【解析版】【2014威海市一模】山东省威海市2014届高三3月模拟考试 数学（理）试题

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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合,则“”是“”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
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2.（为虚数单位），则( )
（A） （B） （C） （D）
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3.若，则下列不等式成立的是( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】
【解析】
试题分析：因为，而对数函数要求真数为正数，所以不成立；
因为是减函数，又，则，故错；
因为在是增函数，又，则，故错；
在是增函数，又，则即成立，选.
考点：指数函数、对数函数、幂函数的性质.
4.根据给出的算法框图，计算( )
（A） （B） （C） （D）
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5.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( )21世纪教育网版权所有
分组
人数 5 15 20 10
频率 0.1 0.3 0.4 0.2
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】
试题分析：∵要估计两个班的平均分，∴可以认为分数是均匀分布的.
∴，
故选.
考点：频率分布表
6.已知是两条不同的直线，是一个平面，且∥，则下列命题正确的是( )
（A）若∥，则∥ （B）若∥，则∥
（C）若，则 （D）若，则
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7.已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是( )
（A）图象关于点中心对称 （B）图象关于轴对称
（C）在区间单调递增 （D）在单调递减
【答案】
【解析】
试题分析：函数向左平移个单位后，得到函数即
令，得，不正确；
令，得，不正确；
由，得
即函数的增区间为减区间为
故选.
考点：三角函数图象的平移，三角函数的图象和性质.
8.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为( )
（A） （B） （C） （D）
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9.二项式的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )
（A） （B） （C） （D）
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10..函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为( )
（A） （B）
（C） （D）
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11.双曲线的离心率，则以双曲线的两条渐近线与抛物线的交点为顶点的三角形的面积为( )
（A） （B） （C） （D）
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故选.
考点：双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形面积公式.
12. 已知，设函数的零点为，的零点为，则的最大值为( )
（A） （B） （C） （D）
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第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】
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14.已知圆过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆的方程为__________.
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15. 设满足约束条件，则所在平面区域的面积为___________.
【答案】
【解析】
试题分析：画出对应的平面区域，如图所示.
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所在平面区域的面积为.
考点：不等式组表示的平面区域，定积分的应用.
16. 函数的定义域为，其图象上任一点满足，则给出以下四个命题：
①函数一定是偶函数； ②函数可能是奇函数；
③函数在单调递增； ④若是偶函数，其值域为
其中正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）
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① ②
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③ ④
从以上情况可以看出：①④表示偶函数，②③表示奇函数，②对；由图②④可知函数在单调递减，故③错；由图④可知函数是偶函数时，其值域也为，故④错.21·cn·jy·com
综上知正确的序号为②.
考点：函数的定义，函数的奇偶性、单调性，双曲线.
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）已知向量，.
（Ⅰ）若，，且，求；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
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（Ⅱ） --------------8分
令 ------------------9分
∴当时，，当时， -----------------11分
∴的取值范围为. ----------------------12分
考点：，平面向量垂直的充要条件，平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，二次函数的图象和性质.
18. （本小题满分12分）一个袋子中装 ( http: / / www.21cnjy.com )有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.www.21-cn-jy.com
（Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；
（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(Ⅰ)；
(Ⅱ)随机变量的分布列为：
3 4 6
随机变量的数学期望 .
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(Ⅱ) 随机变量的可能取值为：3，4，6 --------------------6分21cnjy.com
， ----------------------7分
， ----------------------8分
----------------------9分
所以随机变量的分布列为：
3 4 6
----------------10分
所以随机变量的数学期望 .--- ----------12分
考点：古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.
19. （本小题满分12分） 如图，矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )所在的平面和平面 ( http: / / www.21cnjy.com )互相垂直，等腰梯形 ( http: / / www.21cnjy.com )中，∥， ( http: / / www.21cnjy.com )=2， ( http: / / www.21cnjy.com )，， ( http: / / www.21cnjy.com )，分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )，的中点，为底面的重心.21教育网
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
( http: / / www.21cnjy.com )试题解析：（Ⅰ）连结延长交于，则为的中点，又为的中点，
∴∥，又∵平面，∴∥平面 -------------------2分
连结，则∥，平面，∥平面 -----------------4分
∴平面∥平面， ----------------5分
平面， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ----------------------6分
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法二：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
-----------------7分
设平面的法向量为，
， -------------------8分
由 所以
令，则 ，所以，-----------------10分
∴ ---------------------11分
∴直线与平面所成角的正弦值为 -------------------12分
考点：平行关系，空间的角，空间向量的应用.
20. （本小题满分12分）
已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求.
( http: / / www.21cnjy.com )试题解析：(Ⅰ) 由①
知② ----------------------1分
由①-②得
整理得----------------------2分
∵为正项数列∴，∴ ---------3分
所以为公差为的等差数列，由得或----------4分
当时，，不满足是和的等比中项.
当时，，满足是和的等比中项.
所以. ----------------------6分
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21. （本小题满分13分）过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.2·1·c·n·j·y
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
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试题解析：（Ⅰ）∵ ,设直线方程为,
令,则,∴, ----------------------2分
∴ ----------------------3分
∵，∴=,
整理得--------------------4分
∵点在椭圆上,∴,∴ ----------------------5分
∴即,∴ ----------------------6分
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考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件.
22.（本小题满分13分）
设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.
(Ⅰ)求函数，的解析式；
(Ⅱ)求函数在上的最小值；
（Ⅲ）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) .
(Ⅱ) ；
（Ⅲ）满足题意的的取值范围为.
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试题解析：(Ⅰ) ， ----------------------1分
由题意，两函数在处有相同的切线.
，
. ----------------------3分
( http: / / www.21cnjy.com )（Ⅲ）令，
由题意当 ----------------------7分
∵恒成立， ----------------------8分
， ----------------------9分
，由得；由得
∴在单调递减，在单调递增 ----------------------10分
①当，即时，在单调递增，
，不满足. ----------------11分
2 当，即时，由①知，，满足
. ---------------12分
③当，即时，在单调递减，在单调递增
，满足.
综上所述，满足题意的的取值范围为. ----------------------13分
考点：应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式，转化与划归思想.
开始
否
是
输入
结束
输出
第4题图
F
A
C
D
E
O
B
M
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