6.3.5平面向量数量积的坐标表示 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第三节　平面向量基本定理及坐标表示》同步练习
（课时5　平面向量数量积的坐标表示）
一、基础巩固
知识点1　平面向量数量积的坐标表示
1.[2022湖北武汉钢城第四中学高一期中]已知向量a=(cos 5°,sin 5°),b=(cos 65°,sin 65°),则a·b=(　　)
A.- B.- C. D.
2.(多选)[2022江苏省马坝高级中学高一下调研]在平面直角坐标系中,点O为原点,已知A(-3,-4),B(5,-12),,则(　　)
A.=(-8,8) B.=(-8,8)
C.||=8 D.·=(-15,48)
3.已知a,b为平面向量,且a=(4,3),2a+b=(3,18),若a,b的夹角为θ,则cos θ=(　　)
A. B.- C. D.-
4.(多选)[2022华中科技大学附属中学高一下月考]在边长为1的正方形ABCD中,M为边BC的中点,点E在线段AB上运动(含端点),则·的值可以是(　　)
A. B.1 C. D.2
5.已知a=(1,0),b=(0,1),若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为　　　　.
6.[2023贵州贵阳高三上开学联合考试]已知向量a=(1,-2),|b|=1,若|a-2b|=2,则a·b=　　　　.
知识点2　平面向量垂直的坐标表示
7.已知向量a=(k,1),b=(4,k),c=(k+1,-2),其中a∥b且a⊥c,则实数k=(　　)
A.0 B.-2 C.2 D.±2
8.已知向量a=(,),b=(,),则下列关系正确的是(　　)
A.a⊥b B.(a-b)⊥(a+b)
C.a⊥(a-b) D.a⊥(a+b)
9.[2022北京西城区高一下期末]已知向量a,b满足|a|=4,|b|=2,(a+b)⊥b,那么向量a,b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
10.[2022江苏省泰州中学高一测试]已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0).
(1)求向量b+c的模的最大值;
(2)设α=,且a⊥(b+c),求cos β的值.
二、能力提升
1.[2022安徽部分名校高二下期末]已知向量a=(-2,-1),b=(1,2),若a在b上的投影向量为c,则c·(a+b)=(　　)
A.- B.- C. D.
2.(多选)[2022广东泰安一中高一下期中]设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述正确的是(　　)
A.若k<2,则a与b的夹角为钝角
B.|a|的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个,为(,-)
D.若|a|=2|b|,则k=2或-2
3.(多选)[2022江苏常熟高一下期中]如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中,a=(2,1),b=(-4,5),则(　　)
A.a·b=-3
B.|a|=
C.a⊥b
D.a+b与a的夹角为60°
4.[2022福建三明五县高一下期末联考]如图,已知正方形ABCD的边长为2,过中心O的直线l与两边AB,CD分别交于点M,N.若Q是BC的中点,则·的取值范围是　　　　;若P是平面上一点,且满足2=λ+(1-λ),则·的最小值是　　　　.
5.已知向量a=(-1,-1),b=(0,1).
(1)在①(ta+b)⊥(a+tb),②|ta+b|=|a+tb|,③=45°这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.
若　　　　,求实数t的值;
(2)若向量c=(x,y),且c=-ya+(1-x)b,求|c|.
6.如图,在平面直角坐标系中,已知四边形OABC是等腰梯形,A(6,0),C(1,),点M满足,点P在线段BC(包括端点)上运动.
(1)求∠OCM的余弦值.
(2)是否存在实数λ,使(-λ)⊥ 若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.C　a·b=cos 5° cos 65°+sin 5°sin 65°=cos(5°-65°)=cos(-60°)=.
2.BC　
A =(5,-12)-(-3,-4)=(8,-8).
B √ =-=(-8,8).
C √ ||==8.
D ·=8×5+(-8)×(-12)=136.
3.C　因为a=(4,3),所以2a=(8,6).又2a+b=(3,18),所以b=(-5,12),所以a·b=-20+36=16.又|a|=5,|b|=13,所以cos θ=.
4.BC　方法一　以A为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.设E(x,0)(0≤x≤1),因为正方形的边长为1,M为边BC的中点,所以M(1,),C(1,1),所以=(1-x,),=(1-x,1),所以·=(1-x)2+,又0≤x≤1,所以≤·≤,故选BC.
方法二　设=λ(0≤λ≤1),则·=()·()=·=(λ)2+·=λ2+,所以≤·≤,故选BC.
5.(-2,)∪(,+∞)　解析因为a=(1,0),b=(0,1),所以ka+b=(k,1),a+2b=(1,2).因为向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,所以(ka+b)·(a+2b)=(k,1)·(1,2)=k+2>0,解得k>-2.又当k=时,ka+b与a+2b方向相同,所以实数k的取值范围为(-2,)∪(,+∞).
6.-　解析因为a=(1,-2),所以|a|=,又|a-2b|=2,所以(a-2b)2=12,则|a|2+4|b|2-4a·b=12,又|b|=1,所以5+4-4a·b=12,解得a·b=-.
7.B　由题意,得解得k=-2.故选B.
8.B　因为向量a=(,),b=(,),所以a-b,a+b都是非零向量.
A a·b=≠0,即a与b不垂直.
B √ |a|=|b|==1,则(a-b)·(a+b)=a2-b2=0,即(a-b)⊥(a+b).
C a·(a-b)=a2-a·b=1-≠0,即a与a-b不垂直.
D a·(a+b)=a2+a·b=1+≠0,即a与a+b不垂直.
9.C　设向量a,b的夹角为θ,因为(a+b)⊥b,则(a+b)·b=0 a·b+b2=0,所以|a|·|b|cos θ+|b|2=0 4×2cos θ+4=0,解得cos θ=-,所以θ=.
10.解析(1)b+c=(cos β-1,sin β),则|b+c|2=(cos β-1)2+sin2β=2(1-cos β).
因为-1≤cos β≤1,所以0≤|b+c|2≤4,
即0≤|b+c|≤2,所以向量b+c的模的最大值为2.
(2)若α=,则a=(,).
又由b=(cos β,sin β),c=(-1,0),得a·(b+c)=(,)·(cos β-1,sin β)=cos β+sin β-.
因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,
即cos β+sin β=1,所以sin β=1-cos β,两边平方并化简得cos β(cos β-1)=0,解得cos β=0或cos β=1.
二、能力提升
1.B　因为a=(-2,-1),b=(1,2),所以a在b上的投影向量为··(1,2)=(-,-),所以c=(-,-).因为a+b=(-1,1),所以c·(a+b)==-.
2.BD　
A 当k=-2时,a=(-2,2),b=(1,-1),a=-2b,a与b反向共线,夹角为180°,此时a与b的夹角不为钝角.
B √ 因为a=(k,2),所以|a|=≥2,所以|a|的最小值为2.
C 由b=(1,-1),得与b共线的单位向量为(,-)或(-,).
D √ 因为a=(k,2),b=(1,-1),且|a|=2|b|,所以=2,解得k=2或k=-2.
3.BCD　由已知条件得e1·e2=1×1×cos 60°=,则a·b=(2e1+e2)·(-4e1+5e2)=-8+6e1·e2+5=-8+6×+5=0,故A错误,C正确;|a|=,故B正确;cos=,又∈[0,π],故=,故D正确.故选BCD.
4.[-1,0]　-　解析因为直线l过中心O且与两边AB,CD分别交于点M,N,所以O为M,N的中点,所以=-,所以·=()·()=.因为Q是BC的中点,所以||=1,1≤||≤,所以-1≤≤0,即·的取值范围为[-1,0].令=2,由=2=λ+(1-λ)知点T在BC上,又O为MN的中点,所以||≥1,从而||≥.·=()·()=,因为1≤||≤,所以·≥-2=-,即·的最小值为-.
5.解析(1)方案一　选条件①.
由题意,得ta+b=(-t,1-t),a+tb=(-1,t-1),
因为(ta+b)⊥(a+tb),所以(ta+b)·(a+tb)=0,
所以t+(1-t)(t-1)=0,
即t2-3t+1=0,解得t=.
方案二　选条件②.
由题意,得ta+b=(-t,1-t),a+tb=(-1,t-1),因为|ta+b|=|a+tb|,
所以,即t2=1,解得t=±1.
方案三　选条件③.
由题意,得ta+b=(-t,1-t),所以cos=,得t=.
(2)因为c=-ya+(1-x)b,
所以(x,y)=(y,1-x+y),即解得
所以c=(1,1),所以|c|=.
6.解析(1)由题意可得=(6,0),=(1,),=(3,0),=(2,-),=(-1,-),故cos ∠OCM=cos <,>=
.
(2)设P(t,),1≤t≤5,则λ=(λt,λ),
-λ=(6-λt,-λ),=(2,-),
若(-λ)⊥,则(-λ)·=0,
即12-2λt+3λ=0,可得(2t-3)λ=12.
若t=,则λ不存在;
若t≠,则λ=,t∈[1,)∪(,5],
故λ∈(-∞,-12]∪[,+∞).