【解析版】江苏省南京市盐城市2014届高三二模数学（理）试题

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一、填空题
1.【题文】函数f(x)＝lnx＋的定义域为 ．
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2.【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，aR)．若z1z2为实数，则a的值为 ．[]
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3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地 ( http: / / www.21cnjy.com )区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ．21cnjy.com
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【解析】
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4.【题文】盒中有3张分别标有1，2， 3 ( http: / / www.21cnjy.com )的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ． 【来源：21·世纪·教育·网】
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5.【题文】已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ．
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6.【题文】执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ．
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7.【题文】函数f(x)＝Asin(ωx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f()的值为 ． 21·世纪*教育网
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【结束】
8.【题文】在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ．www-2-1-cnjy-com
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【结束】
9.【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ．
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10.【题文】已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为 ．www.21-cn-jy.com
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【结束】
11.【题文】在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com )，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为 ．2-1-c-n-j-y
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【结束】
12.【题文】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且． 　　21*cnjy*com
若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )考点：分段函数图像
【结束】
13.【题文】在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ．21教育名师原创作品
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【结束】
14.【题文】设函数f(x)＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ．2·1·c·n·j·y
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【结束】
二、解答题
15.【题文】(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB， BP＝BC，E为PC的中点．【出处：21教育名师】
（1）求证：AP∥平面BDE；
（2）求证：BE⊥平面PAC．
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【结束】
16.【题文】(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．
（1）若x1＝，求x2；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及 △BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．21*cnjy*com
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【结束】
17.【题文】(本小题满分14分)[]
如图，经过村庄A有两条夹角为60° ( http: / / www.21cnjy.com )的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．【版权所有：21教育】
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解法五(变换法)：
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答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
考点：利用正余弦定理解三角形
【结束】
18.【题文】(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程； ( http: / / www.21cnjy.com )
（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的最大值．
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( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )解法二：当PQ斜率不存在时，
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【结束】
19.【题文】(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex，a，bR，且a＞0．
（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；
（2）设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．
① 当a＝1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )【解析】
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分
记h(x)＝x2－2x－（x＞0），则h′(x)＝．
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( http: / / www.21cnjy.com )设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝eq \F(8x[(x－)2＋],(2x－1)2)．
因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，
所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分
解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex．
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【结束】
20.【题文】(本小题满分16分)
已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，
a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．
（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有＜．
( http: / / www.21cnjy.com )a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列”运用有两个方向，决定本题有两个解题方法.一是等量代换，求出数列通项公式后，比较大小.二是放缩，直接比较大小. 由2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，① a＝a2na2n＋2．②；所以a＝ ( http: / / www.21cnjy.com )
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又因为－＝－＝＝－，
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【结束】
21．【选做题】在A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21教育网
21.【题文】A．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与
DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；
（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.
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21.【题文】B．选修4—2：矩阵与变换[]
已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝．
（1）求矩阵A；
（2）若A＝，求x，y的值．
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【解析】[][]
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21.【题文】C．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，求曲线＝2cosθ关于直线θ＝(R)对称的曲线的极坐标方程．
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【解析】
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21.【题文】D．选修4—5：不等式选讲
已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．
【答案】详见解析
【解析】
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22.【题文】（本小题满分10分）
某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．21·cn·jy·com
（1）求恰有2人申请A大学的概率；
（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．[]
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( http: / / www.21cnjy.com )【结束】
23.【题文】（本小题满分10分）
设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：
①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．21世纪教育网版权所有
（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．
( http: / / www.21cnjy.com )情形.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )因为f(2) f()＝f(k＋1)＋f(＋2－1)＝f(k＋1)＋f()，
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【结束】
A
P
M
N
B
C
x
y
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