19.1.2 矩形的判定 教案
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19.1.2 矩形的判定 教学设计
课题 19.1.2 矩形的判定 单元 第19 单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 对原有理解矩形概念、性质的基础上，进一步探究矩形其它的判定方法．了解矩形的判定方法的探索过程.掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用.
核心素养分析 (1)在探索判定方法的过程中培养学生的合情推理意识、主动探究的习惯.(2)在画矩形的过程中,培养学生动手实践能力,积累数学活动经验.培养学生的分析问题能力和解决问题的能力．
学习目标 1.探索并证明矩形的判定定理．2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题.
重点 矩形的判定．
难点 矩形的判定及性质的综合应用．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
求证:四边形ABCD是矩形
4.结论：矩形的判定定理1： 。 想一想活动1：请你按照下列要求作图，根据图形回答问题？ 只有一个角是直角的四边形是矩形吗？ 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ 有三个角是直角的四边形是矩形吗？猜一猜猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.推理验证 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD为矩形(矩形的定义)．小结 矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.提问6：如何用几何语言表述？ ∵∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形.探究二：1.作图：作一个对角线相等的平行四边形。2.猜想：四边形ABCD是什么形状的四边形？3.证明上述猜想：（提示：利用矩形的定义） 已知： 求证： 证明： 4.结论：矩形的判定定理2： 。猜一猜猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 论证：对角线相等的平行四边形是矩形问题：你能将上述命题转化为符号语言吗？并写出证明过程。已知：如图，在□ ABCD中，若AC=DB，则□ ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，又∵AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB, ∴∠ABC=∠DCB. 又∵AB∥DC , ∴∠ABC+∠DCB=， ∴∠ABC=，∴□ ABCD是矩形.思考：对角线相等的四边形一定是矩形吗？如果不一定，对角线还需要满足什么条件？ 思考自议类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法． 激发学生的求知欲，从情景中看出数学问题，并且从此引入新课，调动起学生的积极性．
讲授新课 二、提炼概念判定矩形的方法有哪些？1、定义判定：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.3、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.三、典例精讲2例2 ，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长.例4、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.证明：∵ABCD为矩形∴AC=BD ∴AC、BD互相平分于O∴AO=BO=CO=DO∵AE=BF=CG=DH∴EO=FO=GO=HO又HF=EG∴EFGH为矩形例5、如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD 的中点.求证:四边形BMDN是矩形.证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，又∵M、N分别为BC、AD的中点，∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，∴∠DNB＝∠DMB＝90°，∴∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°，∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．例6、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，∴∠1＝1/2∠CAF＝1/2（∠B＋∠ACB）＝∠B，∴AE∥BC，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AB＝DE，∴AC＝DE，AE＝DC，又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用. 21世纪能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题.
课堂练习 四、巩固训练 1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量其中三个角是否都为直角D2.判断题：对角线相等的四边形是矩形。（ ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。（ ）有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）四个角都是直角的四边形是矩形。（ ）四个角都相等的四边形是矩形。（ ）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。（ ）× √ × √ √ ×3.如图，平行四边形ABCD中，∠1=∠2.求证四边形ABCD矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO（平行四边形对角线互相平分） ∵ ∠1=∠2∴AO=BO（等角对等边 ）∴AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）4. 如图,□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．5. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证： AB=DE.证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2(等腰三角形三线合一）∵ AE平分∠BAF ∴ ∠2= ∠BAF/2 ∵ ∠BAC + ∠BAF=1800∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900∵ BE⊥AE∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900 ∴四边形BDAE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
课堂小结 课堂小结
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19.1.2 矩形的判定 教学设计
课题 19.1.2 矩形的判定 单元 第19 单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 对原有理解矩形概念、性质的基础上，进一步探究矩形其它的判定方法．了解矩形的判定方法的探索过程.掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用.
核心素养分析 (1)在探索判定方法的过程中培养学生的合情推理意识、主动探究的习惯.(2)在画矩形的过程中,培养学生动手实践能力,积累数学活动经验.培养学生的分析问题能力和解决问题的能力．
学习目标 1.探索并证明矩形的判定定理．2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题.
重点 矩形的判定．
难点 矩形的判定及性质的综合应用．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
求证:四边形ABCD是矩形
4.结论：矩形的判定定理1： 。 想一想活动1：请你按照下列要求作图，根据图形回答问题？ 只有一个角是直角的四边形是矩形吗？ 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ 有三个角是直角的四边形是矩形吗？猜一猜猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.推理验证 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD为矩形(矩形的定义)．小结 矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.提问6：如何用几何语言表述？ ∵∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形.探究二：1.作图：作一个对角线相等的平行四边形。2.猜想：四边形ABCD是什么形状的四边形？3.证明上述猜想：（提示：利用矩形的定义） 已知： 求证： 证明： 4.结论：矩形的判定定理2： 。猜一猜猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 论证：对角线相等的平行四边形是矩形问题：你能将上述命题转化为符号语言吗？并写出证明过程。已知：如图，在□ ABCD中，若AC=DB，则□ ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，又∵AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB, ∴∠ABC=∠DCB. 又∵AB∥DC , ∴∠ABC+∠DCB=， ∴∠ABC=，∴□ ABCD是矩形.思考：对角线相等的四边形一定是矩形吗？如果不一定，对角线还需要满足什么条件？ 思考自议类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法． 激发学生的求知欲，从情景中看出数学问题，并且从此引入新课，调动起学生的积极性．
讲授新课 二、提炼概念判定矩形的方法有哪些？1、定义判定：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.3、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.三、典例精讲2例2 ，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长.例4、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.证明：∵ABCD为矩形∴AC=BD ∴AC、BD互相平分于O∴AO=BO=CO=DO∵AE=BF=CG=DH∴EO=FO=GO=HO又HF=EG∴EFGH为矩形例5、如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD 的中点.求证:四边形BMDN是矩形.证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，又∵M、N分别为BC、AD的中点，∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，∴∠DNB＝∠DMB＝90°，∴∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°，∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．例6、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，∴∠1＝1/2∠CAF＝1/2（∠B＋∠ACB）＝∠B，∴AE∥BC，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AB＝DE，∴AC＝DE，AE＝DC，又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用. 21世纪能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题.
课堂练习 四、巩固训练 1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量其中三个角是否都为直角D2.判断题：对角线相等的四边形是矩形。（ ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。（ ）有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）四个角都是直角的四边形是矩形。（ ）四个角都相等的四边形是矩形。（ ）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。（ ）× √ × √ √ ×3.如图，平行四边形ABCD中，∠1=∠2.求证四边形ABCD矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO（平行四边形对角线互相平分） ∵ ∠1=∠2∴AO=BO（等角对等边 ）∴AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）4. 如图,□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．5. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证： AB=DE.证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2(等腰三角形三线合一）∵ AE平分∠BAF ∴ ∠2= ∠BAF/2 ∵ ∠BAC + ∠BAF=1800∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900∵ BE⊥AE∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900 ∴四边形BDAE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
课堂小结 课堂小结
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