2.2.1直线的点斜式方程 同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

《第二节　直线的方程》同步练习
（课时1　直线的点斜式方程）
一、基础巩固
知识点1 直线的点斜式方程
1.[2022重庆三十七中高二上期中]方程y=k(x-2)表示(　　)
A.过点(2,0)的所有直线
B.过点(2,0)且不垂直于y轴的所有直线
C.过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.过点(2,0)且除去x轴的所有直线
2.[2022江苏句容高二期中]经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为(　　)
A.y+3=x B.y-2=-(x+3)
C.y+3=x D.y-2=-(x+3)
3.已知等边三角形ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在直线的方程是(　　)
A.y=-x B.y=-(x-4)
C.y=(x-4) D.y=(x+4)
4.[2022湖北沙市中学高二期中]直线l经过原点O,且它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的2倍,则直线l的方程是(　　)
A.y=x B.y=x
C.y=x D.y=-x
5.[2022河南郑州外国语中学高二期中]已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:
(1)AB边所在直线的方程;
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
知识点2 直线的斜截式方程
6.过点P(1,12)且倾斜角为45°的直线在y轴上的截距是(　　)
A.-10 B.10 C.-11 D.11
7.[2022辽宁省实验中学高二上期中]直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内可能是(　　)
A　　　 　 B　　　 　 C　　　 　 D
8.(多选)[2022江苏苏州中学高二上期中]直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的值可能是(　　)
A.-π B.-1 C. D.e
9.[2022陕西西交大附中高二上期中]已知直线l与直线y+3=x的斜率相等,直线l与x轴的交点为(a,0),且a比直线l在y轴上的截距大1,则直线l的斜截式方程为　　　　　　.
10.[2022广东汕头市潮阳实验学校高一期中]已知直线l的斜率为,且与两坐标轴围成面积为3的三角形,则l的斜截式方程为　　　　　.
二、能力提升
1.已知直线l1:y=-x+与直线l2:y=x+垂直,垂足为H(1,p),则过点H且斜率为的直线方程为(　　)
A.y=-4x+2 B.y=4x-2
C.y=-2x+2 D.y=-2x-2
2.(多选)[2022广东深圳宝安第一外国语学校高二上月考]已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:y=2x+3以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则(　　)
A.直线l与直线l1的斜率互为相反数
B.直线l与直线l1的倾斜角互补
C.直线l在x轴上的截距为-1
D.这样的直线l有两条
3.[2022天津实验中学滨海学校高二上期中]
(1)当a= 　　　　时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行;
(2)当a=　　　　时,直线l3:y=(2a-1)x+3与直线l4:y=4x-3垂直.
4.已知直线l经过点(2,1),且和直线y=x-的夹角为30°,则直线l的方程是　　　　　　.
5.已知直线l:y=ax+.
(1)求证:无论a为何值,直线l必经过第一象限;
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
6.在△ABC中,A(2,5),B(1,3).
(1)求AB边的垂直平分线的方程;
(2)若∠BAC的平分线所在直线的方程为y=x+3,求AC边所在直线的方程.
7.已知过原点O的直线l:y=4x和点P(6,4),动点Q(m,n)(m>0)在直线l上,且直线QP与x轴的正半轴交于点R.
(1)若△QOR为直角三角形,求点Q的坐标;
(2)当△QOR的面积取得最小值时,求点Q的坐标.
参考答案
一、基础巩固
1.C　y=k(x-2)为直线的点斜式方程,表示斜率存在的直线,又直线过点(2,0),故选C.
2.D　因为直线的斜率为k==,所以直线的方程为y-2=(x+3),故选D.
3.C　由题意,知直线BC的倾斜角为60°,故直线BC的斜率为,由点斜式得所求直线的方程为y=(x-4).
4.C　直线y=x,即直线y=x,其倾斜角为,所以直线l的倾斜角为,即kl=,又直线l经过原点O,所以直线l的方程为y=x.
5. 解析 (1)因为A(1,1),B(5,1),所以AB∥x轴,
所以AB边所在直线的方程为y=1.
(2)因为∠A=60°,所以kAC=tan 60°=,
所以直线AC的方程为y-1=(x-1).
因为∠B=45°,所以kBC=tan 135°=-1,
所以直线BC的方程为y-1=-(x-5).
6.D　因为tan 45° =1,所以直线的方程为y-12=x-1,即y=x+11,所以直线在y轴上的截距为11.故选D.
7.D
8.ACD　方法一　当直线l的斜率k存在时,直线l的方程为y=k(x-1)+2,k≠0,令y=0,得x=+1,所以-3<+1<3,解得k<-1或k>.故选ACD.
方法二　当直线l的斜率k存在时,设B(3,0),C(-3,0),则kAC=,kAB=-1,由题意得k>kAC或k或k<-1.故选ACD.
9. y=x　解析 由题意知,直线l的斜率为,故设直线l的方程为y=x+b,令y=0,得a=b,所以b-b=1,得b=,所以直线l的斜截式方程为y=x.
10. y=x+1或y=x-1　解析 设直线l的方程为y=x+b,令x=0,得y=b,令y=0,得x=-6b,所以|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,所以b=±1.故所求直线方程为y=x+1或y=x-1.
二、能力提升
1.A　因为l1⊥l2,所以=-1,所以m=10,所以直线l1的方程为y=x+.又点H(1,p)在l1上,所以p=-2,即H(1,-2).又点H在l2上,所以-2=×1+,所以n=-12,所以所求直线的斜率为=-4,其方程为y+2=-4(x-1),即y=-4x+2.
2.AB
3.(1)-1;(2)　解析 (1)由题意可知,=-1,=a2-2,因为l1∥l2,所以
解得a=-1.
(2)由题意可知,=2a-1,=4,因为l1⊥l2,所以4(2a-1)=-1,解得a=.
4.y=1或y=x+1-2　解析 因为直线y=x的倾斜角为30°,直线l与直线y=x的夹角为30°,所以直线l的倾斜角为0°或60°.当直线l的倾斜角为60°时,直线l的方程为y-1=(x-2),即y=x+1-2;当直线l的倾斜角为0°时,直线l的方程为y=1.
5. 解析 (1)因为y=ax+=a(x)+,
所以直线l过定点(,).因为点(,)位于第一象限,所以直线l必经过第一象限.
(2)设A(,),则直线OA的斜率kOA=3.
若直线l不经过第二象限,则直线l的斜率kl≥3,即a≥3,所以实数a的取值范围为[3,+∞).
6. 解析 (1)设AB边的垂直平分线为l.
由题意知kAB==2,所以kl=.
又线段AB的中点为(,4),
所以l的方程为y-4=(x),
即y=x+.
(2)设B关于直线y=x+3的对称点为M(a,b),
BM垂直于直线y=x+3,有kBM×1=-1
则,解得,所以M(0,4).
由题意知点A,M都在直线AC上,
所以直线AC的斜率为=,所以直线AC的方程为y-4=(x-0),即y=x+4.
7. 解析 (1)因为点Q在直线y=4x上,所以n=4m.
①当∠QRO=90°时,直线QR的方程为x=6,
所以点Q的坐标为(6,24);
②当∠RQO=90°时,由kl·kQR=-1,得kQR=.
由kQR=kQP===,解得m=,
所以点Q的坐标为(,).
综上,点Q的坐标为(6,24)或(,).
(2)由题意知n>4,所以m>1,
所以kQR=kQP=,
所以直线QR的方程为y-4=(x-6),
令y=0,得xR=,所以S△QOR=xR·yQ=··4m=.
因为==m+1+=m-1++2≥2+2=4(当且仅当m=2时取等号),
所以当S△QOR取得最小值40时,m=2,n=8,
所以点Q的坐标为(2,8).