2022-2023学年苏教版（2019）必修二第十三章 立体几何初步 单元测试卷（含解析）

苏教版（2019）必修二第十三章 立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥的体积为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3、在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为( )
A. B. C. D.
4、已知四棱锥的体积是，底面ABCD是正方形，是等边三角形，平面平面ABCD，则四棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
5、在三棱柱中，平面ABC，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6、已知正三棱锥的四个顶点都在球O上，的外接圆半径为1，三棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
7、如图，已知圆锥CO的轴截面是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8、已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9、已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
10、我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中有这样一题：今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何 其意思是：现有堤坝，下底长为2丈，上底长为8尺，高4尺，纵长12丈7尺，问这段堤坝的体积是多少？下列选项中，与这段堤坝的体积最接近的是（注：一丈=十尺）( )
A.6800立方尺 B.7110立方尺 C.7117立方尺 D.7120立方尺
二、填空题
11、已知多面体PACBQ满足，，QA，QB，QC两两垂直，且P，A，B，C，Q在同一个球面上，则点P，Q到平面ABC距离的比值为___________.
12、如图，四棱台的底面是正方形，底面ABCD，，则直线与所成角的余弦值为__________________.
13、在正四棱柱中,E是的中点,,,则BE与平面所成角的正弦值为________.
14、在棱长为6的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为____________.
15、如图,等边三角形SAB为该圆锥的轴截面,点C为母线SB的中点,D为的中点,则异面直线SA与CD所成角为__________.
16、在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线AC上的点P（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于________.
三、解答题
17、如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，，
（1）求证：平面平面BCF.
（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.
18、如图所示多面体中, 底面 是边长为 3 的正方形, 上平面 是 上一点,.
(1)求证: 平面;
(2)求此多面体的体积.
19、图1是由矩形ADEB、和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面平面BCGE.
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
20、如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形
(2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形.
参考答案
1、答案：C
解析：因为P，O分别为，AD的中点，所以由直棱柱的性质知平面ABCD，又为正三角形，，所以，连接CO，在直角梯形ABCD中，易知，因为E为PC的中点，所以，故选C.
2、答案：A
解析：如图，取AC的中点为N，连接MN，BN，则且，所以即异面直线BM与CD的夹角或其补角.因为平面BCD，平面BCD，所以，又，，所以平面ABC，所以平面ABC，所以.设，则，，，在中，，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为.
3、答案：D
解析：如图，记正方体的棱长为a，则，
所以，，在中，由余弦定理得，所以.又因为，所以即为直线PB与所成的角，所以直线PB与所成的角为.故选D.
4、答案：A
解析：由已知可得，则，设球心为O，O到平面ABCD的距离为x，球O的半径为R，则由，得，解得，所以，.故选A.
5、答案：D
解析：平面ABC，，又，，又，，平面，该三棱柱可以补形成长方体，连接，，则，是与所成的角或其补角.令，则，在中，，，由余弦定理得.故选D.
6、答案：A
解析：设的外接圆的圆心为，连接，由于正三角形ABC的外接圆半径为1，所以正三角形ABC的边长为，三棱锥的体积，得.设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积.故选A.
7、答案：A
解析：如图，取AC的中点E，劣弧的中点F，AO的中点G，连接OF，OE，易知，，则异面直线AD与BC所成的角是或其补角.连接EG，OF，EF，易得，不妨设，则，，，，则，所以在中，，故异面直线AD与BC所成角的余弦值为.故选A.
8、答案：B
解析：如图，取AD中点F，连接EF，CF，因为E是AB中点，则，或其补角就是异面直线CE，BD所成的角，设正四面体棱长为1，则，，.故选B.
9、答案：A
解析：在中，，，，所以；同理，，过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为，故，故平面ABD，且为等腰三角形.因为，故，则的面积为，则三棱锥的体积为.
10、答案：B
解析：该堤坝可看作一个棱柱，由题可知棱柱的高为（尺），棱柱的底面为梯形，所以棱柱的体积（立方尺），故与所求堤坝的体积最接近的是7110立方尺.故选B.
11、答案：2
解析：如图，将多面体PACBQ放入正方体中，设正方体的棱长为1，则.设点Q到平面ABC距离为d，则，即，解得.又正方体的体对角线长为，则点P到平面ABC的距离为，所以点P，Q到平面ABC距离的比值为.
12、答案：
解析：设AB的中点为E，连接，则易知，，四边形是平行四边形，，为直线与所成的角.四边形ABCD是正方形，，底面ABCD，，又，平面，，是直角三角形.设，则，，.
13、答案：
解析:设底面的中心为O,可证平面,取的中点H,连接EH,则,所以平面,连接BH,则为BE与平面所成的角.因为,,所以,,.
14、答案：
解析：如图，延长EF，相交于M，连接AM交于H，延长FE，相交于N，连接AN交于，连接FH，EG，可得截面五边形AHFEG.因为是棱长为6的正方体，且E，F分别是棱，的中点，所以，.，截面的周长为.
15、答案：
解析:略
16、答案：
解析：如图，连接BD交AC于点O，连接，.由题易知平面平面，故截面平行于平面.过点P作与BD平行的直线分别交AD，AB于点M，N.在上取点Q使.，，，.又，
，，平面平面.易得，故，.
17、
（1）答案：见解析
解析：如图，矩形ABCD中，，
平面平面
平面平面ABEF，
所以平面ABEF
又平面ABEF
，又AB为圆O的直径，
则
，BC，平面BCF，
所以平面BCF，且平面ADF
所以平面平面BCF.
（2）答案：6
解析：几何体是四棱锥，是三棱锥，过F点作，交AB于H
平面平面ABEF，平面ABCD
则，，
所以.
18、答案：(1)见解析(2)
解析：(1) 证明: 过点 作, 交 于点, 则
因为, 所以, 且, 所以四边形 为平行四边形,所以. 又 平面 丈平面, 所以 平面.
(2) 因为 平面 平面, 所以, 因为, 所以 平面.
所以, ,
即此多面体的体积为
19、答案：(1)见解析.
(2)面积为4.
解析：(1)由已知得，
所以，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得，故平面BCGE.
又因为平面ABC，所以平面平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为平面BCGE，
所以平面BCGE，故.
由已知，四边形BCGE是菱形且得，
故平面DEM.
因此.
在中，，故.
所以四边形ACGD的面积为4.
20、答案：(1)见解析.
(2).
解析：(1)在中，E，F分别是边AB，BC的中点，
所以，且，
同理有，且，
所以且，
故四边形EFGH是平行四边形.
(2)当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：
若，则有，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
所以四边形EFGH是菱形.
若，则，所以菱形EFGH是正方形.