2022-2023学年人教版八年级数学下册18.2.3第2课时正方形的判定 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
18.2.3 正方形
第十八章 平行四边形
八年级数学下（RJ）
教学课件
第2课时 正方形的判定
学习目标
学习重、难点
1.能说出正方形的意义及性质.
2.能说出正方形与其他特殊四边形的关系（共性与个性）.
3.知道正方形的判定方法.
重点：正方形的性质及与其他特殊四边形的联系与区别.
难点：正方形的性质的运用.
知识回顾
四个角都是直角(相等)
对边平行，四条边都相等
边
角
对角线
互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角
正方形
正方形的性质
知识点： 正方形的判定
问题 你是如何判定矩形、菱形的？
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角
线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
巩固练习
如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠A＝∠C，∠B＝∠D．
又∠A＝90°，∴∠C＝90°．
∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一个直角
邻边相等
邻边相等
一个直角
正方形判定的思路
矩形
菱形
正方形
常用的正方形判定方法：
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
归纳总结
平行四边形
菱
形
正方形
平行四边形
矩形
正方形
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
练一练
C
A
B
C
D
O
例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
证法1：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.
同理DF∥CE，
∴四边形CFDE 是平行四边形．
∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴ CFDE 是菱形．
∵∠ACB＝90°，
∴菱形CFDE 是正方形．
练习.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形CFDE 是正方形．
证法2：∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°，
∴四边形CFDE 是矩形．
∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴矩形CFDE 是正方形．
练习.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形CFDE 是正方形．
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形EDFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形EDFC是正方形.
例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
例4 如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，
问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.
（2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
当堂练习
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
5.如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF=45 . 求证：矩形ABCD是正方形.
解析：先证明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论.
C
B
D
A
E
F
达标检测
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠C=90
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60
∵∠CEF=45 ∴∠CFE=45
∴∠AFB=∠AEB=180 -45 -60 = 75
∴矩形ABCD是正方形
∴△AEB≌△AFD，AB=AD
C
B
D
A
E
F
达标检测
6.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
又∵AB = BC,
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°.
又∵∠ADC=90°，
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
7.如图所示，在正方形ABCD中，H是DC上一点，E是CB延长线上一点，且DH=BE，请你判断△AEH的形状，并说明理由.
A
B
C
D
E
H
错解：△AEH为等腰三角形.
理由：∵四边形ABCD是正方形.
所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°，
∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，
AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，
∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），
∴AH=AE.则△AEH为等腰三角形.
A
B
C
D
E
H
错因分析：本题出错原因在于分析问题时，只注重AH与AE之间的数量关系，而忽略了AH与AE之间的位置关系.
正解：△AEH为等腰直角三角形.
理由：∵四边形ABCD是正方形.
所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°，
∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，
AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，
∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，
∴∠HAE=∠DAB=90°
则△AEH为等腰直角三角形.
A
B
C
D
E
H
8.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
∴当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
课堂总结
1 .定义法：
2.矩形法：
4.对角线法：
一邻边相等
一个直角
+
+
平行四边形
=
正方形
3.菱形法：
一邻边相等
+
矩形
=
正方形
一个直角
+
菱形
=
正方形
互相平分
+
互相垂直
相等
+
=
正方形
课堂小结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结