2022-2023学年人教版八年级下册数18.2.2 第2课时 菱形的判定课件学(共46张PPT)

(共46张PPT)
第十八章 平行四边形
八年级数学下（RJ）
教学课件
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
学习目标
　1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判
定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
（难点）
平行四边形
菱形
特殊的平行四边形
平行四边形
平行四边形的性质
平行四边形的判定
性质
判定
矩形
正方形
新知一览
平行四边形
知识回顾
两组对角相等，邻角互补
对边平行，四条边都相等
边
角
对角线
互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角
A
B
C
O
D
S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．
B
A
C
D
符号语言：
问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，
反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是矩形，你觉得
对吗？
不对，菱形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅垂直且平分.
不对，
如图.
情景导入
讲授新课
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
自主探索
已知：四边形ABCD 是平行四边形，且AC⊥BD，
求证：平行四边形ABCD 是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，又∵AC⊥BD,
∴AB=BC（线段垂直平分线上
的点到两个端点的距离相等）
∴ 四边形ABCD是菱形.（菱形的定义）
命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理1：
归纳总结
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
典例精析
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
练一练
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
2.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是____________(只填写序号).①②③④3.如图，将 ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD上的点F 处，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AF＝EF
B．AB＝EF
C．AE＝AF
D．AF＝BE
C
四条边相等的四边形是菱形
二
小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证一证
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理2：
归纳总结
四边形ABCD
A
B
C
D
下列命题中正确的是 （ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形CDEF是菱形.
2
例3 如图,在△ABC中，AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上，且AE=AC，EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
归纳
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
归纳
理由如下：连接AC、BD
A
B
C
D
E
F
G
H
回顾1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
回顾2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
同学们自己去解答吧
思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
C
D
B
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可进一步判断.
由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，
然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
请补充完整的证明过程
E
F
新知讲解
四边形
+
四条边相等
菱形
四边形
+
对角线垂直平分
平行四边形
+
一组邻边相等
平行四边形
+
对角线垂直
判断菱形的方法小结
例3 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形.
菱形的性质与判定的综合运用
三
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
归纳
练一练
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
(1) 证明：∵ 在 Rt△ABC 中，D 是边 BC 的中点，
∴ AD＝BD＝DC .
又∵ E 是边 AD 的中点，∴ AE＝ED.
∵ AF∥BC，∴∠FAE＝∠ADB.
∴ △AEF≌△DEB (ASA). ∴ AF＝DB.
1. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是边 BC 的中点，E 是边 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF .
(1) 求证：四边形 ADCF 是菱形；
(2) 若 AC＝6，AB＝8，求菱形 ADCF 的面积.
练一练
∴ DC＝AF. 又∵AF∥BC，
∴ 四边形 BCFE 是平行四边形
又∵ AF＝AD，
∴ 四边形 ADCF 是菱形.
(2) 连接 DF，交 AC 于点 O.
由 (1) 可知，AF∥BD，AF＝BD，
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
∴ AB＝DF＝8.
∴ S四边形ADCF＝ DF ·AC＝ ×6×8＝24.
O
(1) 证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得
AB = AF，∠BAE = ∠FAE，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB.
∴ ∠BAE = ∠AEB. ∴AB = BE.
∴ BE = FA. ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.
∵ AB = AF，∴四边形 ABEF 为菱形.
2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．
(1) 求证：四边形 ABEF 为菱形；
(2) AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长.
(2) AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长．
解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO，
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4，
∴ AE = 2AO = 8．
例1如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP，BQ，PQ.(1)求证:△APD≌△BQC；(2)若∠ABP+∠BQC＝180°，求证:四边形ABQP为菱形.1.利用菱形的判定判断图形的形状例2如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形.(1)根据以上尺规作图的过程，求证:四边形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周长为16，AE＝，求∠C的大小.2.利用菱形的性质与判定求角的度数例3 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长.
3. 利用菱形的性质与判定求线段的长
例4如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE+CF＝m.(1)证明:无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形;4.利用菱形的性质求最值例4如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE+CF＝m.(2)求△BEF面积的最小值.4.利用菱形的性质求值1.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF.若AB=12，BC=5，则四边形BDFG的周长为.4.利用菱形的性质求值2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，连接CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N.(1)如图所示，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形;4.利用菱形的性质求值2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，连接CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N.(2)如图所示，当点G和点M，C不重合时，求证：DG＝DN.4.利用菱形的性质求值3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4D5.多结论问题当堂练习
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.一边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别
为24cm和26cm，则平行四边形的面积是 .
312cm2
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ACED为平行四边形.
当AC=BC时，
平行四边形ACED是菱形．
故选B．
A
B
C
D
O
E
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,
CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠AOD=90°，
∴四边形ADCE是菱形．
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
B
C
A
D
O
E
M
N
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理