2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 40.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-12 06:08:29 | ||
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文档简介
《第一节 直线的倾斜角与斜率》同步练习
（课时2 两条直线平行和垂直的判定）
一、基础巩固
知识点1 两直线平行
1.[2022河北衡水中学高二期中]直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则点P的坐标为( )
A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3)
2.下列说法中正确的有( )
①若两条直线斜率相等,则两直线平行;
②若l1∥l2,则=;
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;
④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.[2022安徽亳州二中高二上期中]已知直线l1过两点(-1,2),(1,4),直线l2过两点(2,1),(x,5),且l1∥l2,则x=( )
A.2 B.-2 C.4 D.6
4.下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有 .(填序号)
①l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
②l1的斜率为2,l2经过点R(1,1),H(2,2);
③l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2);
④l1经过点E(2,6),F(2,3),l2经过点P(-3,-3),Q(-3,-6).
知识点2 两直线垂直
5.已知直线l1的倾斜角为30°,且直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )
A.- B. C.- D.
6.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角为( )
A.135° B.45° C.30° D.60°
7.[2022湖南长沙一中高二期中]已知点A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,则m= .
8.[2022北师大实验中学高一期中]已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求实数m的值.
知识点3 两直线垂直与平行的应用
9.已知直线l的倾斜角为10°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别为( )
A.10°,10° B.80°,80°
C.10°,100° D.100°,10°
10.[2022北京人大附中高二期中]已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,顺次连接A,B,C,D,A,试判断四边形ABCD的形状.
二、能力提升
1.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 023 C.4 043 D.4 046
2.过点A(0,),B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k=( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
3.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b= ;若l1∥l2,则b= .
4.[2022河北石家庄十二中高二上期中]直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则实数m= .
5.[2022福建龙岩一中高二期中]已知点M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标.
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
6.已知A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)若A,B,C,D可以构成平行四边形,求点D的坐标;
(2)在(1)的条件下,判断A,B,C,D构成的平行四边形是否为菱形.
7.在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状.
参考答案
一、基础巩固
1.D 设P(0,y),因为l1∥l2,所以=2,所以y=3,即P(0,3).
2.A 若两条直线斜率相等,则两直线平行或重合,①错误;若l1∥l2,则=或两直线的斜率都不存在,②错误;易知③正确;若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行或重合,④错误.
3.D 由题意,可得==1,=.因为l1∥l2,所以=1,解得x=6.
4.①③④ 解析 ①因为==,==,所以=,所以l1∥l2.②因为==1≠=2,所以l1不平行于l2.③因为=tan 60°=,==,所以=,所以l1∥l2.④l1,l2的斜率均不存在,所以l1∥l2.
5.C 由题意可得直线l1的斜率为.由直线l1⊥l2,得直线l2的斜率为.
6.B 易知直线PQ的斜率kPQ==-1.由题意,可知直线PQ与直线l垂直,所以直线l的斜率为1,故直线l的倾斜角为45°.
7. 1或-1 解析 因为A,B两点纵坐标不相等,所以直线AB与x轴不平行.又AB⊥CD,所以直线CD与x轴不垂直,
所以-m≠3,m≠-3.
①当直线AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,此时C,D两点的纵坐标均为-1,所以CD∥x轴,此时AB⊥CD,
满足题意.
②当直线AB与x轴不垂直时,kAB==,kCD==.因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,即·=-1,解得m=1.综上,m的值为1或-1.
8. 解析 若∠A为直角,则AC⊥AB,所以kAC·kAB=-1,即·=-1,解得m=-7.
若∠B为直角,则AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即·=-1,解得m=3;
若∠C为直角,则AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,即·=-1,解得m=±2.
综上所述,实数m的值为-7或3或±2.
9.C 因为l的倾斜角为10°,l1∥l,所以直线l1的倾斜角为10° .由l2⊥l,得直线l2的倾斜角为10°+90°=100°.
10. 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,
因为kAB==,kCD==,kAD==-3,kBC==,所以kAB=kCD,
由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD.
由kAD≠kBC,知AD与BC不平行.
又kAB·kAD=×(-3)=-1,所以AB⊥AD,
故四边形ABCD为直角梯形.
二、能力提升
1.C 设A(2,0),B(-2,4),则点A,B所在直线的斜率为kAB==-1.由题意,知过点(2 021,2 022),(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043.
2.B 若l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则l1⊥l2.易知直线l1的斜率k1==,直线l2的斜率k2==k,由k1k2=-1,得k=3.
3. 2 解析 若l1⊥l2,则k1·k2=-1,即=-1,所以b=2;若l1∥l2,则k1=k2,所以Δ=(-3)2-4×2(-b)=0,所以b=.
4. 4+ 解析 由题意,得直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,所以直线l1的斜率k1=tan 60°=.由l1∥l2,知直线l2的斜率k2=k1=,所以直线AB的斜率存在,且kAB==,即=,解得m=4+.
5. 解析 (1)设Q(x,y),由题意知PQ,MQ的斜率存在,kMN=3,kPN=-2,
由PQ⊥MN,得kMN·kPQ=-1,即 ×3=-1, ①
由PN∥MQ,得kPN=kMQ,即=-2, ②
由①②,得x=0,y=1,所以Q(0,1).
(2)设Q(x,0),
因为∠NQP=∠NPQ,所以kNQ=-kPN,=2,解得x=1,所以Q(1,0),
又M(1,-1),所以MQ⊥x轴,
故直线MQ的倾斜角为90°.
6.解析 (1)由题意得kAB==,kAC==1,kBC==-2.设D(a,b).
若四边形ABCD是平行四边形,
则kCD=kAB,kAD=kBC,
即,解得,即D(-1,6).
若四边形ABDC是平行四边形,
则kCD=kAB,kBD=kAC,
即,解得,即D(7,2).
若四边形ACBD是平行四边形,
则kBD=kAC,kAD=kBC,
即,解得,即D(3,-2).
综上,点D的坐标为(-1,6)或(7,2)或(3,-2).
(2)若D的坐标为(-1,6),
因为kAC=1,kBD==-1,
所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,
所以平行四边形ABCD为菱形.
若D的坐标为(7,2),
因为kBC=-2,kAD==0,
所以kBC·kAD=0≠-1,所以平行四边形ABDC不是菱形.
若D的坐标为(3,-2),因为kAB=,直线CD的斜率不存在,所以平行四边形ACBD不是菱形.
7.解析 由斜率公式,得kOP==t,
kQR===t,
kOR==,
kPQ===,
kOQ=,kPR=,
所以kOP=kQR,kOR=kPQ,
所以OP∥QR,OR∥PQ,
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR.
又kOQ·kPR≠-1,所以OQ与PR不垂直,
所以四边形OPQR为矩形.
（课时2 两条直线平行和垂直的判定）
一、基础巩固
知识点1 两直线平行
1.[2022河北衡水中学高二期中]直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则点P的坐标为( )
A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3)
2.下列说法中正确的有( )
①若两条直线斜率相等,则两直线平行;
②若l1∥l2,则=;
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;
④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.[2022安徽亳州二中高二上期中]已知直线l1过两点(-1,2),(1,4),直线l2过两点(2,1),(x,5),且l1∥l2,则x=( )
A.2 B.-2 C.4 D.6
4.下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有 .(填序号)
①l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
②l1的斜率为2,l2经过点R(1,1),H(2,2);
③l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2);
④l1经过点E(2,6),F(2,3),l2经过点P(-3,-3),Q(-3,-6).
知识点2 两直线垂直
5.已知直线l1的倾斜角为30°,且直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )
A.- B. C.- D.
6.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角为( )
A.135° B.45° C.30° D.60°
7.[2022湖南长沙一中高二期中]已知点A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,则m= .
8.[2022北师大实验中学高一期中]已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求实数m的值.
知识点3 两直线垂直与平行的应用
9.已知直线l的倾斜角为10°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别为( )
A.10°,10° B.80°,80°
C.10°,100° D.100°,10°
10.[2022北京人大附中高二期中]已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,顺次连接A,B,C,D,A,试判断四边形ABCD的形状.
二、能力提升
1.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 023 C.4 043 D.4 046
2.过点A(0,),B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k=( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
3.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b= ;若l1∥l2,则b= .
4.[2022河北石家庄十二中高二上期中]直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则实数m= .
5.[2022福建龙岩一中高二期中]已知点M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标.
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
6.已知A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)若A,B,C,D可以构成平行四边形,求点D的坐标;
(2)在(1)的条件下,判断A,B,C,D构成的平行四边形是否为菱形.
7.在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状.
参考答案
一、基础巩固
1.D 设P(0,y),因为l1∥l2,所以=2,所以y=3,即P(0,3).
2.A 若两条直线斜率相等,则两直线平行或重合,①错误;若l1∥l2,则=或两直线的斜率都不存在,②错误;易知③正确;若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行或重合,④错误.
3.D 由题意,可得==1,=.因为l1∥l2,所以=1,解得x=6.
4.①③④ 解析 ①因为==,==,所以=,所以l1∥l2.②因为==1≠=2,所以l1不平行于l2.③因为=tan 60°=,==,所以=,所以l1∥l2.④l1,l2的斜率均不存在,所以l1∥l2.
5.C 由题意可得直线l1的斜率为.由直线l1⊥l2,得直线l2的斜率为.
6.B 易知直线PQ的斜率kPQ==-1.由题意,可知直线PQ与直线l垂直,所以直线l的斜率为1,故直线l的倾斜角为45°.
7. 1或-1 解析 因为A,B两点纵坐标不相等,所以直线AB与x轴不平行.又AB⊥CD,所以直线CD与x轴不垂直,
所以-m≠3,m≠-3.
①当直线AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,此时C,D两点的纵坐标均为-1,所以CD∥x轴,此时AB⊥CD,
满足题意.
②当直线AB与x轴不垂直时,kAB==,kCD==.因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,即·=-1,解得m=1.综上,m的值为1或-1.
8. 解析 若∠A为直角,则AC⊥AB,所以kAC·kAB=-1,即·=-1,解得m=-7.
若∠B为直角,则AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即·=-1,解得m=3;
若∠C为直角,则AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,即·=-1,解得m=±2.
综上所述,实数m的值为-7或3或±2.
9.C 因为l的倾斜角为10°,l1∥l,所以直线l1的倾斜角为10° .由l2⊥l,得直线l2的倾斜角为10°+90°=100°.
10. 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,
因为kAB==,kCD==,kAD==-3,kBC==,所以kAB=kCD,
由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD.
由kAD≠kBC,知AD与BC不平行.
又kAB·kAD=×(-3)=-1,所以AB⊥AD,
故四边形ABCD为直角梯形.
二、能力提升
1.C 设A(2,0),B(-2,4),则点A,B所在直线的斜率为kAB==-1.由题意,知过点(2 021,2 022),(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043.
2.B 若l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则l1⊥l2.易知直线l1的斜率k1==,直线l2的斜率k2==k,由k1k2=-1,得k=3.
3. 2 解析 若l1⊥l2,则k1·k2=-1,即=-1,所以b=2;若l1∥l2,则k1=k2,所以Δ=(-3)2-4×2(-b)=0,所以b=.
4. 4+ 解析 由题意,得直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,所以直线l1的斜率k1=tan 60°=.由l1∥l2,知直线l2的斜率k2=k1=,所以直线AB的斜率存在,且kAB==,即=,解得m=4+.
5. 解析 (1)设Q(x,y),由题意知PQ,MQ的斜率存在,kMN=3,kPN=-2,
由PQ⊥MN,得kMN·kPQ=-1,即 ×3=-1, ①
由PN∥MQ,得kPN=kMQ,即=-2, ②
由①②,得x=0,y=1,所以Q(0,1).
(2)设Q(x,0),
因为∠NQP=∠NPQ,所以kNQ=-kPN,=2,解得x=1,所以Q(1,0),
又M(1,-1),所以MQ⊥x轴,
故直线MQ的倾斜角为90°.
6.解析 (1)由题意得kAB==,kAC==1,kBC==-2.设D(a,b).
若四边形ABCD是平行四边形,
则kCD=kAB,kAD=kBC,
即,解得,即D(-1,6).
若四边形ABDC是平行四边形,
则kCD=kAB,kBD=kAC,
即,解得,即D(7,2).
若四边形ACBD是平行四边形,
则kBD=kAC,kAD=kBC,
即,解得,即D(3,-2).
综上,点D的坐标为(-1,6)或(7,2)或(3,-2).
(2)若D的坐标为(-1,6),
因为kAC=1,kBD==-1,
所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,
所以平行四边形ABCD为菱形.
若D的坐标为(7,2),
因为kBC=-2,kAD==0,
所以kBC·kAD=0≠-1,所以平行四边形ABDC不是菱形.
若D的坐标为(3,-2),因为kAB=,直线CD的斜率不存在,所以平行四边形ACBD不是菱形.
7.解析 由斜率公式,得kOP==t,
kQR===t,
kOR==,
kPQ===,
kOQ=,kPR=,
所以kOP=kQR,kOR=kPQ,
所以OP∥QR,OR∥PQ,
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR.
又kOQ·kPR≠-1,所以OQ与PR不垂直,
所以四边形OPQR为矩形.