2023年浙江省宁波市九年级强基竞赛联考数学试题（含答案）

九年级数学竞赛联考试卷
一、选择题（第1－8题各6分，第9～10题各8分，共64分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、2、4．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程有两个不相等实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则b、、、ab中最大的一个数是（ ）
A．b B． C． D．ab
4．若关于x的不等式组共有2个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为
C．当时，最大值为1 D．若，则
6．二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且点是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
7．商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（ ）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
8．已知：a、b是正数，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在BC延长线上，，，交x轴于点F，边EF交反比例函数的图象于点P，记△BEF的面积为S，若，则△CEP的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（第11～14题各6分，第15～16题各8分，共40分）
11．已知两组数据3，2a，5，b与a，4，2b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是 ．
12．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：若，则的值为 ．
13．已知二次函数（，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论．①；②：③；④（k为常数，且）．其中正确的结论有 （填写序号）．
14．在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD成轴对称的△BC＇D．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段BC＇扫过的图形与△OAF重叠部分的面积 ．
15．如图，在Rt△ABC中，，，，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且．则下列结论中：①；②；③；④．正确的有 ．（把所有正确答案的序号都填上）
16．如图，在四边形ABCD中，，，△ADE是等边三角形，且点E在BC上，如果，，△ADE的面积为 ．
三、解答题（第17～18题各12分，第19题14分，第20题18分，第21～22题各20分，共96分）
17．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离y（km）与轿车行驶时间x（h）的关系．
（1）求轿车在返回甲地过程中的速度；
（2）当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离．
18．已知抛物线．
（1）若此抛物线与x轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线与该抛物线交于点和点B．若，求x的取值范围．
（2）若，将此抛物线向上平移c个单位（）得到新抛物线，当时，；当时，，试比较ac与1的大小，并说明理由，
19．对于任意一个四位数，我们可以记为，即．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数，例如，； ．
（1）计算：；
（2）当时，证明：的结果一定是4的倍数；
（3）求出满足的所有四位数．
20．如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：
（1）；
（2）；
（3）．
21．如图1，菱形ABCD的边长为12cm，，M，N分别在边AB，CD上，，，点P从点M出发，沿折线MB－BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为t s．
（1）∠APE＝ °；
（2）若⊙O与AD相切，
①判断⊙O与CD的位置关系；
②求的长；
（3）如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；
（4）若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．
22．【证明体验】
如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，，点G，点E分别在边AD，AB上，点F在菱形ABCD内部，将菱形AEFG绕点A旋转一定的角度α，点E，F始终在菱形ABCD的内部．
（1）图2，求证：．
【思考探究】
（2）如图3，点P，Q分别在AB，AD延长线上，连接AF并延长与∠QDC的平分线交于点H，连接AE并延长与∠PBC的平分线交于K．连接DH，HK，CH，CK，
①求证：．
②若，，则线段BK的长度为 ，线段HK的长为 ．
③菱形AEFG绕点A旋转α度（），，△KBC是等腰三角形，线段HK的长为 ．
九年级数学竞赛联考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（第1～8题各6分，第9～10题各8分，共64分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D D B A C B
二、填空题（第11～14题各6分，第15～16题各8分，共40分）
11．5
12．1011
13．①③
14．
15．①②③④
16．
三、解答题（第17～18题各12分，第19题14分，第20题18分，第21～22题各20分，共96分）
17．解：
（1）根据图象可得当小时时，离甲地的距离是120千米，当小时时，离甲地的距离是0千米，
∴轿车在返回甲地过程中的速度为：（千米/小时），
答：轿车在返回甲地过程中的速度为80千米/小时；
（2）设货车离甲地的距离y（千米）与轿车行驶时间x（小时）的函数解析式是，则，
解得：，
则函数解析式是；
设轿车在返回甲地过程中离甲地的距离y（千米）与轿车行驶时间x（小时）的解析式是，
则，
解得
则函数解析式是．
根据题意得：，
解得：，
则轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是（千米）．
答：当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离是千米．
18．解：
（1）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，
∴，
又∵抛物线过点．
∴，
∴抛物线的解析式；
②当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
联立方程组，
解得或，
∴，，
∴当时，或；
（2），理由：
由题知，将此抛物线向上平移c个单位（），
其解析式为，且过点，
∴，
∴，
∴，
且当时，，
对称轴：，抛物线开口向上，画草图如右所示．
由题知，当时，．
∴，
∴，
∴，
∴；
19．解：
（1）；
（2）∴，
∵，
原式，
∵，且e是整数，
∴是4的倍数．
所以，当时，的结果一定是4的倍数．
（3）∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴，且x为整数．
∴或或或．
所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．
20．
（1）证明：延长AM到点N，使，连接BN，
∵AM是△ABC中BC边上的中线，
∴CM＝BM，
在△MBN和△MCA中
∴，
∴∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，
∴BN∥AC，NB＝AG，
∴∠NBA＋∠BAC＝180°，
∵∠GAE＋∠BAC＝360°－90°－90°＝180°，
∴∠NBA＝∠GAE
在△NBA和△GAE中
∴，
∴AN＝EG，
∴；
（2）证明：
由（1）得∠BAN＝∠AEG，
∵∠HAE＋∠BAN＝180°－90°＝90°，
∴∠HAE＋∠AEH＝90°，
∴
即；
（3）证明：连接CE、BG，
易证
∴，
∴，
∴．
21．解：
（1）∵四边形ABCD为菱形，，
∴∠D＝∠B＝60°，，
∴△ACD为等边三角形，
∴，
∴∠APE＝∠ACE＝60°，
故答案为：60；
（2）如图，当点P运动到点B时，⊙O与AD相切，
①∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵⊙O与AD相切，
∴⊙O与CD相切；
②连接OD，
由（1）可知，，
∵AD、CD分别与⊙O相切，
∴，
∴，
∴弧APC的长；
（3）由图可知：，
∵，，
∴△ABC为等边三角形，
则，，
∴要使CF取得最大值，
则AF应该取最小值，
当时，AF最小，此时CF取得最大值，
∵点O为△APC外接圆圆心，
∴，
∵，
∴，
综上：CF的最大值为3cm，此时；
（4）①当点P在AB上时，
∵四边形APCE为圆的内接四边形，
∴∠APC＋∠AEC＝180°，
∵∠AED＋∠AEC＝180°，
∴∠APC＝∠AED，
在△APC和△DEA中，AC＝AD，∠PAC＝∠D，∠APC＝∠AED，
∴，
∴，
当点E与点N重合时，DE＝AP＝DN＝4，
∵MP＝4－3＝1cm，
∴，
当时，点N在圆内部；
②当点P在BC上运动时，
∵∠AEP＝∠ACP＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴，∠PAE＝60°，
∵，
∴∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，AB＝AC，∠BAP＝∠CAE，AP＝AE，
∴
∴，
当点E与点N重合时，CE＝CN＝BP＝12－4＝8cm，
此时，
当点P到达点C时，，
当时，点N在圆内部；
综上：当时或时，点N在圆内部．
22．
（1）证明：如图2中，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，，
∴，AC＝AE，∠GAD＝∠EAB，
在△GAD和△EAB中，
，
∴；
（2）①证明：如图3－1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CBP＝∠DAB＝60°，∠CDQ＝∠DAB＝60°，
∵DH，BK分别平分∠QDC，∠CBP，
∴∠QDH＝∠KBP＝30°，
∴∠ADH＝∠ABK＝150°，
∵∠FAE＝∠QDH＝30°，
∴∠DAH＋∠AHD＝∠BAK＋∠DAH＝30°，
∴∠AHD＝∠BAK，
∴；
②解：如图3－2中，连接DB，过点H作HM⊥BK于点M．
∵，
∴，
∴，
∵∠BDH＝∠DBM＝∠BMH＝90°，
∴四边形DBMH是矩形，
∴，，
∴KM＝BK－BM＝8－5＝3，
∴．
故答案为：8，7；
③解：如图4－1中，当KB＝KC时，连接BD，过点K作于点J，
∵，，
∴，，
∵AB＝BC＝m，∠CBK＝∠KCB＝30°，
∴，
∴，
∵四边形BDJK是矩形，
∴，DB＝KJ＝m，
∴，
∴
如图4－2中，当BC＝BK时，四边形BDHK是正方形kH＝m．
如图4－3中，时，D，C，K共线，过点H作HN⊥BK于点N．
∵，，
∴，
∴，
∵四边形BDHN是矩形，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的HK的值为m或．
故答案为：m或．