19.1.2 矩形的判定 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
19.1.2 矩形的判定
华师大版 八年级 下册
教学目标
教学目标：1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判
定定理．
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
教学重点:矩形的判定．
教学难点:矩形的判定及性质的综合应用．
新知导入
情境引入
思考：工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
定义法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
∵在 ABCD中∠B=90°
∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
∟
几何语言
新知讲解
合作学习
问题1：除了定义法以外，还有哪些可以判定矩形的方法？
问题2：上节课我们研究了矩形性质，知道“矩形的四个角都是直角”，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
问题3：至少有几个角是直角的四边形是矩形？
(有一个角是直角)
(有二个角是直角)
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
1、任意作两条互相垂直的线段AB、AD；
2、过点B作垂直于AB的直线l；
3、过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得一个三个角都是直角的四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD为矩形(矩形的定义)．
命题：有三个角是直角的四边形是矩形．
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定方法2
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°．
∴四边形ABCD是矩形．
由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想：
“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形”．
这个猜想成立吗？
1、任意作两条相交的直线，交点记为O；
2、以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
3、顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
命题：对角线相等的平行四边形是矩形．
证明：在□ABCD中， AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△BAD≌△CDA．
∴∠BAD=∠CDA．
∵AB∥CD，
∴∠BAD +∠CDA=180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）．
定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形的判定方法3
现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格.
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格.
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格.
方案一:
方案二:
方案三:
提炼概念
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
□ABCD
AC = BD
□ ABCD是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？
四边形ABCD是矩形
结论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
典例精讲
例4 如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE=BF=CG=DH．
求证：四边形EFGH是矩形．
分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证．
证明: ∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO ，
∵AE=BF =CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形 ．
∵EO+OG=OF+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）．
例5 如图，四边形ABCD是由两个全等正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角且是直角即可得到它是一个矩形．
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，
∴∠DNB＝∠DMB＝90°，
∴∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°，
∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
例6 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
求证：四边形ADCE是矩形．
分析：根据已知条件AB＝AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE＝AB＝AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理证明四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1＝　∠CAF＝ （∠B＋∠ACB）＝∠B，
∴AE∥BC，
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∴AC＝DE，AE＝DC，
又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
归纳概念
知识点
判定矩形的常规思路：
课堂练习
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个角是否都为直角
D
2.判断题：
对角线相等的四边形是矩形。（ ）
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。（ ）
有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
四个角都是直角的四边形是矩形。（ ）
四个角都相等的四边形是矩形。（ ）
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。（ ）
3.如图，平行四边形ABCD中，∠1=∠2.求证四边形ABCD矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,BO=DO
（平行四边形对角线互相平分）
∵ ∠1=∠2
∴AO=BO（等角对等边 ）
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等的平行四边形是矩形）
4. 如图,□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.
5. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证： AB=DE.
证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2
(等腰三角形三线合一）
∵ AE平分∠BAF
∴ ∠2= ∠BAF/2
∵ ∠BAC + ∠BAF=1800
∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900
∵ BE⊥AE
∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900
∴四边形BDAE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
1
2
F
课堂总结
定理1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理3：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
判定定理
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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