第五章 章末总结导学案
考点1：相交线的有关概念和性质
例1.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2.(1)若ED，BF被AB所截，则∠1与____是同位角；(2)若ED, BC被AF所截，则∠2与______是内错角；(3)∠1与∠2是AB和AF被______所截构成的______角；(4)∠B与∠4是_____和_____被BC所截构成的_______角.
例3.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
【1-1】如图，按各组角的位置，判断错误的是( )
A.∠1与∠A是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角
C.∠5与∠6是同旁内角 D.∠2与∠5是同位角
【1-2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，且．求和的度数．
考点2：平行线的性质和判定
例4.如图，已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE//CF.完善下面的解答过程，并填写理由或数学式:
解:∵∠3=∠4(已知),
∴AE //_____(________________________).
∴∠EDC=∠5(________________________).
∴∠5=∠A(已知)，
∴∠EDC=______(__________).
∴DC//AB(_______________________).
∴∠5+∠ABC=180°(________________________)，即∠5+∠2+∠3=180°
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠5+∠1+∠3=180°(_________)，
即∠BCF+∠3=180°.
∴BE//CF(_________________________).
【2-3】如图,AB//CD，AE交CD于点F，点G在AB上，GH⊥BF，垂足为H,∠1=∠2，试说明AE⊥BF.请将下面的解答过程补充完整(填数字式子或理由).
解:∵AB//CD(已知)，
∴∠1=______(________________________).
∵∠1=∠2(已知)，
∴_____=______(_________).
∴______//_____(_______________________).
又∵GH⊥BF，即∠GHB=90°，
∴∠AFB=∠GHB=90°(______________________).
∴_____ ⊥ _____.
考点3：命题、定理、证明
【3-3】将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)同旁内角互补,两直线平行;
(2)同角的补角相等;
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.
考点4：图形平移的性质及应用
例6.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全△ABC；
（2）作出中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）在平移过程中，线段AB扫过的面积为 ．
【4-4】某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？章末总结教案
教学目标：
1．进一步熟悉相交线所成的角及其基本结论；
2．进一步理解垂线、垂线段的概念及性质，点到直线的距离；
3．熟练掌握三线八角(同位角、内错角、同旁内角)，两直线平行的判定及其应用；
4．熟练掌握平行线的性质及一些结论，并会应用；
5．平移的特征并会应用其解决问题.
教学重点：复习同一平面内两直线相交和平行的位置关系。
教学难点：垂直、平行的性质和判定的综合应用。
教学过程：
回顾与思考
知识网络
考点精析
考点1：相交线的有关概念和性质
例1.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2.(1)若ED，BF被AB所截，则∠1与____是同位角；(2)若ED, BC被AF所截，则∠2与______是内错角；(3)∠1与∠2是AB和AF被______所截构成的______角；(4)∠B与∠4是_____和_____被BC所截构成的_______角.
例3.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
【1-1】如图，按各组角的位置，判断错误的是( )
A.∠1与∠A是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角
C.∠5与∠6是同旁内角 D.∠2与∠5是同位角
【1-2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，且．求和的度数．
【方法点拨】
两条直线相交，可能产生对顶角、互余、互补、垂直等，这些角并不是孤立存在的，它通常与其它角之间存在一定的位置关系和数量关系，本题中通过相关角之间的数量关系构建方程求解问题，解题关键是要善于挖掘图形中的隐含条件，综合运用所学知识，融会贯通，逐步分析与解决．
考点2：平行线的性质和判定
例4.如图，已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE//CF.完善下面的解答过程，并填写理由或数学式:
解:∵∠3=∠4(已知),
∴AE //_____(________________________).
∴∠EDC=∠5(________________________).
∴∠5=∠A(已知)，
∴∠EDC=______(__________).
∴DC//AB(_______________________).
∴∠5+∠ABC=180°(________________________)，即∠5+∠2+∠3=180°
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠5+∠1+∠3=180°(_________)，
即∠BCF+∠3=180°.
∴BE//CF(_________________________).
【2-3】如图,AB//CD，AE交CD于点F，点G在AB上，GH⊥BF，垂足为H,∠1=∠2，试说明AE⊥BF.请将下面的解答过程补充完整(填数字式子或理由).
解:∵AB//CD(已知)，
∴∠1=______(________________________).
∵∠1=∠2(已知)，
∴_____=______(_________).
∴______//_____(_______________________).
又∵GH⊥BF，即∠GHB=90°，
∴∠AFB=∠GHB=90°(______________________).
∴_____ ⊥ _____.
【方法点拨】
平行线的条件是指由角的数量关系判定两条直线平行.通常为判断图形的同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，进而得到两直线平行.切记只有“三线八角”的角的数量关系,才能判断两直线平行,其他类型的角不可以.
考点3：命题、定理、证明
【3-3】将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)同旁内角互补,两直线平行;
(2)同角的补角相等;
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.
【方法点拨】根据命题的定义进行判断，命题是由题设和结论构成的，即一件事情有头有尾，是一个陈述句.
考点4：图形平移的性质及应用
例6.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全△ABC；
（2）作出中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）在平移过程中，线段AB扫过的面积为 ．
【4-4】某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？
【方法点拨】平移的特点是形状大小都不变，平移得到的图形和原图形完全相同，平移的性质是解答问题的关键.课前诊测
1. 如图，DE∥AB，若∠ACD=55°，则∠A等于( )
A.35° B.55°
C.65° D.125°
2. 如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
A.当∠1=∠2时，一定有a∥b
B.当a∥b时，一定有∠1=∠2
C.当a∥b时，一定有∠1＋∠2=90°
D.当∠1＋∠2=180° 时，一定有a∥b
参考答案：B,D
精品作业：
必做题：
1.如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=40°，则∠2的度数为________.
2.如图，三角形ABC沿BC所在直线向右平移得到三角形DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为________．
3.如图，直线a∥b，直线c，d是截线，∠1＝80°，∠5＝70°，则∠2＋∠3＋∠4＝( )
A．220° B．230° C．270° D．300°
4. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.
5.如图，已知AB，CD被直线BC所截，∠1+∠2=180°．
(1)试判断AB与CD的位置关系，请说明理由．
(2)若BD平分∠ABC，∠2=70°，求∠D的度数．
选做题：
6.如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（ ）
A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°
C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°
参考答案:
1.50°
2.3
D
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）.
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）.
5.（1）解：AB∥CD，理由如下：
由图可知：∠2+∠BCD=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠BCD（同角的补角相等），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵∠2=70°，且AB∥CD，
∴∠ABC=70°，∠BCD=180°-70°=110°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=1/2×∠ABC=35°，
∴∠D=180°-35°-110°=35°，
故∠D=35°．
6.A(共26张PPT)
第五章 相交线与平行线
章节复习
1.进一步熟悉相交线所成的角及其基本结论;
2.进一步理解垂线、垂线段的概念及性质，点到直线的距离;
3.熟练掌握三线八角(同位角、内错角、同旁内角)，两直线平行的判定及其应用;
4.熟练掌握平行线的性质及一些结论，并会应用;
5.平移的特征并会应用其解决问题.
相交线
一般情况
邻补角
对顶角
邻补角互补
对顶角相等
特殊
垂直
存在性和唯一性
垂线段最短
点到直线的距离
同位角、内错角、同旁内角
平行线
平行公理及其推论
平行线的判定
平行线的性质
平移
平移的特征
命题
知识构图
两线四角
三线八角
1.邻补角：形如∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
2.对顶角：形如∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
性质：对顶角相等.
一、相交线
性质：邻补角互补.
3.垂直：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
如右图，直线AB与直线CD垂直，
记作：AB⊥CD，垂足是O；
直线m与直线n垂直，
记作：m⊥n；
m
n
“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；
而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
一、相交线
垂线的性质1：经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.
即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离.
一、相交线
一、相交线
4.三线八角：
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(平行公理的推论)：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
几何语言：∵ b∥a，c∥a，
∴ b∥c.
二、平行线
判定方法1：同位角相等，两直线平行.
判定方法2：内错角相等，两直线平行.
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.
判定两条直线平行的方法：
二、平行线
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
★命题的定义：判定一件事情的语句，叫做命题。
★命题的构成：命题由题设和结论组成。题设是已知项，结论是由已知项推出的事项.
★命题的书写形式
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
三、命题、定理、证明
四、平移
1. 平移的定义：“三要素”
一个图形、一个方向、一个距离.
2. 平移的性质：“四特征”
图形的形状和大小不改变；
对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；
对应线段平行（或在一条直线上）且相等；
对应角相等.
01
相交线的有关概念和性质
例1.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
例2.(1)若ED，BF被AB所截，则∠1与____是同位角；(2)若ED, BC被AF所截，则∠2与______是内错角；(3)∠1与∠2是AB和AF被______所截构成的______角；(4)∠B与∠4是_____和_____被BC所截构成的_______角.
∠B
∠3
DE
内错
同旁内
AB
AF
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
例3.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
【1-1】如图，按各组角的位置，判断错误的是( )
A.∠1与∠A是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角
C.∠5与∠6是同旁内角 D.∠2与∠5是同位角
C
【1-2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，且．求和的度数．
解：∵OE平分，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
例4.如图，已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE//CF.完善下面的解答过程，并填写理由或数学式:
解:∵∠3=∠4(已知),
∴AE //_____(________________________).
∴∠EDC=∠5(________________________).
∴∠5=∠A(已知)，
∴∠EDC=______(__________).
∴DC//AB(_______________________).
∴∠5+∠ABC=180°(________________________)，即∠5+∠2+∠3=180°
BC
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
∠A
等量代换
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
02
平行线的性质和判定
【2-1】如图,AB//EF ,CD⊥EF,∠BAC=50°,则
∠ACD=( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
【2-2】如图,将含有30°角的三角板的直角顶点放在
相互平行的两条直线其中一条上.若∠1=35°,则∠2的度数为( )
A.10° B.25° C.30° D.35°
C
D
【2-3】如图,AB//CD，AE交CD于点F，点G在AB上，GH⊥BF，垂足为H,∠1=∠2，试说明AE⊥BF.请将下面的解答过程补充完整(填数字式子或理由).
解:∵AB//CD(已知)，
∴∠1=______(________________________).
∵∠1=∠2(已知)，
∴_____=______(_________).
∴______//_____(_______________________).
又∵GH⊥BF，即∠GHB=90°，
∴∠AFB=∠GHB=90°(______________________).
∴_____ ⊥ _____.
两直线平行，内错角相等
∠A
∠2 ∠A
等量代换
GH AE
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
AE BF
例5.指出下列命题的题设和结论，并把(3)写成“如果……，那么……”的形式.
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；
(2)如果∠1=∠2，2=∠3，那么∠1=∠3；
(3)两直线平行，同位角相等.
解：(1)题设：AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°；
(2)题设：∠1=∠2，2=∠3，结论：∠1=∠3；
(3)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同位角相等.
如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.
03
命题、定理、证明
【3-1】将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)同旁内角互补,两直线平行;
(2)同角的补角相等;
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.
解: (1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等;
(3)在同一平面内,如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.
04
图形平移的性质及应用
例6.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全△ABC；
（2）画出BC边上的高线AE，
画出AB边上的高线AD；
（3）在平移过程中，线段AB扫过的
面积为 ．
解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）如图所示，AE,AD即为所求；
例10.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）在平移过程中，线段AB扫过的
面积为 ．
解：（3），
∴.
即线段AB扫过的面积为16.
【4-1】某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？
解：地毯的长度至少为：
（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要8.4米，花费至少1008元．
