【解析版】江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三下学期教学情况调查数学（文）试题

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2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
文科数学
一、填空题：
1.已知集合，，若，则 ▲ ．
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2.若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 所以也可利用复数模的性质求解，即
考点：复数的模
3.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为 ▲ ．
( http: / / www.21cnjy.com )4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，2；
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，3； HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，4； HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，5； HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，4； HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，2．则样本在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的频率是 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为样本在上的频数共有，所以样本在上的频率是.也可从反面求解，即样本不在上的频数共有，所以样本在上的频率是.21·cn·jy·com
考点：样本频率
5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于 ▲ ．
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6.设函数，若，则的值为 ▲ ．
【答案】2
【解析】
试题分析：因为，所以.因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 本题也可应用函数性质求解，因为，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
考点：函数性质
7.四棱锥P ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD
且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ▲ ．
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8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．
( http: / / www.21cnjy.com )9.已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值为 ▲ ．
【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
【解析】
试题分析：因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 .
考点：两角和与差正切
10.设等差数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的前 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 项和为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则正整数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = ▲ ．
( http: / / www.21cnjy.com )11.已知正数满足，则的最小值为 ▲ ．
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12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则的值为 ▲ ．
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【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )13.已知函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ▲ ．
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考点：利用导数研究函数图像
14.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为 ▲ ．
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二、解答题
15.（本小题满分14分）
设函数．
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：∥平面．
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【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面为菱形， 且,所以△ ( http: / / www.21cnjy.com )
17.（本小题满分14分）
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
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【答案】（1），（2），（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．
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18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．21世纪教育网版权所有
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．21教育网
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【答案】（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程，解出的值,（2）求点的坐标，需列出两个方程.一是点C在椭圆上，即，二是的中点在直线上，即.注意到在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点的坐标，算出为定值.难点是如何消去参数.因为点在直线： 上，所以可设，．选择作为参数，即用表示点的坐标.由三点共线，解得，同理解得.从而有，这里主要用到代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示为定值.21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )∵三点共线，∴，整理，得．…………………10分
∵点在椭圆上，∴，．
从而． …………………14分
所以． …………………15分
∴为定值，定值为． …………………16分
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
19.（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，且对一切都成立．
（1）若λ = 1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．
( http: / / www.21cnjy.com )∴当时，．②
② ①，得， ∴（）． ………………… 6分
∵当n = 1时， ，∴n = 1时上式也成立，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n1（）． …………………8分
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20.（本小题满分16分）
已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围．
【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 ．（3）．
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )试题解析：（1），令，得x = 1． ………………… 1分
列表如下：
x （∞，1） 1 （1，∞）
0
g(x) ↗ 极大值 ↘
∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． …………………3分
（2）当时，，．
∵在恒成立，∴在上为增函数． …………………4分
设，∵> 0在恒成立，
∴在上为增函数． …………………5分
设，则等价于，
即．
设，则u(x)在为减函数．
∴在（3，4）上恒成立． …………………6分
∴恒成立．
设，∵=，x[3，4]，
∴，∴< 0，为减函数．
∴在 [3，4]上的最大值为v(3) = 3 ． ………………… 8分
∴a≥3 ，∴的最小值为3 ． …………………9分
( http: / / www.21cnjy.com )∵，∴时，命题成立．
综上所述，的取值范围为． …………………16分
考点：函数极值，不等式恒成立
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