5.3.2 命题、定理、证明 导学案
学习目标：
1.掌握命题、定理的概念以及推理的方法和步骤，了解证明的意义.（重难点）
2.通过讨论、探究、交流等形式，使学生在争辩中获得知识体验.
3.在学习过程中培养学生敢于质疑，敢于辩论，大胆探究的品质.
一、直切主题
命题的概念：
前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的句子，例如：
（1）两直线平行，同位角相等； （2）等角的余角相等；
（3）对顶角相等； （4）内错角相等，两直线平行.
像这样判断一件事的语句，叫做命题.
你还能举一些这样的例子吗？
1.判断下列语句，哪些是命题，哪些不是？
（1）相等的角是对顶角. ____________ （2）邻补角互补. ____________
（3）两条直线相交有几个交点？ ____________（4）煤球是白色的. ____________
（5）画∠AOB=30°. _______________ （6）直角都相等. ______________
（7）你吃过午饭了吗？ _______________
探究新知
2.命题的组成：①命题由“题设”和“结论”两部分组成.
题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项.
例：指出下列命题的题设和结论.
(1)同角的余角相等； 题设：___________________. 结论：___________________.
(2)不相等的两个角不是对顶角. 题设：_____________. 结论：_________________.
②命题常写成“如果...,那么...”的形式，
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
例：把下列命题改写成“如果...,那么...”的形式.
(1)同位角相等. ______________________________________
(2)两个锐角互余. ______________________________________
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行._______________________________________
3.命题的真假：
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.
如果题设成立，那么不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
例：判断下列命题的真假：
(1)两个锐角的和一定是钝角. ________________
(2)相等的两个角是对顶角. ________________
(3)同位角相等，两直线平行. ________________
(4)若a2=b2，则a=b. ________________
解析：判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
4.证明：一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明.
例：如图，已知直线b∥c，a⊥b，求证a⊥c.
三、巩固练习
1.下列语句是命题的是（ ）
A.延长线段AB B.你吃过午饭了吗
C.直角都相等 D.连接A,B两点
2.下列为假命题的是（ ）
A.对顶角相等
B.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
C.垂线段最短
D.经过直线外一点，有两条直线与这条直线平行
3.把命题“对顶角相等”写成“如果...，那么...”的形式为：______________________________________________________
4.命题“等角的补角相等”，题设是___________________，结论是_________________.
5.“若∠1和∠2是同位角，则∠1=∠2.”这是一个______命题.（填“真”或“假”）
6.如图，已知DE∥BC，BE平分∠DBC，∠D=110°.求证：∠E=35°.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单5.3.2 命题、定理、证明 教学设计
教学目标
1.掌握命题、定理的概念以及推理的方法和步骤，了解证明的意义.
2.通过讨论、探究、交流等形式，使学生在争辩中获得知识体验.
3.在学习过程中培养学生敢于质疑，敢于辩论，大胆探究的品质.
教学重点
掌握命题、定理的概念，了解证明的意义.
教学难点
分清命题的组成，掌握推理的方法和步骤.
教学过程
直切主题
命题的概念：
前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的句子，例如：
（1）两直线平行，同位角相等； （2）等角的余角相等；
（3）对顶角相等； （4）内错角相等，两直线平行.
像这样判断一件事的语句，叫做命题.
你还能举一些这样的例子吗？
1.判断下列语句，哪些是命题，哪些不是？
（1）相等的角是对顶角. 是 （2）邻补角互补. 是
（3）两条直线相交有几个交点？ 不是 （4）煤球是白色的. 是
（5）画∠AOB=30°. 不是 （6）直角都相等. 是
（7）你吃过午饭了吗？ 不是
探究新知
2.命题的组成：①命题由“题设”和“结论”两部分组成.
题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项.
例：指出下列命题的题设和结论.
(1)同角的余角相等; 题设：两个角是同一个角的余角. 结论：这两个角相等.
(2)不相等的两个角不是对顶角. 题设：两个角不相等. 结论：这两个角不是对顶角.
②命题常写成“如果...,那么...”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
例：把下列命题改写成“如果...,那么...”的形式.
(1)同位角相等. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
(2)两个锐角互余. 如果两个角是锐角，那么这两个角互余.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两个条直线平行.
3.命题的真假：
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.
如果题设成立，那么不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
例：判断下列命题的真假：
(1)两个锐角的和一定是钝角. 假命题
(2)相等的两个角是对顶角. 假命题
(3)同位角相等，两直线平行. 真命题
(4)若a2=b2，则a=b. 假命题
解析：判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
4.证明：一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明.
例：如图，已知直线b∥c，a⊥b，求证a⊥c.
证明：∵a⊥b（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义）.
∵b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴∠2=∠1=90°（等量代换）
∴a⊥c（垂直的定义）.
巩固练习
1.下列语句是命题的是（ C ）
A.延长线段AB B.你吃过午饭了吗
C.直角都相等 D.连接A,B两点
2.下列为假命题的是（ D ）
A.对顶角相等
B.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
C.垂线段最短
D.经过直线外一点，有两条直线与这条直线平行
3.把命题“对顶角相等”写成“如果...，那么...”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
4.命题“等角的补角相等”，题设是两个角是等角的补角，结论是这两角相等.
5.“若∠1和∠2是同位角，则∠1=∠2.”这是一个假命题.（填“真”或“假”）
6.如图，已知DE∥BC，BE平分∠DBC，∠D=110°.求证：∠E=35°.
证明：∵DE∥BC（已知），
∴∠D+∠DBC=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠D=110°（已知），
∴∠DBC=180°-110°=70°（等式的性质）.
又∵BE平分∠DBC（已知），
∴∠1= ∠DBC=35°（等式性质）.
又∵DE平行BC，
所以∠E=∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠E=35°（等量代换）.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单
六、板书设计
5.3.2 命题、定理、证明 右边板书
1.命题的概念： 例题板书过程
判断一件事的语句，叫做命题
2.命题的组成：①命题由“题设”和“结论”两部分组成.
题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项.
3.命题的真假：真命题、假命题
4.证明：
第 5 页 共 5 页课前诊测
1.判断下列语句是不是命题，如果是命题，判断其真假性.
①画直线AB. ②两条直线相交，有几个交点？
③若a∥b，b∥c，则a∥c. ④直角都相等.
⑤相等的角都是直角. ⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.
把下列命题改写成“如果.......，那么......”的形式，并写出它们的题设和结论.
有两个角为60°的三角形是等边三角形.
两个连续偶数相差2.
精准作业
必做题
下面的句子中，不是命题的是（ ）
A.对顶角相等 B.过直线上一点画直线的垂线
C.直角是90°的角 D.互补的两个角是邻补角
2.命题“同位角相等，两直线平行”的题设是___________________,结论是________________.
3.命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”表示成“如果.......，那么......”的形式是：如果_________________________________，那么_______________________________.
4.填写依据：如图所示，已知：DG⊥BC，AC⊥BC，FE⊥AB，∠1＝∠2.求证：CD⊥AB.
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（ ），
∴∠DGB=∠ACB=90°（ ），
∴DG∥AC（ ）,
∴∠2=∠DCA（ ）.
∵∠1=∠2（ ），
∴∠1=∠DCA（ ），
∴FE∥CD（ ），
∴∠AEF=∠ADC（ ）.
∵EF⊥AB（ ），
∴∠AEF=90°（ ），
∴∠ADC=90°（ ），
∴CD⊥AB（ ）.
探究题
阅读下题后作出解答.
“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一命题叫做另一命题的逆命题.
请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题，并指出逆命题的题设和结论.
参考答案
课前诊断
解： ①②没有对某件事情作出判断，故①②不是命题.
③④⑤⑥是命题，且③④⑥是真命题，⑤是假命题.
解：（1）改写：如果一个三角形中有两个角为60°，那么这个三角形是等边三角形.
题设：一个三角形中有两个角为60°； 结论：这个三角形是等边三角形.
（2）改写：如果两个数是连续的偶数，那么这两个数相差2.
题设：两个数是连续的偶数； 结论：这两个数相差2.
精准作业
B
同位角相等 两直线平行
两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行
4. 已知 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
已知 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
已知 垂直的定义 等量代换 垂直的定义
探究题
解：逆命题：到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
其中题设：到角两边距离相等的点，
结论：该点在这个角的平分线上.(共14张PPT)
5.3.2 命题、定理、证明
直 切 主 题
前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的句子，例如：（1）两直线平行，同位角相等；
（2）等角的余角相等；
（3）对顶角相等；
（4）内错角相等，两直线平行.
像这样判断一件事的语句，叫做命题.
你还能举出一些这样的例子吗？
1.命题的概念：
探 究 新 知
判断下列语句，哪些是命题，哪些不是？
（1）相等的角是对顶角.
（2）邻补角互补.
（3）两条直线相交有几个交点？
（4）煤球是白色的.
（5）画∠AOB=30°.
（6）直角都相等.
（7）你吃过午饭了吗？
是
是
不是
是
不是
是
不是
探 究 新 知
2.命题的组成：
命题由“题设”和“结论”两部分组成.
题设是已知事项,
结论是由已知事项推出的事项.
例：指出下列命题的题设和结论.
(1)同角的余角相等;
(2)不相等的两个角不是对顶角.
题设：两个角是同一个角的余角. 结论：这两个角相等.
题设：两个角不相等. 结论：这两个角不是对顶角.
探 究 新 知
2.命题的组成：
命题常写成“如果...,那么...”的形式，
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
例：把下列命题改写成“如果...,那么...”的形式.
(1)同位角相等.
(2)两个锐角互余.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.
如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
如果两个角是锐角，那么这两个角互余.
如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两个条直线平行.
探 究 新 知
3.命题的真假：
如果题设成立，那么结论一定成立，
这样的命题叫做真命题.
如果题设成立，那么不能保证结论一定成立，
这样的命题叫做假命题.
命题的正确性是经过推理证实的，
这样得到的真命题叫做定理.
探 究 新 知
例：判断下列命题的真假：
(1)两个锐角的和一定是钝角.
(2)相等的两个角是对顶角.
(3)同位角相等，两直线平行.
(4)若a2=b2，则a=b.
3.命题的真假：
假命题
假命题
真命题
假命题
解析：判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
探 究 新 知
4.证明：
一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明.
例：如图，已知直线b∥c，a⊥b，求证a⊥c.
证明：∵a⊥b（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义）.
∵b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴∠2=∠1=90°（等量代换）
∴a⊥c（垂直的定义）.
巩 固 练 习
1.下列语句是命题的是（ ）
A.延长线段AB B.你吃过午饭了吗
C.直角都相等 D.连接A,B两点
C
2.下列为假命题的是（ ）
A.对顶角相等
B.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
C.垂线段最短
D.经过直线外一点，有两条直线与这条直线平行
D
巩 固 练 习
3.把命题“对顶角相等”写成“如果...，那么...”的形式为：____________________________________.
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
4.命题“等角的补角相等”
题设是________________________，
结论是______________.
两个角是等角的补角
这两角相等
5.“若∠1和∠2是同位角，则∠1=∠2.”这是一个_______命题.（填“真”或“假”）
假
巩 固 练 习
6.如图，已知DE∥BC，BE平分∠DBC，∠D=110°.
求证：∠E=35°.
证明：∵DE∥BC（已知），
∴∠D+∠DBC=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠D=110°（已知），
∴∠DBC=180°-110°=70°（等式的性质）.
又∵BE平分∠DBC（已知），
∴∠1= ∠DBC=35°（等式性质）.
又∵DE平行BC，
所以∠E=∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠E=35°（等量代换）.
课 堂 小 结
谈谈你本节课的收获.
作 业 布 置
见精准作业单.
