第六章 章末总结
学习目标
1. 掌握平方根、立方根、实数及有关的概念，理解概念之间的联系; (重点)
2.能进行开平方和开立方运算及实数的运算. (难点)
3.会运用类比归纳，梳理本章知识点，形成知识结构
4.培养分析问题，解决问题的能力，渗透化归思想，数形结合思想，感受知识之间的相互联系
教学过程
知识梳理
（一）、完成下表，并回答问题：
算数平方根 平方根 立方根
文字表示 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
符号表示
a的取值
性质 正数
0
负数
平方 求一个数的平方根 的运算叫开平方 求一个数的立方根 的运算叫开立方
是本身
问题1：算数平方根有哪些性质？
(1)一个正数的算术平方根有 个; 0的算术平方根有一个，是 ; 没有算术平方根.
(2)被开方数a是 ，即a ; 是 ，即 .
(3)被开方数越大，对应的算术平方根 . 若a＞b＞0，则
(4)被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小) 倍
问题2：平方根和算数平方根的区别与联系？
联系：
1.包含关系： .
2.只有 才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是 ，算术平方根也是 .
区别：
1.数不同：一个正数有 平方根，但只有 算术平方根
2.表示法不同:平方根表示为 ,而算术平方根表示为 .
问题3：立方根有哪些注意的知识点？
求一个数的立方根的运算，叫做 .正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也 .
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“ ”，其中 是被开方数， 是根指数.
正数的立方根是______；负数的立方根是__ ____；0的立方根是_____.
立方根的性质:一般地
归纳：根据上面的知识梳理，本部分的知识结构可表示为：
课堂练习：
1.求下列各数的算术平方根（口算）:
(1) 0.04;(2) 1; (3); (4) (-3)2 ; (5) 0
2.求下列各数的平方根（口算）:
(1) 121;(2) 16; (3) 0 ; (4) (-3)2 ; (5)
3.求下列各数的立方根（口算）:
(1) -0.008;(2) 43; (3) -64; (4) (-3)3; (5)
4.求下列各式的值:
;(2)-;(3)± ；（4）-；（5）
5.当 时，有意义。
6. .
7. 的算数平方根是 .
8. 的算数平方根是 .
9. 已知一个正数的平方根是2x+3和x-9，则这个数是______.
10.已知：，，则（1） .（2） .
11.已知的小数部分为m,的小数部分为n，则m+n= .
12.若，求= ．
13.若和互为相反数，且的平方根是它本身，
则= ．
14．比较大小 (填写“>”或“<”或“＝”)
(1) ___ (2) ___ (3) ___ (4)-2+ ___-2+．
15．估计 的值在( )
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
16.求下列各式中的x.
(1) 25x2-49=0 (2) 4(2-x )3 = -32
（二）、实数的相关概念
思考：有理数的组成？无限不循环小数是有理数？常见无理数有哪些形式？
归纳： 和 统称为实数
思考:类比有理数的分类，实数按定义再按符号或先按符号在按定义应该怎样分类？
思考：如何在数轴上表示出π，，的位置？每个无理数都可以在数轴上表示？
思考: 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义有变化？
思考：说说实数范围内可以进行哪些运算 有理数的运算法则和运算性质在实数中还适用？
归纳：根据上面的知识梳理，本部分的知识结构可表示为：
课堂练习：
1. 的相反数是______，-π 的相反数是_____，0的相反数是______；
2. | | =____，|-π| =____，| 0 | =____.
3.绝对值是 的数是______；|3.14－π|＝______________.
4.若 |x| = π，则 x＝_______.
5.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足－a＜b＜a，则b的值可以是( )
A．2 B．－1 C．－2 D．－3
6.把下列各数填入适当的集合内
0.2 ，-，，，，0，
有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}；
整数集合{ …}；
负数集合{ …}.
7.计算
（1）-- （2） -
课堂巩固训练
1.求下列各数的平方根：
2.求下列各数的立方根：
3.求下列各式的值：
①
4．实数2，0，－3， 中，最小的数是( )
A．2 B．0 C．－3 D.
5．设a＝ ＋2，则( )
A．2
6．实数 ＋1在数轴上的对应点可能是( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7. 的整数部分为____,小数部分为 .
8.计算：
(1) （2）+64=0
9.计算：
（1）（﹣1）3．
||（﹣1）2021．
三、课堂小结
通过本节课学习，你能说说你对实数有那些了解？本章的知识结构是怎样的？
四、课后练习
见精准作业单第六章 章末总结
教学目标
1.通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，梳理本章的相关概念，强化概念之间的联系; 实数的
2.会进行开平方和开立方运算及巩固实数的运算.
3.通过类比归纳，梳理本章知识点，形成知识结构
4.培养学生分析问题，解决问题的能力，渗透化归思想，数形结合思想，感受知识之间的相互联系
教学重点
梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联系;
教学难点
会进行开平方和开立方运算及巩固实数的运算
教学过程
知识梳理
（一）、完成下表，并回答问题：（学生独立完成表格，完成问1、问2、问3，并在小组内进行3分钟的交流）
算数平方根 平方根 立方根
文字表示 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
符号表示
a的取值 a≥0 a≥0 任意数
性质 正数 正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0 0 0 0
负数 没有 没有 负数（一个）
平方 求一个数的平方根 的运算叫开平方 求一个数的立方根 的运算叫开立方
是本身 0,1 0 0,1，-1
问题1：算数平方根有哪些性质？
(1)一个正数的算术平方根有1个; 0的算术平方根有一个，是0;负数没有算术平方根.
(2)被开方数a是非负数，即a≥0; 是非负数，即≥0.
(3)被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 若a＞b＞0，则＞＞0
(4)被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小)10倍.
问题2：平方根和算数平方根的区别与联系？
联系：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根
表示法不同:平方根表示为±√ ,而算术平方根表示为√ .
问题3：立方根有哪些注意的知识点？
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.
正数的立方根是____正数__；负数的立方根是__负数____；0的立方根是___0___.
立方根的性质:一般地
归纳：根据上面的知识梳理，本部分的知识结构可表示为：（学生在老师的引导下，共同完善知识结构）
课堂练习：
1.求下列各数的算术平方根（口算）:（1-15题独立完成，展示答案，老师就易错点和难点进行板书强调）
(1) 0.04;(2) 1; (3); (4) (-3)2 ; (5) 0
0.2 1 3 0
2.求下列各数的平方根（口算）:
(1) 121;(2) 16; (3) 0 ; (4) (-3)2 ; (5)
±11 ±4 0 ±3 ±
3.求下列各数的立方根（口算）:
(1) -0.008;(2) 43; (3) -64; (4) (-3)3; (5)
-0.2 4 -4 -3
4.求下列各式的值:
;(2)-;(3)± ；（4）-；（5）
0.4 1
5.当 a≥ 时，有意义。
6. .
7. 的算数平方根是 .
8. 的算数平方根是 π-3.14 .
9. 已知一个正数的平方根是2x+3和x-9，则这个数是__4____.
10.已知：，，则（1） 0.6694 .（2） 14.42 .
11.已知的小数部分为m,的小数部分为n，则m+n= 1 .
12.若，求= 1 ．
13.若和互为相反数，且的平方根是它本身，
则= 1 ．
14．比较大小 (填写“>”或“<”或“＝”)
(1) _＞__ (2) __＜_ (3) __＞_ (4)-2+ _＞__-2+．
15．估计 的值在( C )
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
16.求下列各式中的x.（学生上台板书展示，其余同学进行订错）
(1) 25x2-49=0 (2) 4(2-x )3 = -32
= =
=± =
=
（二）、实数的相关概念
思考：有理数的组成？无限不循环小数是有理数？常见无理数有哪些形式？（独立思考，然后抽学生展示，其余同学补充完善）
有理数包括整数和分数，它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式；
无限不循环小数是无理数；
常见的无理数的三种形式：(1)含π的一些数；(2)含开不尽方的数；(3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…(两个1之间依次多一个0)
归纳：有理数和无理数统称为实数
思考:类比有理数的分类，实数按定义再按符号或先按符号再按定义应该怎样分类？（类比有理数的分类，学生先独立完成，在展示，）
按定义再按符号：
先按符号再按定义：
思考：如何在数轴上表示出π，，的位置？每个无理数都可以在数轴上表示？（在学生独立思考的基础上，学生小组合作3分钟，小组展示答疑）
π：半径为1的圆，从原点开始向右滚动一圈的位置代表π
：先在原点处划一个边长为1的正方形，然后以正方形的对角线为半径原点为圆心，在原点的右边找到圆弧和数轴的交点，交点位置代表；同理可以画出
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
思考: 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义有变化？（学生独立思考后，抽学生展示）
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
思考：说说实数范围内可以进行哪些运算 有理数的运算法则和运算性质在实数中还适用？（学生独立思考后，抽学生展示）
（1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
(2)在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
归纳：根据上面的知识梳理，本部分的知识结构可表示为：（老师引导下，师生共同完善知识结构）
课堂练习：（1-6题学生独立完成，然后小组答疑，学生展示；7题学生上台板书）
1. 的相反数是______，-π 的相反数是__π___，0的相反数是__0____；
2. | | =____，|-π| =__π__，| 0 | =__0__.
3.绝对值是 的数是______；|3.14－π|＝___π-3.14___________.
4.若 |x| = π，则 x＝___±π____.
5.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足－a＜b＜a，则b的值可以是( B )
A．2 B．－1 C．－2 D．－3
6.把下列各数填入适当的集合内
0.2 ，-，，，，0，
有理数集合{ 0.2 ，-，，0， …}；
无理数集合{ ， …}；
整数集合{ -，， …}；
负数集合{ -，，， …}.
7.计算
（1）-- （2） -
解：原式=1.2+0.4+1-2 解：原式=2-+ 5 - 4
=0.6 =3-
课堂巩固训练（备选题目）
1.求下列各数的平方根：
± ± ±
2.求下列各数的立方根：
- 0.3
3.求下列各式的值：
①
20 - ± -
4．实数2，0，－3， 中，最小的数是( C )
A．2 B．0 C．－3 D.
5．设a＝ ＋2，则( C )
A．26．实数 ＋1在数轴上的对应点可能是( D )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7. 的整数部分为__3__,小数部分为 .
8.计算：
(1) （2）+64=0
解：， 解：
∴ ∴
∴ ∴ =-3
∴．
9.计算：
（1）（﹣1）3．
解：=-1++3-2
=
||（﹣1）2021．
解：=3+3--4-1
=1-
三、课堂小结
通过本节课学习，你能说说你对实数有那些了解？实数这章的知识结构是怎样的？（小组交流3分钟，然后展示）
四、课后练习
见精准作业单
五、板书设计
第六章 章末总结
平方根概念： 例题讲解
算数平方根概念：
立方根的概念：
平方根和算数平方根的关系
实数的相关概念：课前诊测
1．判断下列说法的正误.
(1) 36的平方根是6；
(2) ±9的平方根是±3；
(3) ＝±4；
(4) 0.01是0.1的平方根；
(5) 42的平方根是4；
(6) 81的算术平方根是±9.
(7) 平方根等于本身的数有1,0.
(8) 的算术平方根是 9.
精准作业
必做题
1.计算：(1)（2）+64=0
2.计算：（1）﹣22（﹣1）2021．
（2）（﹣2）2|2|．
3.已知的平方根是，的立方是，求的算术平方根．
课前诊测
1.（1）错；（2）错；（3）错；（4）错；（6）错；（6）错；（7）错；（8）错
精准作业
(1)解：
=±
±
,
(2)
2.（1）=﹣22（﹣1）2021
=-4×-2+3×(-1)
=-2-2-3
=-7
(2)=4+3-3+2-
=6-
3.解：的平方根是，
，
解得，
的立方是，
，
解得，
，
的算术平方根是5．(共28张PPT)
第六章 实数章末总结
1. 掌握平方根、立方根、实数及有关的概念，理解概念之间的联系; (重点)
2.能进行开平方和开立方运算及实数的运算. (难点)
3.会运用类比归纳，梳理本章知识点，形成知识结构
4.培养分析问题，解决问题的能力，渗透化归思想，数形结合思想，感受知识之间的相互联系
学习目标
算数平方根 平方根 立方根
文字表示 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
符号表示
a的取值
性质 正数
0
负数
平方 求一个数的平方根 的运算叫开平方 求一个数的立方根
的运算叫开立方
是本身
a≥0
a≥0
任意数
正数（一个）
互为相反数（两个）
正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
0,1
0
0,1,-1
知识梳理
(1)一个正数的算术平方根有 个; 0的算术平方根有一个，是 ;
负数 算术平方根.
(2)被开方数a是 ，即a ; 是 ，即 .
(3)被开方数越大，对应的算术平方根 . 若a＞b＞0，则 .
(4)被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小) 倍.
算数平方根的性质
1
0
没有
非负数
≥0
非负数
≥0
也越大
＞＞0
10
1.包含关系： .
2. 才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是 ，算术平方根也是 .
区别
1.个数不同：一个正数有 平方根，但只有 算术平方根.
联系
2.表示法不同:平方根表示为 ,而算术平方根表示为 .
平方根与算术平方根的联系与区别
平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种
只有非负数
0
0
两个
一个
±
求一个数的立方根的运算，叫做 .正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也 .
正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
正数
负数
0
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“ ”，其中 是被开方数， 是根指数.
立方根的性质:一般地，
=
立方根
开立方
互为逆运算
三次根号a
a
3
知识结构图一
1.求下列各数的算术平方根（口算）:
(1) 0.04;(2) 1; (3); (4) (-3)2 ; (5) 0
2.求下列各数的平方根（口算）:
(1) 121;(2) 16; (3) 0 ; (4) (-3)2 ; (5)
3.求下列各数的立方根（口算）:
(1) -0.008;(2) 43; (3) -64; (4) (-3)3; (5)
4.求下列各式的值:
;(2)-;(3)± ；（4）-；（5）
课堂练习
0.2
1
3
0
±11
±4
0
±3
±
4
-0.2
-4
-3
0.4
-
±
1
9. 已知一个正数的平方根是2x+3和x-9，则这个数是______.
课堂练习
a≥
π-3.14
4
0.6694
14.42
11.已知
的小数部分为m,
的小数部分为n,
1
10.已知：，，则（1） .（2） .
12.若，求= ．
13.若和互为相反数，且的平方根是它本身，
则= ．
1
1
课堂练习
16.求下列各式中的x.
(1) 25x2-49=0 (2) 4(2-x )3 = -32
课堂练习
=
=±
=
=
=
14．比较大小 (填写“>”或“<”或“＝”)
(1) ___ (2) ___ (3) ___ (4)-2+ ___-2+．
＞
＜
＞
＞
15．估计 的值在( )
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
C
有理数包括 和 ，它们都可以写成 或者 的形式.
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
有理数概念
整数
分数
有限小数
无限循环小数
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.无限不循环小数又叫做 .
例如，-，，等都是 .
π是无理数吗？1.01001000100001…（两个1之间依次多一个0）是无理数吗？
它们都是无限不循环小数，是无理数.
常见的无理数的三种形式： .
无理数概念
无理数
无理数
(1)含π的一些数；(2)含开不尽方的数；(3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…(两个1之间依次多一个0)
和 统称为实数.
（1）按定义分
实数
有理数
无理数
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
无限不循环小数
有限小数或者无限循环小数
实数及其分类
有理数
无理数
（2）按性质分
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
0
负有理数
负无理数
实数及其分类
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是 的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点， .
实数在数轴上的表示
思考：如何在数轴上表示出π，，的位置？无理数都可以在数轴上表示？
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
一一对应
右边的点所表示的实数总比
左边的点表示的实数大
(1)数a的相反数是 ，这里a表示任意一个实数.
(2)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即设a表示任意一个实数，则
（3）乘积是1的两个数互为倒数．若a与b互为倒数，则ab=1．如果a≠0,那么它的倒数为 .
小结：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
实数的运算
-a
(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行 运算，而且正数及0可以进行 运算，任意一个实数可以进
行 运算.
(2)在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
1.交换律：加法 a＋b＝b＋a，乘法 .
2.结合律：加法 ，乘法 .
3.分配律： .
实数的运算
加、减、乘、除
(除数不为0)、乘方
开平方
开立方
a×b＝b×a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(a×b)×c＝a×(b×c)
a×(b＋c)＝a×b＋a×c
知识结构二
3.绝对值是 的数是______；|3.14－π|＝______________.
π－3.14
1. 的相反数是______，-π 的相反数是_____，0的相反数是______；
π
0
2. | | =____，|-π| =____，| 0 | =____.
π
0
4.若 |x| = π，则 x＝_______.
±π
5.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足－a＜b＜a，则b的值可以是( )
A．2 B．－1 C．－2 D．－3
B
课堂练习
有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}；
整数集合{ …}；
负数集合{ …}.
课堂练习
0.2 ，-，，，，0，
6.把下列各数填入适当的集合内
0.2 ，-，，0，
，
-，，
-，，，
解：原式=1.2+0.4+1-2
=0.6
解：原式=2- + 5 - 4
=3-
7.计算
课堂练习
1.求下列各数的平方根：
2.求下列各数的立方根：
3.求下列各式的值：
①
=20
=
=
=
课堂巩固训练
5．设a＝ ＋2，则( )
A．2C
6．实数 ＋1在数轴上的对应点可能是( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
D
7. 的整数部分为____,小数部分为 .
3
课堂巩固训练
4．实数2，0，－3， 中，最小的数是( )
A．2 B．0 C．－3 D.
C
(1)．
（2）+64=0
解：
，
∴
∴
∴．
解：
∴
∴ =-3
课堂巩固训练
8.计算：
（1）（﹣1）3．
||（﹣1）2021．
解：=-1++3-2
=
解：=3+3--4-1
=1-
9.计算：
课堂巩固训练
课堂小结
通过本节课学习，你能说说你对实数有那些了解？本章的知识结构是怎样的？