复数的减法法则，即两个复数的差实质上就是将两个复数的实部与实部相减，虚部与虚部相减，其结果仍然是一个复数.
思考 |z1-z2|表示什么
所以|z1-z2|表示复平面上两点Z1，Z2的距离.
如图，设 分别与复数a+bi，c+di 对应，则
Z1(a,b)
Z2(c,d)
3. 复数减法的几何意义
探究 类比复数加法的几何意义，我们再来研究复数减法的几何意义
因此复数的减法还可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
这说明向量 的差就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为 (　　)
A．5－3i　　　B．3＋5i　　　C．7－8i　　　D．7－2i
课堂检测：
C
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1) 求z1－z2；(2) 在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
解：(1) 由复数减法的运算法则得z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.
(2) 在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中 .
-1
-1
Z
解：（1）
（2）
（3）
Z(a,b)
A(1,0)
B(a+1,b)
3. 如图，向量 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）z＋1； （2）z－i； （3）z＋(－2＋i) .
Z(a,b)
C(-2,1)
D(a-2,b+1)
Z(a,b)
B(0,1)
4. 求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离:
解：
|z1-z2|表示复平面上两点Z1，Z2的距离.
若满足条件|z+1-i|=|4+3i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是（ ）
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 一个圆 D. 一个圆环
C
【例3】
l
A
小结:
复数加减
一一对应
一一对应
一一对应
平面向量加减
1. 复数代数形式的加减运算:
复数可以求和差，虚实各自相加减.
2.复数加减运算的几何意义:
复平面的点坐标运算
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