6.1平方根(第1课时）
学习目标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;
2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根，能化简某些带根号的数，掌握计算根式范围的方法;
3.通过学习算术平方根，提升学生的数感和符号感，发展抽象思维;
4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.
教学过程
情景引入
讲述数学史第一次数学危机：的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
新知探究
活动一：算数平方根探究：
问题1：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少 说一说，你是怎样算出来的？
问题2：完成表1：
正方形的边长/dm 1 3 9
正方形的面积/dm
思考：你能从表1发现什么共同点吗？
问题3：完成表2：
正方形的面积/dm 4 49 0.36
正方形的边长/dm
思考：你能从表2发现什么共同点吗？表1与表2中两种运算有什么关系？
归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
问题4：因此4、49、0.36、算数平方根分别是 、 、 、 ，我们容易得到它们的算数平方根；2、5这样的数的算数平方根呢？
引入根号：如果一个正数x的平方等于a，即x a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。表示为，读作：根号 a，0的平方根是0。
例题精讲：
1. 下列说法正确的是( )
A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根
B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根
C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根
D．以上说法都不对
2.下列说法正确的是（ ）
A. 表示25的算术平方根
B．－表示2的算术平方根
C．2的算术平方根记作±
D．2是的算术平方根
3.求下列各数的算术平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
4.求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3)
活动二：双重非负性探究：
问题1：x a在前面正方形面积探究中， x 、 a代表什么意义？ x 、 a分别满足什么条件？
问题2：逆运算后x 、a大小有没有改变？ x 、 a满足什么条件？
归纳：算术平方根的双重非负性： .
例题精讲：
5.判断题：下列各式是否有意义？为什么？
6.若 |m - 1| += 0，求 m + n = .
活动三：多大探究（小组合作）：
思考1：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？
有多大呢？
例题精讲：
7. 的取值范围为( )
A. 2到3之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．6到7之间
8.比较下列各组数的大小：
三、课堂小结
通过本节课学习，你能说说你对算数平方根有那些了解？
四、课后练习
见精准作业单6.1平方根(第1课时）
教学目标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;
2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根，能化简某些带根号的数，掌握计算根式范围的方法;
3.通过学习算术平方根，提升学生的数感和符号感，发展抽象思维;
4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.
教学重点
表示正数的算数平方根
教学难点
多大探究
教学过程
情景引入
讲述数学史第一次数学危机： 的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被 的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
新知探究
活动一：算数平方根探究：
问题1：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少 说一说，你是怎样算出来的？
因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm.
问题2：完成表1：
正方形的边长/dm 1 3 9
正方形的面积/dm 1 9 81
思考：你能从表1发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算
问题3：完成表2：
正方形的面积/dm 4 49 0.36
正方形的边长/dm 2 7 0.6
思考：你能从表2发现什么共同点吗？表1与表2中两种运算有什么关系？
已知一个正数的平方，求这个正数；互为逆运算
归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
问题4：因此4、49、0.36、算数平方根分别是 2 、 7 、 0.6 、 ，我们容易得到它们的算数平方根；2、5这样的数的算数平方根呢？
引入根号：如果一个正数x的平方等于a，即x a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。表示为，读作：根号 a，0的平方根是0。
例题精讲：
1. 下列说法正确的是( A )
A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根
B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根
C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根
D．以上说法都不对
2.下列说法正确的是（ A ）
A. 表示25的算术平方根
B．－表示2的算术平方根
C．2的算术平方根记作±
D．2是的算术平方根
3.求下列各数的算术平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
(1)∵（10） 100，
∴100的算术平方根是10，
即10
(2)∵（3） ，
∴的算术平方根是3，
即3
(3)∵（0.01） 0.0001，
∴0.0001的算术平方根是0.01，
即0.01
4.求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3)
=1；；=2
活动二：双重非负性探究：
问题1：x a在前面正方形面积探究中， x 、 a代表什么意义？ x 、 a分别满足什么条件？
X代表边长a正方形面积；x 、 a非负数
问题2：逆运算后x 、a大小有没有改变？ x 、 a满足什么条件？
没有；x 、 a非负数
归纳：算术平方根的双重非负性： a≥0；≥0 .
例题精讲：
5.判断题：下列各式是否有意义？为什么？
（1）有（2）没有，被开方数不能为负（3）有（4）有
6.若 |m - 1| += 0，求 m + n = -2 .
活动三：多大探究（小组合作）：
思考1：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
有多大呢？
夹逼法：
因为 12 = 1，22=4，所以1< <2;
因为 1. 42 = 1. 96，1. 52=2. 25，所以 1.4< <1.5;
因为 1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4，所以 1.41< <1.42；
因为 1. 4142 = 1. 999 396，1. 4152=2. 002 225，
所以 1.414< <1.415；
……
=1.414 213 562 373…
如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值. 事实上， =1. 414 213 562 373…，它是一 个无限不循环小数.实际上，许多正有理数的算术平方根(例如 、等)都是无限不循环小数
例题精讲：
7. 的取值范围为( B )
A. 2到3之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．6到7之间
8.比较下列各组数的大小：
（3）
三、课堂小结
通过本节课学习，你能说说你对算数平方根有那些了解？
(1) 正数的算术平方根是一个正数；
(2) 0的算术平方根是0；
(3) 负数没有算术平方根；
(4) 被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
（5） 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法．“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度．
四、课后练习
见精准作业单
五、板书设计
6.1平方根(第1课时）
算数平方根的概念： 例题讲解
算数平方根的非负性：
夹逼法课前诊测
(1) ( )2=4; (2) ( )2=0.36;
(3) ( )2=1 ; (4) ( )2=81;
精准作业
必做题
1. 求下列各数的算术平方根：
（1）0.04； （2）（–3）2；（3）
2. 求下列各式的值：
3.若 |m3| + =0，求 m+n 的值.
探究题
1.
课前诊测
1.（1）±2；（2）±0.6；（3）±；（4）±9
精准作业
1.（1）:(1)∵（0.2） 0.04，
∴0.04的算术平方根是0.2，
即0.2
（2）:(1)∵3 （–3）2=9
∴（–3）2的算术平方根是3，
即3
（3）:(1)∵（） =
∴的算术平方根是，
即
2. =-25；=13+12=25；==17；==
3. 解: ∵ |m3| ≥0， ≥0，
且 |m3| + =0，
∴ |m3| =0， =0，
m=3，n= 2，
m+n=3+(2)=1.
探究题
1. 因为 = 2， =3，所以2< <3;
因为 2.22 = 4.84，2.32=5.29，所以 2.2< <2.3;
因为 2.232 = 4.9729 1，2.242 = 5.0176，所以 2.23< <2.24；
因为2.2362 = 4.999696，2.2372=5.004169，
所以 2.236< <2.237；
2.24(共17张PPT)
6.1平方根
(第1课时）
第一次数学危机
的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
情景引入
问题：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少
说一说，你是怎样算出来的？
新知探究
因为52=25，所以这个正方形画
布的边长应取5 dm.
正方形的边长/dm 1 3 9
正方形的面积/dm
你能从表1发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算.
完成表1：
1
9
81
新知探究
正方形的面积/dm 4 49 0.36
正方形的边长/dm
你能从表2发现什么共同点吗？
已知一个正数的平方，求这个正数.
完成表2：
表1与表2中两种运算有什么关系？
互为逆运算
2
7
0.6
新知探究
算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x a，那么这个正数x叫做a的算术平方根
a 的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号 a
(a≥0)
因此4、49、0.36、算数平方根分别是 、 、 、 ，我们容易得到它们的算数平方根；2、5这样的数的算数平方根呢？
(x≥0)
2
7
0.6
形成概念
0的算术平方根是0
2.下列说法正确的是（ ）
A. 表示25的算术平方根
B．－ 表示2的算术平方根
C．2的算术平方根记作±
D．2是 的算术平方根
1. 下列说法正确的是( )
A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根
B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根
C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根
D．以上说法都不对
例题精讲
3.求下列各数的算术平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
4.
求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
例题精讲
非负性探究
(x≥0)
互为
逆运算
在前面正方形面积探究中， x 、 a代表什么意义？
x 、 a分别满足什么条件？
逆运算后x 、a大小有没有改变？ x 、 a满足什么条件？
算术平方根的双重非负性
a 的算术平方根
非负数
非负数
双重非负性
5.判断题：下列各式是否有意义？为什么？
例题精讲
6.若 |m - 1| += 0，求 m + n = .
能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
拓展提升
有多大呢？
夹逼法
=1.414 213 562 373
…
拓展提升
因为 12 = 1，22=4，所以1< <2;
因为 1. 42 = 1. 96，1. 52=2. 25，所以 1.4< <1.5;
因为 1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4，所以 1.41< <1.42；
因为 1. 4142 = 1. 999 396，1. 4152=2. 002 225，
所以 1.414< <1.415；
……
如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值. 事实上， =1. 414 213 562 373…，它是一 个无限不循环小数.实际上，许多正有理数的算术平方根(例如 等)都是无限不循环小数.
对算术平方根进行介于两个整数之间的估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.
例题精讲
7. 的取值范围为( )
A. 2到3之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．6到7之间
8.比较下列各组数的大小：
(1) 正数的算术平方根是一个正数；
(2) 0的算术平方根是0；
(3) 负数没有算术平方根；
(4) 被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
（5） 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法．“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度．
课堂小结
