6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第四节　平面向量的应用》同步练习
（课时1　平面几何中的向量方法 课时2 向量在物理中的应用举例）
一、基础巩固
知识点1　向量在平面几何中的应用
1.若平面四边形ABCD满足=0,在上的投影向量的模是0,则该四边形一定是(　　)
A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2.[2022河南商丘高一下期末]已知D为△ABC所在平面内一点,直线AD交BC于点E,且6=2+3,则=(　　)
A. B. C. D.
3.在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为　　　　.
4.[2022安徽池州一中高一下月考]如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,BC=2BM,AC=3AN,线段AM,BN相交于点P,则∠MPN的余弦值为　　　　.
5.如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若=a,=b.求证:A,G,C三点共线.
知识点2　向量在物理中的应用
6.(多选)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船在匀速靠岸的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.小船受到的绳子的拉力不断增大
B.小船受到的绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
7.[2022陕西渭南韩城高一下期末]两个力F1=(1,1),F2=(4,-5)作用于同一个质点,使该点从点A(20,15)移动到点B(7,0),则这两个力的合力对质点所做的功为(　　)
A.10 B.5 C.-5 D.-125
8.在水流速度为10 km/h的自西向东的河中,如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的方向和大小为(　　)
A.北偏西30°,20 km/h
B.北偏西60°,10 km/h
C.北偏东30°,10 km/h
D.北偏东60°,20 km/h
9.如图所示,把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力G,沿着斜面向上的摩擦力F1,垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|=80 N,则G的大小为　　　,F2的大小为　　　.
二、能力提升
1.[2022陕西渭南华阴高一下期末]如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F1,F2,且F1,F2与水平方向的夹角均为45°,|F1|=|F2|=10 N,则物体的重力大小为(　　)
A.20 N B.10 N
C.10 N D.5 N
2.[2022江苏无锡一中高一下期中]在△ABC中,A=,AB=1,G为△ABC的重心,若··,则△ABC外接圆的半径为(　　)
A. B.1 C.2 D.2
3.[2022江西上饶重点中学协作体高一下期末联考]17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题:怎样求一点,使它到一个三角形的每个顶点的距离之和最小 现已证明:在△ABC中,若三个内角均小于120°,当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,点P到三角形三个顶点的距离之和最小,点P被称为△ABC的费马点.根据以上性质,已知a为平面内任意一个向量,b和c是平面内两个互相垂直的向量,|c|=2,|b|=1,则|a-b|+|a+b|+|a-c|的最小值是(　　)
A.2- B.2+ C.-1 D.+1
4.[2022河南安阳高一下段考]已知O是△ABC内的一点,若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为S1,S2,S3,则S1·+S2·+S3·=0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.已知O是△ABC的垂心,且+2+3=0,则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=(　　)
A.1∶2∶3 B.1∶2∶4
C.2∶3∶4 D.2∶3∶6
5.已知向量a=(-,),=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为　　　　.
6.[2022山东菏泽高一下期末]如图,一条河两岸平行,河的宽度AC= km,一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点,船在河内行驶的路程AB=2 km,行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|,水流的速度v2的大小为|v2|=2 km/h.求:
(1)|v1|;
(2)船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值.
7.[2022辽宁沈阳五校协作体高一下期中]如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求角B.
(2)已知点D是AB上一点,满足=λ,点E是边CB上一点,满足=λ,是否存在非零实数λ,使得⊥ 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.C　因为=0,所以,所以平面四边形ABCD为平行四边形.又,在上的投影向量的模是0,则·=0,即⊥,所以平行四边形ABCD为菱形.故选C.
2.C　如图,AD交BC于点E,.设=x.由B,E,C三点共线,可得=1,解得x=,所以,则()=(),所以2=3.设S△ECD=2y,则S△BED=3y.又,则=5,所以S△ABD=5S△BED=15y,所以.
3. 　解析设=a,=b,则=a-b,=a+b.又||=|a-b|==2,所以5-2a·b=4,所以a·b=.又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=5+2a·b=6,所以||=,即AC=.
4.　解析由题意得,AB=2,AN=2,∠BAC=60°,则BN=2.因为BC=2BM,所以点M为BC的中点,所以(),则||=.因为,所以·=()·()=|2-|2-|||cos 60°=2,所以cos∠MPN=cos<,>=.
5.证明b-a,
a-b.
因为D,G,F三点共线,则=λ,λ∈R,
所以+λλa+(1-λ)b.
因为B,G,E三点共线,则=μ,μ∈R,所以+μ=(1-μ)a+μb,
则解得λ=μ=,
所以(a+b)=,
所以A,G,C三点共线.
6.AC　设水的阻力为f,小船受到的绳的拉力为F,F与水平方向的夹角为θ(0<θ<),则|F|cos θ=|f|,所以|F|=.在小船靠岸的过程中,θ增大,cos θ减小,所以|F|增大,A正确;因为|F|sin θ增大,所以船的浮力变小,C正确.
7.C　两个力F1=(1,1),F2=(4,-5)作用于同一个质点,其合力大小为F=F1+F2=(1,1)+(4,-5)=(5,-4),从点A(20,15)移动到点B(7,0),其位移=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),则这两个力的合力对质点所做的功为W=F·=5×(-13)+(-4)×(-15)=-5.
8.A　如图,设船从点O出发,沿方向行驶才能垂直达到北岸.令||=10,||=10,则||==20,所以cos∠BOC=.因为∠BOC为锐角,所以∠BOC=30°,故船以20 km/h的速度,以北偏西30°的方向行驶,才能垂直到达北岸.故选A.
9.160 N　80 N　解析如图,由向量分解的平行四边形法则,知=sin 30°,=cos 30°,即,,解得|G|=160 N,|F2|=80 N.
二、能力提升
1.A　根据题意可得物体的重力大小等于F1与F2合力的大小.因为F1,F2与水平方向的夹角均为45°,所以F1,F2的夹角为90°,所以|F1+F2|==20,所以物体的重力大小为20 N.
2.B　如图,延长AG交BC于D,因为G是△ABC的重心,所以AD为△ABC的中线.·· ··=0 ·()=0 ·=0,即AD⊥BC,故△ABC是等腰三角形,且AB=AC,则△ABC外接圆圆心在AD上,设为O,则OA=OC.因为∠OAC=,所以△OAC是等边三角形,所以OA=OC=AC=AB=1,即△ABC外接圆的半径为1.
3.B　设a=(x,y),b=(1,0),c=(0,2),则|a-b|+|a+b|+|a-c|=,即为点P(x,y)到A(1,0),B(-1,0)和点C(0,2)三个点的距离之和.△ABC为等腰三角形,如图,由费马点的性质,可知距离之和最小时,∠APB=120°,则∠APO=60°.又OA=1,所以OP=,所以点P的坐标为(0,),此时距离之和最小,为+(2-)=2+.
4.A　如图,O是△ABC的垂心,延长CO,BO,AO分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,则CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC,因此.同理得,.于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=S1∶S2∶S3.因为+2+3=0,所以=-.由“奔驰定理”,得S1·+S2·+S3·=0,则=-··.又与不共线,所以,,即S1∶S2∶S3=1∶2∶3,所以tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB=1∶2∶3.
5. 1　解析由题意,得|a|=1.又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,所以⊥,||=||.由⊥,得(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|.由||=||,得|a-b|=|a+b|,所以a·b=0,所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,则||=||=,所以=1.
6.解析(1)因为船在河内行驶的路程AB=2 km,行驶时间为0.2 h,所以船沿AB方向的速度为|v|==10 km/h.
由AC= km,AB=2 km,根据勾股定理可得BC==1(km),所以∠BAC=30°,即=60°.由v=v1+v2,得v1=v-v2,所以|v1|==2(km/h).
(2)因为v=v1+v2,所以v2=(v1+v2)2,即100=(2)2+2×2×2cos+22,解得cos=,即船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值为.
7.解析(1)在△ABC中,,·=2×1×cos 60°=1,
则=()2=-2·=22+12-2×1=3,
显然有||2+||2=4=||2,于是得∠BAC=90°,B=90°-∠ACB=30°,所以B=30°.
(2)假设存在非零实数λ,使得⊥.
由=λ,得=λ(),则+λ()=λ+(1-λ).
又=λ,则=()+λ(-)=(1-λ).
于是得·=λ(1-λ)-λ·+(1-λ)2·-(1-λ)=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)=-3λ2+2λ=0,而λ≠0,解得λ=,
所以存在非零实数λ=,使得⊥.