6.4.3.2正弦定理同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第四节　平面向量的应用》同步练习
（课时3 余弦定理、正弦定理（2.正弦定理））
一、基础巩固
知识点1　利用正弦定理解三角形
1.[2022广东潮州松昌中学]在△ABC中,B=,C=,a=5,则此三角形的最大边长为(　　)
A.3 B.5 C. D.
2.[2022河北邯郸一中高一月考]△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin Asin B+bcos2A=a,则=(　　)
A.2 B.2 C. D.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A. B.π C.2π D.4π
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=30°,a=,c=3,则=(　　)
A. 2 B. C. 2 D.
5.[2022福建三明二中高一月考] 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=,b=1,B=30°,则△ABC的面积为(　　)
A. B. C.或 D.或
6.[2022河北承德高一下期末]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos A=asin B,且b=2,c=,则sin A=　　　　,BC边上的高为　　　　.
7.[2022四川内江威远中学校高一下月考]如图,在△ABC中,已知B=30°,D是BC边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3.
(1)求△ADC的面积;
(2)求边AB的长.
知识点2　利用正弦定理判断三角形的形状
8.在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若bcos B-acos A=0,则△ABC一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰非等边三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
10.已知关于x的方程x2-(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和,且a,b分别为△ABC的内角A,B所对的边,则△ABC的形状为　　　　.
二、能力提升
1.[2022浙江宁波高一下期末]已知△ABC中,AB=2,且sin A+sin B= C,则△ABC的周长为(　　)
A.4+2 B.2+2
C.4 D.4
2.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,C=,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的取值范围是(　　)
A.(,1) B.(,2)
C.(1,2) D.(1,)
3.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2C,则的取值范围是(　　)
A.(0,2) B.(,2)
C.(,) D.(,2)
4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为(　　)
A.8　　　 B.9　　　 C.10　　　 D.7
5.(多选)[2022安徽利辛一中高一段考]已知△ABC中,sin B=sin Ccos A,tan A=3,点M在线段BC上,AM=2,∠BAM=∠CAM,则(　　)
A.△ABC是直角三角形
B.sin A=
C.BM=6CM
D.△ABM的面积为3
6.(多选)[2022江苏省南菁高级中学高一段考]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=4,C=,则下列选项正确的是(　　)
A.△ABC外接圆的半径为
B.△ABC面积的最大值为4
C.的最大值为2
D.a2+b2的最小值为32
7.[2022江苏南京金陵中学高一下期中]如图,在平面四边形ABCD中,∠CAD=∠BAC=,∠DCB=,BD=,BC=2.
(1)求sin∠CBD;
(2)求AC的长.
8.[2022福建泉州五中高一下期中]在①,②acos C+ccos A=2bcos B,③2S△ABC=·这三个条件中任选一个,补充在下列的问题中,并解决问题.
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知　　　　.
(1)求B;
(2)在(1)的条件下,若△ABC的外接圆半径为,求a+c的最大值.
参考答案
一、基础巩固
1.B　因为B=,C=,所以A=,则B对的边最大.由,可得b==5.
2.D　由asin Asin B+bcos2A=a及正弦定理,得sin Asin A sin B+sin Bcos2A=sin A,所以sin B(sin2A+cos2A)=sin A,即sin B=sin A,所以.
3.B　在△ABC中,A=75°,B=45°,所以C=180°-A-B=60°.设△ABC的外接圆的半径为R,则由正弦定理,可得2R==2,解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.
4.C　在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=3+9-9=3,所以b=,由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,则=2R==2,故选C.
5.D　由正弦定理得sin C=.因为c>b,所以30°6.　　解析由正弦定理得2sin Bcos A=sin Asin B,得tan A=2,所以A为锐角,所以sin A=,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=5,得a=.设BC边上的高为h,则S△ABC=bcsin A=ah,得h=.
7.解析(1)在△ADC中,由余弦定理得
cos∠ADC==-.
因为∠ADC为三角形的内角,所以∠ADC=120°,
所以sin∠ADC=,所以S△ADC=AD·DC·sin∠ADC=×5×3×.
(2)在△ABD中,∠ADB=60°,
由正弦定理得,所以AB==5.
8.D　方法一　由正弦定理得sin Bcos B-sin Acos A=0,即sin 2B-sin 2A=0,即sin 2B=sin 2A,故2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.故△ABC是等腰或直角三角形.
方法二　由bcos B-acos A=0,结合余弦定理可得b×=a×,
所以b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2),
所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),
所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2.故△ABC是等腰或直角三角形.
9.C　因为,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cos A=.因为A∈(0,π),所以A=,所以△ABC是等边三角形.
10.等腰三角形　解析设方程的两根分别为x1,x2,由根与系数的关系,得所以bcos A=acos B.由正弦定理,得sin Bcos A=sin Acos B,所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.因为A,B为△ABC的内角,所以0二、能力提升
1.B　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为sin A+sin B= sin C,由正弦定理可得a+b=c,又AB=2,即c=2,所以a+b=2,所以△ABC的周长为a+b+c=2+2.
2.B　在△ABC中,由,得,所以sin A=x.由题意,得当A∈(,)∪(,)时,满足条件的△ABC有两个,所以x<1,解得3.C　由正弦定理,得=2cos C.因为A+B+C=π,A=2C(0<2C<),所以B+3C=π,即B=π-3C.又三角形ABC为锐角三角形,所以0<π-3C<,解得4.B　由题意得acsin 120°=asin 60°+csin 60°,即ac=a+c,得=1,得4a+c=(4a+c)()=+5≥2+5=4+5=9,当且仅当,即c=2a=3时,取等号.
5.ABD
6.ABC
7.解析(1)在△DCB中,由余弦定理得cos∠BCD=,即-,所以CD=.
由正弦定理可得,
即sin∠CBD=.
(2)在△ACD中,由正弦定理得,
所以sin∠ADC=.
在△ABC中,由正弦定理得,
所以sin∠ABC=AC.
因为∠CAD=∠BAC=,∠DCB=,
所以∠ADC+∠ABC=,
所以sin2∠ADC+sin2∠ABC=1,
所以=1,所以AC=.
8.解析(1)方案一　选择条件①.
由正弦定理可得,即a2+c2-b2=ac.
由余弦定理可得cos B=,
因为B∈(0,π),所以B=.
方案二　选择条件②.
由正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B.因为sin B>0,所以cos B=.因为B∈(0,π),所以B=.
方案三　选择条件③.
因为2S△ABC=·,
所以acsin B=accos B,即tan B=.
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)因为△ABC的外接圆半径R=,所以b=2Rsin B=2×sin =3.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=9,
所以a2+c2-2accos =9,化简得a2+c2-ac=9, 配方可得(a+c)2=9+3ac.
因为ac≤[(a+c)]2,所以(a+c)2≤9+(a+c)2,解得(a+c)2≤36.
因此a+c≤6,当且仅当a=c时等号成立.
所以a+c的最大值为6.