6.3.2 6.3.3 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第三节　平面向量基本定理及坐标表示》同步练习
（课时2　平面向量的正交分解及坐标表示 课题3 平面向量加、减运算的坐标表示 课题4 平面向量数乘运算的坐标表示）
一、基础巩固
知识点1　平面向量的正交分解及坐标表示
1.在平面直角坐标系中,如果用i,j分别表示x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为(　　)
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
2.(多选)已知坐标平面内的任一向量a,下列说法错误的是(　　)
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2
C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O
D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)
知识点2　平面向量加、减运算的坐标表示
3.若向量=(2,0),=(1,1),=(2,1),则=(　　)
A.(-1,-2) B.(1,0) C.(1,2) D.(2,1)
4.已知M(3,-2),N(5,-1),若,则点P的坐标为(　　)
A.(3,2) B.(3,-1) C.(7,0) D.(1,0)
5.[2022河南南阳一中高一下月考]已知点A(-1,4),B(2,6),C(3,0),则满足=0的G的坐标为　　　　.
知识点3　平面向量数乘运算的坐标表示
6.在 ABCD中,若=(3,7),=(-2,3),对角线交点为O,则=(　　)
A.(-,5) B.(-,-5)
C.(,-5) D.(,5)
7.[2022河南平顶山高一下期末]已知向量a=(2,-1),b=(1,6),c=(7,3),则c可用a与b表示为(　　)
A.3a+b B.a+3b
C.3a+2b D.3a-b
8.[2022浙江丽水高二下期末]已知向量a=(3,0),b=(1,1),且(a-2b)∥(2a+kb),则实数k的值是(　　)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
9.[2022天津一中高一月考]已知A(2,-3),=(3,-2),则线段AB的中点坐标为　　　　　.
10.已知三点A(-3,0),B(9,-3),C(3,6),且,,求证:∥.
二、能力提升
1.[2022湖北新高考联考协作体高一下月考]在正方形ABCD中,M是BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ的值为(　　)
A. B. C. D.2
2.已知集合M={a|a=(1,2)+λ1(3,4),λ1∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ2(4,5),λ2∈R},则M∩N=(　　)
A.{(1,1)}
B.{(1,1),(-2,-2)}
C.{(-2,-2)}
D.
3.(多选)[2022辽宁丹东高一上期末]已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么(　　)
A.=(λ-1,1-μ)
B.若∥,则λ=2, μ=
C.若A是BD的中点,则B,C两点重合
D.若点B,C,D共线,则μ=1
4.如图,A,B,C是圆O上三个不同的点,且∠AOB=120°,∠AOC=30°,则=(　　)
A. B.
C. D.
5.设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为　　　　.
6.[2022河北沧衡八校联盟高一下期中]已知e1,e2为不共线的单位向量,a=2e1-e2,b=e1+λe2,且a与b共线.
(1)求λ的值.
(2)在①a=(,0),②b=(,0)这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上并解答.
若　　　　,求e1和e2的坐标.
7.已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标;
(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.
参考答案
一、基础巩固
1.C　记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,所以=2i-j.
2.BCD　由平面向量基本定理,可知A说法正确;若a=(1,0),则(1,0)≠(1,3),但1=1,故B说法错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C说法错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D说法错误.故选BCD.
3.C　因为=(3,2),所以=(3,2)-(2,0)=(1,2).故选C.
4.C　设点P的坐标为(x,y),则=(x-5,y+1).=(5-3,-1+2)=(2,1).因为,即(x-5,y+1)=(2,1),所以解得所以点P的坐标为(7,0),故选C.
5.(,)　解析设G的坐标为(x,y).因为A(-1,4),B(2,6),C(3,0),=0,所以(-1-x,4-y)+(2-x,6-y)+(3-x,-y)=(0,0),可得x=,y=,所以G的坐标为(,).
6.B　=-=-()=-(1,10)=(-,-5).
7.A　设c=xa+yb,x,y∈R,则(7,3)=(2x+y,-x+6y),即解得所以c=3a+b.
8.D　由题可知,a-2b=(3,0)-2×(1,1)=(1,-2),2a+kb=(6+k,k).因为(a-2b)∥(2a+kb),所以k=(-2)×(6+k) 3k=-12 k=-4.
9.(,-4)　解析设B(m,n).因为A(2,-3),=(3,-2),所以=(3,-2)=(m-2,n+3),即解得所以B(5,-5).又,=-4,所以线段AB的中点坐标为(,-4).
10.证明因为=(3,6)-(-3,0)=(6,6),
所以=(2,2).
记坐标原点为O,则=(-3,0)+(2,2)=(-1,2).
因为=(3,6)-(9,-3)=(-6,9),
所以=(-2,3),
所以=(9,-3)+(-2,3)=(7,0),
则=(7,0)-(-1,2)=(8,-2).
又=(9,-3)-(-3,0)=(12,-3),且8×(-3)-12×(-2)=0,所以∥.
二、能力提升
1.B　在正方形ABCD中,以点A为原点,直线AB,AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,令AB=2,则B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),=(2,2),=(2,1),=(-2,2),所以λ+μ=(2λ-2μ,λ+2μ).又=λ+μ,于是得解得则λ+μ=.
2.C　令(1,2)+λ1(3,4)=(-2,-2)+λ2(4,5),即(1+3λ1,2+4λ1)=(-2+4λ2,-2+5λ2),则解得所以a=(-2,-2),所以M∩N={(-2,-2)}.
3.AC
A √ =(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ).
B 若∥,则λ·μ=1,并不能得出λ=2,μ=.
C √ 若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ) λ=μ=-1,所以=(-1,1),所以B,C两点重合.
D 因为B,C,D三点共线,所以∥,=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ) λ=-1或μ=1.
4.D　如图,建立平面直角坐标系.设圆的半径为1,因为∠AOB=120°,∠AOC=30°,所以A(-1,0),B(,),C(-,-),所以=(-1,0),=(,),=(-,-).因为,不共线,所以由平面向量基本定理可知存在实数λ,μ,使=λ+μ,所以(-,-)=λ(-1,0)+μ(,),所以解得所以.故选D.
5.　解析由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4).因为A,B,C三点共线,所以∥,所以-4(-a+2)=-2(b+2),整理得2a+b=2,所以(2a+b)()=(3+)≥(3+2)=,当且仅当b=a时等号成立.
6.解析(1)因为a与b共线,所以可设b=μa,
则e1+λe2=2μe1-μe2.
又e1,e2不共线,所以解得λ=-.
(2)方案一　选择条件①.
设e1=(m,n),因为a=2e1-e2=(,0),所以e2=(2m-,2n).
又e1,e2为单位向量,所以
解得或
当e1=(,)时,e2=(0,1);
当e1=(,-)时,e2=(0,-1).
方案二　选择条件②.
设e1=(m,n),因为b=e1-e2=(,0),所以e2=(2m-,2n).
以下同方案一.
7.解析(1)=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得=k,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),
得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2,
因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,
所以解得k=-,λ=-.
(2)=-3e1-e2=-3(2,1)-(2,-2)=(-6,-3)-(1,-1)=(-7,-2).
(3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以.
设A(x,y),则=(3-x,5-y),
因为=(-7,-2),所以解得
即点A的坐标为(10,7).