6.1 平面向量的概念 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第一节　平面向量的概念》同步练习
一、基础巩固
知识点1　平面向量的概念及其表示
1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法中正确的是(　　)
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
2.(多选)[2022福建师大二附中高一月考]下列说法中正确的是(　　)
A.向量的长度与向量的长度相等
B.零向量长度为零且没有方向
C.若向量,满足||>||,且与同向,则　
D.单位向量的模都为1
3.如图所示,小正方形的边长为1,则||=　　　,||=　　　,||=　　　　.
4.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地沿北偏东30°方向行驶2 km到达D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地,从C地又沿南偏西30°方向行驶2 km才到达B地.在如图所示的平面直角坐标系中分别作出向量,,,.
知识点2　相等向量与共线向量
5.(多选)[2022浙江嘉兴五高高一下期中]已知非零向量a,b,下列命题正确的是(　　)
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若a=b,则|a|=|b|
C.若a∥b,则a=b
D.若a=b,则a∥b
6.(多选)如图所示,四边形ABCD,四边形CEFG,四边形CGHD是完全相同的菱形,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.||=|| B.与共线
C.与共线 D.
7.如图(每个小方格都是边长为1的正方形),若向量的起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有(　　)
A.12个 B.18个 C.24个 D.36个
8.[2022陕西渭南高一下期末]设e是单位向量,=e,=-e,||=1,则四边形ABCD是(　　)
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
二、能力提升
1.(多选)下列能使a∥b成立的是(　　)
A.a=b
B.|a|=|b|
C.a与b方向相反
D.|a|=0或|b|=0
2.(多选)[2022山东菏泽高一期中]设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,则下列结论正确的是(　　)
A. B.||=||
C. D.与共线
3.如图所示,△ABC和△A'B'C'是两个在各边的三等分点处相交的全等的等边三角形,图中画出了若干个向量,则
(1)与向量相等的向量是　 ;
(2)与向量共线,且模相等的向量是　　　　　　　　　　　　　　　　　;
(3)与向量共线,且模相等的向量是　　　　　　　　　　　　　　　　　.
4.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,设点集S={A,B,C,D,O},集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},试求集合T中元素的个数.
5.如图,半圆的直径AB=6,点C是半圆上的一点,点D,E分别是AB,BC上的点,且AD=1,BE=4,DE=3.
(1)求证:∥;
(2)求||.
6.[2022重庆八中高一月考]如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有符合题目要求的向量;
(2)求||的最大值与最小值.
参考答案
一、基础巩固
1.D　密度、温度、质量、功只有大小,没有方向,是数量;速度、位移既有大小又有方向,是向量.故选D.
2.AD　向量的长度与向量的长度都是线段AB的长度,故相等,故A正确;零向量有方向,它的方向是任意的,故B错误;向量不能比较大小,向量的模可以比较大小,故C错误;由单位向量的概念,知D正确.故选AD.
3.3　　2　解析由题意,知||==3,||=,||==2.
4.解析,,,如图所示.
5.BD　向量是具有方向的量,若|a|=|b|,则方向不同时,a≠b,A错误;若a=b,则一定有|a|=|b|,B正确;若a∥b,则只能说明非零向量a,b共线,当大小不同或方向相反时,都有a≠b,C错误;若a=b,则a,b共线且方向相同,所以a∥b,D正确.故选BD.
6.ABD　 由题意可知,||=||,A正确;由图形可知,∥,即与共线,B正确;与方向相同且长度相同,即,D正确;∠DEH不一定等于∠BDC,故BD与EH不一定平行,C不一定成立.
7.C　小正方形对角线的长度均为,故所求向量有24个.
8.B　因为=e,=-e,所以=-,则∥,又||=||=1,则四边形ABCD是平行四边形.因为||=1,所以||=||,所以四边形ABCD是菱形.
二、能力提升
1.ACD　对于A,若a=b,则a与b的长度相等且方向相同,所以a∥b;对于B,若|a|=|b|,则a与b的长度相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;对于C,方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;对于D,零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
2.AD　因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,所以O是AC的中点,即有,A正确;平行四边形对角线长不一定相等,则||与||不一定相等,B错误;点A,O,B不共线,C错误;平行四边形ABCD中,AB∥CD,即有与共线,D正确.故选AD.
3.(1),;(2),,,,;(3),,,,
4.解析由题意,可知从点A,B,C,D,O中任取2个不同的点作向量,共有20个,分别为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.
由平行四边形的性质,可知共有8对向量相等:,,,,,,,.
因为集合中的元素具有互异性,所以集合T中的元素共有12个.
5.解析(1)由题意,知在△BED中,BD=5,DE=3,BE=4,所以DE2+BE2=BD2,
即△DEB是直角三角形,∠DEB=90°.
因为点C为半圆上一点,且AB为半圆的直径,
所以∠ACB=90°,
所以AC∥DE,故∥.
(2)因为AC∥DE,所以△ABC∽△DBE,
所以,即,
解得AC=,即||=.
6.解析(1)所有符合题目要求的向量如图所示.
(2)由(1)所画的图,知①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值,为;
②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值,为.
故||的最大值为,最小值为.