6.4.3 .1余弦定理同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第四节　平面向量的应用》同步练习
（课时3 余弦定理、正弦定理（1.余弦定理））
一、基础巩固
知识点1　利用余弦定理解三角形
1.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c等于(　　)
A. B. C. D.5
2.[2023黑龙江哈四中高二上开学考试]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,c=2,A=30°,则b=(　　)
A. B. C.1 D.
3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=60°,则ab=(　　)
A. B.8-4 C.1 D.
4.(多选)[2022福建漳浦一中高一下期末]在△ABC中,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值可以为(　　)
A. B. C. D.
5.[2022北京房山区高一下期末]已知△ABC的三条边长分别为5,7,8,则此三角形的最大角与最小角之和为(　　)
A. B. C. D.
6.[2022河北献县求实高级中学高一下月考]在△ABC中,已知a2+c2+bc-6b=2accos B,a=4,则三角形的周长是(　　)
A.2 B.6 C.8 D.10
7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且a,b是方程x2-5x+2=0的两个根,C=60°,则c=　　　　.
8.[2022湖南株洲二中高二下期中]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos B=.
(1)求角C的大小;
(2)若边AC上的高为,求cos B的值.
知识点2　利用余弦定理判断三角形的形状
9.[2022重庆市万州高级中学高一下月考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若aA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰三角形
10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a∶b∶c=2∶3∶4,则△ABC为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
11.[2022河南省实验中学高一下期中]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+bcos A=b,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
二、能力提升
1.[2022河北保定部分高中高一下月考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,bc=12,A=,则b+c=(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
2.在△ABC中,三边上的高依次为,,,则△ABC为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上均有可能
3.(多选)[2022黑龙江齐齐哈尔龙江一中高二上开学考试]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,tan B=2cos A,则(　　)
A.sin A=cos B B.C=2A
C.b=a D.c=2a
4.[2022江苏无锡辅仁中学高一下质检]在△ABC中,已知AB=4,AC=3,∠BAC=120°,点E在线段BC上,且满足2BE=EC,则AE的长为(　　)
A. B. C. D.2
5.[2022浙江宁波六校联盟高一下期中联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2c2=(a+b)(b-a),则当角C取得最大值时,△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
6.[2022山东枣庄滕州一中高一下月考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=x,b=2,B=45°,符合条件的三角形有两个,则实数x的取值范围是　　　　.
7.[2022江苏省曲塘高级中学高一下期中]克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号.根据以上材料,完成下题:如图,半圆O的半径为1,A为直径延长线上的一点,OA=2,B为半圆上一点,以AB为一边向半圆外作等边三角形ABC,则线段OC的最大值为　　　　,此时∠AOC=　　　　.
8.[2022安徽示范高中皖北协作区高三联考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且　　　　.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中,并给出解答.
①2a-b=2ccos B,②sin(C+)=cos C+,③m=(a-c,b-a),n=(a+c,b),m⊥n.
(1)求角C;
(2)若c=,求△ABC周长的取值范围.
参考答案
一、基础巩固
1.A　由余弦定理,得c2=12+22-2×1×2cos 60°=3,所以c=.
2.D　因为a=1,c=2,A=30°,所以由余弦定理可得1=b2+4-4bcos 30°,整理得b2-2b+3=0,解得b=.
3.A　依题意得两式相减得ab=.故选A.
4.AD　cos B=,又cos B≠0,故sin B=.又05.C　依题意设a=5,b=7,c=8.因为a6.D　a2+c2+bc-6b=2accos B a2+c2+bc-6b=2ac× a2+c2+bc-6b=a2+c2-b2 b(b+c-6)=0.因为b>0,所以b+c=6.又a=4,所以a+b+c=10.
7.　解析由题意得a+b=5,ab=2.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c=.
8.解析(1)由题意及余弦定理可知,cos B=,
整理得sin C==cos C,即tan C=1.
又C∈(0,π),所以C=.
(2)设AC边上的高为h,则h=a=,即b=2a.
又c2=a2+b2-2abcos C,故c2=a2+(2a)2-2a·2a·=5a2,解得c=a,
于是cos B==-.
9.A　因为a10.C　由题意,设a=2m,b=3m,c=4m,其中m>0.由余弦定理可得cos C==-<0,所以△ABC为钝角三角形.故选C.
11.D　由余弦定理得a×+b×=b,所以c(a2+b2-c2)+b(b2+c2-a2)=2b2c,整理得(b-c)(b2+c2-a2)=0,当b-c=0时,△ABC是等腰三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC是直角三角形.
二、能力提升
1.B　由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2×12×=13,所以b2+c2=25,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=49,所以b+c=7.
2.C　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,分别为边a,b,c上的高.因为S△ABC=a×b×c×,所以可设a=13k,b=5k,c=11k(k>0).由余弦定理,得cos A==-<0,则A∈(,π),所以△ABC为钝角三角形.
3.ACD　因为a2=b2+c2-bc,所以cos A=.因为04.B　在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC=37,所以BC=.在△ABC中,由余弦定理得cos B=.又2BE=EC,所以BE=.在△ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB×BE×cos B=16+-2×4×,所以AE=.
5.C　因为2c2=(a+b)(b-a)=b2-a2,所以cos C=≥,当且仅当3a2=b2,即b=a时取等号,此时cos C取到最小值,从而角C取到最大值.当b=a时,3a2-a2=2c2,则a=c,所以A=C=,从而B=π-A-C=,△ABC是钝角三角形.
6.(2,2)　解析在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,由余弦定理得4=c2+x2-2cx×,即c2-cx+x2-4=0.因为符合条件的三角形有两个,所以关于c的方程有两个正根,所以解得27.3　60°　解析由题意得OB·AC+OA·BC≥OC·AB.因为△ABC为等边三角形,所以AB=AC=BC,所以OB+OA≥OC.又OB=1,OA=2,所以OC≤3,所以OC的最大值为3,取等号时∠OBC+∠OAC=180°,所以cos∠OBC+cos∠OAC=0.不妨设AB=x,则=0,解得x=,所以cos∠AOC=,所以∠AOC=60°.
8.解析(1)方案一　选条件①.
由题意得2a-b=2c·,
化简得a2+b2-c2=ab,
所以cos C=.
又C∈(0,π),所以C=.
方案二　选条件②.
由sin(C+)=cos C+,
得sin C+cos C=cos C+,
即sin C-cos C=,所以sin(C-)=,
因为C∈(0,π),所以C-∈(-,),
所以C-,所以C=.
方案三　选条件③.
因为m=(a-c,b-a),n=(a+c,b),m⊥n,所以(a-c)·(a+c)+(b-a)·b=0,
化简得a2+b2-c2=ab,所以cos C=.
又C∈(0,π),所以C=.
(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab.
又≥,所以ab≤,当且仅当a=b时等号成立,所以3ab=(a+b)2-3≤(a+b)2,所以0所以a+b+c≤2=3.
又a+b>c,所以a+b+c>2c=2.所以△ABC周长的取值范围为(2,3].