5.3.2(1)函数的极值 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
5.3.2（1）
函数的极值
复 习
一般地，函数 f(x)的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递增；
在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递减.
如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探 究
观察图5.3-9，
当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
那么，（1）函数h(t)在t=a时的导数是多少？
（2）t=a附近的图象有什么特点？
（3）t=a附近导数的正负性有什么变化规律？
答：如图5.3-10.可以看出，h(a)=0.
当ta时，函数 h(t)单调递减，.
探 究
函数 y=f(x) 在 x=a, b, c, d, e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 ？
(1) y=f(x) 在这些点的导数值是多少？
(2) 在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什么规律？
以x=a 为例，
函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，；而且在点 x=a 附近的左侧，右侧.
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
x
O
y
a
新 知
以x=b为例，
函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧.
把 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值.
x
O
y
b
新 知
新 知
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值
思 考
极大值一定大于极小值吗？
(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况刻画了函数的局部性质;
(2)一个函数的极大值与极小值可能不止一个；
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；
(4)单调函数一定没有极值.
例1 求函数的极值.
解：因为 , 所以
令解得或
当变化时，的变化情况如下表所示 .
因此，时，有极大值，并且极大值为
时，有极小值，并且极小值为 .
x -2 (-2,2) 2
+ 0 - 0 +
f (x) 单调递增 单调递减 单调递增
练习 求函数的极值.
解：因为, 所以
令解得或
当变化时， 的变化情况如下表所示 .
因此，时，有极大值，并且极大值为 ;
时有极小值，并且极小值为 .
x -1 (-1,3) 3
+ 0 - 0 +
y 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
思 考
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
答：导数值为 0 的点不一定是函数的极值点.
例如，对于函数，我们有.
虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，
即函数 是增函数，所以0不是函数 的极值点 .
x
O
y
新 知
一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值：
解方程，当 时：
（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值.
课堂检测
判断正误
(1) 函数的极大值一定比极小值大．(　　)
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．( 　 )
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
(4) 单调函数不存在极值．( )
×
×
√
√
课堂检测
1.（多选）下列函数在处取得极小值的是 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数的导数若在处取得极大值，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
D
BC
3. 函数在的极小值的为
-2.5
解：由函数图像知，先递减，再递增
且可知 d=0 .
∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负.
又
∴ a<0
且 是在增区间内，即,
则c>0,对称轴 ,可知b>0
综上， a<0，b>0，c>0，d=0 .
4.已知函数的图象如图所示，则判断a,b,c,d的范围.
课堂检测
x
O
y
总 结
函数的极值
函数f(x)，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
函数f(x)，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
求函数极值步骤
①解方程，当；
②判断附近的左侧 ，判断右侧 的正负；
③根据极值的定义，下结论 .