3.1.2椭圆的简单几何性质 同步练习（含解析）

《第一节　椭圆》同步练习
（课时2　椭圆的简单几何性质）
一、选择题
1.(多选)[2022重庆万州二中高二上期中]已知椭圆C:16x2+25y2=400,则下列关于椭圆C的叙述正确的是(　　)
A.椭圆C的长轴长为10
B.椭圆C的两个焦点分别为(0,-3)和(0,3)
C.椭圆C的离心率为
D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,则|PQ|=
2.(多选)已知椭圆E:=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与直线l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长可能相等的是 (　　)
A.kx+y+k=0 B.kx-y-1=0
C.kx+y-k=0 D.kx+y-2=0
3.[2022江苏南通高二上期中]17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明方程a2-x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则为常数.据此推断,此常数的值为(　　)
A.椭圆的离心率
B.椭圆离心率的平方
C.短轴长与长轴长的比值
D.短轴长与长轴长的比值的平方
4.[2022安徽六安一中高三模考]椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,斜率为1的直线l过左焦点F1且交C于A,B两点,且△ABF2的内切圆的面积是π.若椭圆C离心率的取值范围为[,],则|AB|的取值范围是(　　)
A.[,2] B.[1,2]
C.[4,8] D.[4,8]
5.[2022山东菏泽高二期末]国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆.某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同,其平面图如图2所示,若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于-,则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6.(多选)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆C的内部,点Q在椭圆C上,则下列说法正确的是(　　)
A.|QF1|+|QP|的最小值为2-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为(0,)
D.若=,则椭圆C的长轴长为
7.[2022 山西晋城一中高二上学霸联赛]过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A,B两点,若|AF|∶|BF|=2∶3,且直线与长轴的夹角为,则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
8.[2022重庆一中高三模拟]已知椭圆C:+y2=1的左、右顶点分别为A,B,点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.则△BDE与△BDN的面积之比为　　　　.
9.已知A,B是椭圆=1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0).若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为　　　　.
三、解答题
10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过点A作斜率为的直线与C相交于点A,B,且AB⊥OB,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若b=1,过点F作与直线AB平行的直线l,l与椭圆C相交于P,Q两点,求直线OP的斜率与直线OQ的斜率的乘积.
11.[2022河南新乡高二期末]已知椭圆C:==1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于两点A,B若△ABO的面积为(O为坐标原点),求直线l的方程.
12.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为F,上、下顶点分别为B,C,|AB|=,直线CF交线段AB于点D,且|BD|=2|DA|.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)是否存在直线l,使得l交E于M,N两点,且F恰是△BMN的垂心 若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
13.已知椭圆C:=1,直线l与椭圆C交于M,N两点,且l不与坐标轴垂直.
(1)若线段MN的中点坐标为(1,1),求直线l的方程;
(2)若直线l过点(6,0),点P(x0,0)满足kPM+kPN=0(kPM,kPN分别为直线PM,PN的斜率),求x0的值.
参考答案
一、选择题
1.ACD　由=1,得a=5,b=4,所以c=3.
A √ 长轴长为2a=10.
B 两焦点为(3,0),(-3,0).
C √ e==.
D √ 将x=3代入椭圆方程得16×32+25y2=400,解得y=±,所以|PQ|=.
2.ABC
A √ 当k=-1时,两直线关于y轴对称,故被椭圆E截得的弦长相等.
B √ 当k=1时,两直线平行且关于原点对称,故被椭圆E截得的弦长相等.
C √ 当k=1时,两直线关于y轴对称,故被椭圆E截得的弦长相等.
D 直线kx+y-2=0恒过点(0,2),而直线l恒过点(0,1),两直线不关于x轴、y轴及原点对称,故被椭圆E截得的弦长不可能相等.
3.D　方法一　方程a2-x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示椭圆,即=1(k>0,k≠1,a≠0).当k>1时,设椭圆上任意一点P(x,y),则Q(x,0),A(a,0),B(-a,0),则=====.当0< k<1时,设椭圆上任意一点P(x,y),则Q(0,y),A(0,),B(0,),则====k=.故选D.
方法二　取P为椭圆短轴端点,设椭圆方程为=1(a>b>0),P为上顶点,则Q为原点,|PQ|=b,|AQ|=|BQ|=a,则=.
4.C　因为△ABF2的内切圆的面积为π,所以内切圆半径为1.又由椭圆的定义可得△ABF2的周长为4a,所以由等面积法可得=×2c×|BF1|sin 135°+×2c×|AF1|sin 45°=×4a×1,整理可得c×|AB|=2a,故|AB|=,又e∈[,],所以∈[,2],则|AB|∈[4,8],故选C.
5.D　设内层椭圆方程为=1(a>b>0).因为内外椭圆离心率相同,所以外层椭圆的方程可设为=1(m>1).设切线AC 的方程为y=k1(x+ma),代入=1,得(b2+a2)x2+2ma3x+m2a4a2b2=0,由Δ=0,得=·,同理可得=·(m2-1),所以·==()2,则=,故e===.故选D.
6.ACD　因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2|QF2|+|QP|≥2
|PF2|=21,当Q,F2,P三点共线,且Q在线段F2P的延长线上时,取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,则b=1,a=2,所以椭圆C的方程为+y2=1,因为+1>1,所以点P在椭圆C外,与题设矛盾,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆C的内部,所以<1,又a-b=1,即b=a-1,所以<1,即a2-3a+1>0,解得a>==,所以>,所以e=<,所以椭圆C的离心率的取值范围为(0,),故C正确;若=,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),所以=1,又a-b=1,所以a2-11a+9=0,解得a===,所以=,所以椭圆C的长轴长为,故D正确.故选ACD.
7.B　如图所示,设椭圆的准线l与x轴的交点为M,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D,AC,BD,AH为虚线过点A作AH⊥BD,垂足为H,交x轴于点E.设|AB|=5t,因为|AF|∶|BF|=2∶3,则|AF|=2t,|BF|=3t.又直线AB与长轴的夹角为,所以∠BAH=,则|BH|=|AB|=t.由椭圆的第二定义,可得|BH|=|BD|-|DH|=|BD|-|AC|===,所以=t,解得e=,即椭圆的离心率为.故选B.
二、填空题
8.　解析 设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n),A(-2,0),B(2,0).由题意知m≠±2且n≠0,直线AM的斜率kAM=,则直线DE的斜率kDE=,所以直线DE的方程为y=(x-m),直线BN的方程为y=(x-2),所以,解得yE=.又点M在椭圆C上,得4-m2=4n2,所以yE=n.又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为.
9.1　解析 不妨令A(-a,0),B(a,0).设M(x,y),N(x,-y)(-a三、解答题
10. 解析 (1)由题易知|OA|=a,∠BAF=,|OB|=,则B(,),
代入椭圆C的方程,可得=1,
所以=5,即a=b,所以c==2b,
所以e==.
(2)由(1)及b=1,得a=,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
易得直线l:x=y+2.设P(x1,y1),Q(x2,y2).
由,得8y2+4y-1=0,
其中Δ>0恒成立,
则y1+y2=,y1y2=,
所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=3y1y2+2(y1+y2)+4=,
所以kOP·kOQ==.
11. 解析 (1)由题意可得,解得.
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由题意可知直线的斜率不为0,则设直线的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由,整理得(m2+4)y2+2my-3=0,
则Δ=(2m)2-4(m2+4)×(-3)=16m2+48>0,且y1+y2=,y1y2=,
所以|y1-y2|===,
所以S△ABO=|OP|·|y1-y2|=×1×==.
设t=≥,则=,
所以整理得(3t-1)(t-3)=0,解得t=3或t=(舍去),即m=±.
故直线l的方程为x=±y+1,即x±y-1=0.
12. 解析 (1)方法一　设F(c,0).
因为A(a,0),B(0,b),C(0,-b),所以直线AB的方程为=1,直线CF的方程为=1.
由,得点D的横坐标为xD=.
因为|BD|=2|DA|,所以=2,
所以=,即=a,解得a=2c,
所以b==c.
因为|AB|=,即=,所以c=,
所以c=1,a=2,b=,
所以椭圆E的标准方程为=1.
方法二　如图,设E的左焦点为G,连接BG.由椭圆的对称性,得BG∥CF,
则==2,即|GF|=2|FA|.
设F(c,0),则|GF|=2c,|FA|=a-c,
所以2c=2(a-c),得a=2c,
所以b==c.
因为|AB|=,即=,所以c=,
所以c=1,a=2,b=,
所以椭圆E的标准方程为=1.
(2)由(1)知B(0,),F(1,0),
所以直线BF的斜率kBF=.
假设存在满足题意的直线l,则BF⊥MN.
设l的斜率为k,则kBF·k=-1,所以k=.
设l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
由,得13x2+8mx+12(m2-3)=0,
则x1+x2=,x1x2=.
由Δ=4×13×12(m2-3)>0,
得因为MF⊥BN,所以·=0,
又=(1-x1,-y1),=(x2,y2),
所以(1-x1)x2-y1(y2)=0.
又y1=x1+m,y2=x2+m,
所以(1m)(x1+x2)x1x2-m2+m=0,
所以(1m)()m2+m=0,
整理得21m2-5m-48=0,解得m=或.
当m=时,M或N与B重合,不符合题意;
当m=时,满足所以存在直线l,使得F是△BMN的垂心,l的方程为y=x.
13. 解析 (1)设直线l的斜率为k,M(x1,y1),N(x2,y2).
由题意可知,则=0,
则k===,
故直线l的方程为y-1=(x-1),即4x+9y-13=0.
(2)由题意可设直线l的方程为y=k(x-6),M(x1,y1),N(x2,y2),
又P(x0,0),
所以kPM+kPN==0,
即2x1x2-(x0+6)(x1+x2)+12x0=0,　①
联立,得(4+9k2)x2-108k2x+9×36k2-36=0,
所以,
将其代入①,得54k2-6-9k2(x0+6)+x0(4+9k2)=0,解得x0=,故x0的值为.