江苏省苏州市昆山市第二中学2022-2023学年九年级下学期开学数学试题
一、单选题
1．（2023九下·昆山开学考）已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．（2022九上·沭阳期末）⊙O的直径为10cm，点A到圆心O的距离OA=6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．无法确定
3．（2017·历下模拟）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：
组 别 1 2 3 4 5 6 7
分 值 90 95 90 88 90 92 85
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．88，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95
4．（2023九下·昆山开学考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九下·昆山开学考）如图，是半圆O的直径，D，E是上两点，连接并延长交于点A，连接.如果，那么的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°
6．（2023九下·昆山开学考）如图，等边三角形内接于大，小是等边三角形的内切圆，随意向大内部区域抛一个小球，则小球落在小内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝ ，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为(5，4) B．AB＝AD
C．a＝ D．OC OD＝16
8．（2023九下·昆山开学考）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A．π B．π C．π D．2
二、填空题
9．（2023九下·昆山开学考）设，是关于x的一元二次方程的两根，则 .
10．（2020九上·泰州期中）数据8，9，10，11，12的方差等于 .
11．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 .
12．（2020九上·秦淮期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是 ．
13．（2023九下·昆山开学考）如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正西方向，km，从测得船在北偏东45°的方向，从测得船在北偏西30°的方向，则船离海岸线的距离是 .
14．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 ．
15．（2023九下·昆山开学考）我们用符号表示不大于x的最大整数.例如：.那么：当时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，则实数a的范围是 .
16．（2023九下·昆山开学考）如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为(4，4)，点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边相切时，t的值为 .
三、解答题
17．（2023九下·昆山开学考）计算：.
18．（2023九下·昆山开学考）解方程：
（1）；
（2）.
19．（2023九下·昆山开学考）为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“优秀：；良好：；合格﹔不合格：”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）扇形统计图中所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数.
20．（2023九下·昆山开学考）某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序.
（1）求甲小组第一个展示的概率；
（2）用列举法(画树状图或列表)求丙小组比甲小组先展示的概率.
21．（2023九下·昆山开学考）如图，在一个半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形.
（1）求这个扇形的面积（保留）；
（2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径.
22．（2020九上·秦淮期末）已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．
（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图象上的两个点，请判断a、b的大小关系．
23．（2023九下·昆山开学考）某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定：售价不超过70元.
（1）若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元
（2）若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元
24．（2022·石家庄模拟）图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．
（1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度；
（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：）
25．（2019·乌鲁木齐模拟）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝5，OP＝3，求CB的长；
（3）设△AOP的面积是S1，△BCP的面积是S2，且 .若⊙O的半径为4，BP＝ ，求tan∠CBP.
26．（2023九下·昆山开学考）问题1如图①点A、B、C在⊙O上，且∠ABC=120°，⊙O的半径是3.求弧AC的长.
问题2如图②点A、B、C、D在⊙上，且弧AD=弧BC，E是AB的延长线上的.
（1）设BD=nBF，则n= ；
（2）如图③若G是线段BD上的一个点，且.试探究，在⊙上是否存在点P (B除外)使PG=PF 为什么
27．（2023九下·昆山开学考）已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为.
（1）原抛物线的函数解析式是 .
（2）如图①，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图②，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k 6＝0成立，解得k＝-1.
故答案为：B.
【分析】将x＝-3代入方程中即可求出k值.
2．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为5cm，
而点A到圆心O的距离OA=6cm＞5cm，
∴点A在⊙O外.
故答案为：B.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：85，88，90，90，90，92，95，
故中位数为：90，
众数为：90．
故选B．
【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，tanB＝，a2＋b2＝c2.
∵sinA＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2＋b2＝c2得b＝4x.
∴tanB＝＝＝.
故答案为：C.
【分析】由于sinA＝＝，可设a＝3x，则c＝5x，由勾股定理求出b＝4x，根据tanB＝即可求解.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵是半圆O的直径，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDC=90°，即得∠ADC=90°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ACD的度数，根据圆周角定理即可求解.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；几何概率
【解析】【解答】解：如图，连接，过O作于D，
依题意，O是的内心和外心，
平分，
又
，
，
，
小球落在小内部（阴影）区域的概率为：
，
故答案为：B.
【分析】 小球落在小内部（阴影）区域的概率为内切圆的面积与外接圆面积的比，据此解答即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）.因为对称轴为直线x＝ ，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意.如答图，
过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5.因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO.因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5.在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝ ，所以D（－3，0）.在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意.设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝ ，选项C正确，不符合题意.因为OC＝8，OD＝3，所以OC OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D.
【分析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形；圆的周长
【解析】【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴AB=BC=4，
∴OC=OP=AB=2，
∵∠ACB=90°，
∴C在⊙O上，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO=90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
P点在A点时，M点在E点；P点在B点时，M点在F点.
∵O是AB中点，E是AC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//BC，OE=BC=，
∴OE⊥AC，
同理OF⊥BC，OF=，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长=×π×2=π.
故答案为：B.
【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，由勾股定理求出AB的长，进而求出OC，OP的长，求得∠CMO=90°，于是可得点M在以OC为直径的圆上，再证四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，即得M点的路径为以EF为直径的半圆，利用圆的周长公式即可求解.
9．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：，是关于x的一元二次方程的两根
，，
故答案为：-5
【分析】由于，是关于x的一元二次方程的两根，可得，，然后整体代入计算即可.
10．【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】这组数据的平均数为
∴这组数据的方差为
故答案为2.
【分析】先求出这组数据的平均数，然后利用方差公式计算即得.
11．【答案】8π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】圆锥的底面圆周长为2π×2=4π，则圆锥的侧面积为×4π×4=8π．
故答案是8π．
【分析】考查圆锥的计算．
12．【答案】－1＜x＜3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
13．【答案】km
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示，过C作AB的垂线交AB于D
由题易知：∠CAD=45°，∠CBD=60°
设BD=x
在Rt△BCD中，∠CBD=60°
sin60°=
∴CD=
在Rt△ACD中，∠CAD=45°
∴AD=CD=
∴=2
解得：
∴CD=
故答案是：()km
【分析】过C作AB的垂线交AB于D，由题易知∠CAD=45°，∠CBD=60°，设BD=x，则CD=，AD=CD=，根据AB=AD+BD=2，建立关于x方程并解之即可.
14．【答案】4.8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，
于是=，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB PE=BE AE，
求得PE的最小值为4.8．
故答案为 4.8．
【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意：当时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，
当时，则有时，函数分别为：，，
由题意，，
∴，
当时，则有，而，此时的图象在的图象上方或图象上.
当时，则有，
当时，有最小值，最小值要大于或等于4，
∴，
解得，
综上所述，时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，
故答案为.
【分析】分三种情况：①当时，则有；②当时，则有，③当时，则有，据此分别求出函数y1、y2，再根据求解即可.
16．【答案】或2
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵点C坐标为（4，4），点D是BO的中点，
∴OA＝OB＝4，OD＝OB＝2，
分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况考虑：
①当⊙P与AC相切时，如图1所示.
∵点P横坐标为t，
∴PA＝4﹣t.
在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝t，PD＝PA＝4﹣t，
∴PD2＝OD2+OP2，即（4﹣t）2＝22+t2，
解得：t＝；
②当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，如图2所示.
∵PE⊥BC，AC⊥BC，
∴PE∥AC.
∵PA∥EC，
∴四边形ACEP为矩形，
∴PE＝AC＝4，
∴PD＝PE＝4.
在Rt△POD中，OP＝t，OD＝2，PD＝4，
∴PD2＝OD2+OP2，即42＝22+t2，
解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去），
综上所述：t的值为或2，
故答案为或2.
【分析】根据点C的坐标以及中点的概念可得OA＝OB＝4，OD＝OB＝2，①当⊙P与AC相切时，OD＝2，OP＝t，PD＝PA＝4-t，利用勾股定理求解即可；②当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，则四边形ACEP为矩形，PE＝AC＝4，PD＝PE＝4，OP＝t，OD＝2，PD＝4，然后利用勾股定理计算即可.
17．【答案】解：原式=2×+×-
=+-
=
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×+×-，然后计算乘法，再根据二次根式的减法法则进行计算.
18．【答案】（1）解：
或
（2）解：
或
或
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+1)2=6，接下来利用直接开平方法进行计算；
（2）提取公因式(x-2)可得2(x-2)(x-1)=0，据此求解.
19．【答案】（1）120
（2）54°
（3）解：120×20%=24，24-12=12，
120-16-25-23-12-12-10-8=14，
补全统计图如下：
（4）解：（14+16）÷120×1500=375人，
∴估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数有375人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）（25+23）÷40%=120人，
∴此次共调查了120名学生；
（2）（10+8）÷120×360°=54°，
∴D所在扇形的圆心角度数为54°；
【分析】（1）利用B的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）利用D的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占扇形圆心角的度数；
（3）根据总人数乘以C所占的比例可得对应的人数，然后求出C对应的女生的人数，再结合总人数求出A对应的男生的人数，进而可补全条形统计图；
（4）利用A的人数除以总人数，然后乘以1500即可.
20．【答案】（1）解：有可能甲小组第一个展示，也有可能乙小组第一个展示，还有可能丙小组第一个展示，
∴甲小组第一个展示的概率是
（2）解：画树状图如下：
∴共有6种等可能出现的结果，其中丙小组比甲小组先展示有3种结果，
∴丙小组比甲小组先展示的概率为：＝.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）直接根据概率公式进行计算；
（2）画出树状图，找出总情况数以及丙小组比甲小组先展示的情况数，然后根据概率公式进行计算.
21．【答案】（1）解：如图，连接，∵，
∴为的直径，
∵为扇形，∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∴这个扇形的面积
（2）解：设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得的长即为底面圆的周长
∵扇形中，的长，
∴，解得，即围成的这个圆锥的底面圆的半径为1.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；圆锥的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AB，则AB为直径，进而推出△PAB为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出PA的值，然后根据扇形的面积公式进行计算；
（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r，由题意得的长即为底面圆的周长，根据弧长公式求出的长，然后由圆的周长公式就可求出半径.
22．【答案】（1）证明：方法一：
令y＝0，(x－m)(x＋m＋4)=0，解得x1＝m；x2＝－m－4．
当m＝－m－4，即m＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；
当m≠－m－4，即m≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点．
综上不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．
方法二：
化简得y＝x2＋4x－m2－4m．
令y＝0，b2－4ac＝4m2＋16m＋16＝4(m＋2)2≥0，方程有两个实数根．
∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．
（2）解：由题意知，函数的图象的对称轴为直线x＝－2
①当n＝－3时，a＝b；
②当－3＜n＜－1时，a＞b
③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）方法一：当y=0时，（x-m）（x-m-4）=0，解得x1=m，x2=-m-4，即可得到结论；方法二：化简得y＝x2＋4x－m2－4m，令y＝0，可得b2－4ac≥0，即可证明；（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a与b 的大小.
23．【答案】（1）解：设每件售价提高x元，
由题意得(10+x)(800-25x)=10800，
解得：x1=8，x2=14，
因为0≤x≤10
所以，x=8
答：售价应提高8元.
（2）解：设售价提高x元，利润y元，则
y=(10+x）（800-25x）
因为0≤x≤10，当x=10元时，利润最大.
答：售价为70元，获得利润最大.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件售价提高x元，则每件的利润为(60-50+x)元，销售量为(800-25x)，然后根据每件的利润×销售量=总利润建立关于x的方程，求解即可；
（2）设售价提高x元，利润y元，同理根据每件的利润×销售量=总利润可得y与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
24．【答案】（1）解：如图1，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，
∵AE⊥BD，
∴四边形AEFG是矩形，
∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，
∴∠CAG=30°，
∵AC=12，
∴CG=ACsin30°=12×=6，
∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；
（2）解：如图2，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，
∵AE⊥BD，
∴四边形AEFG是矩形，
∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，
∴∠CAG=60°，
∵AC=20，
∴CG=ACsin60°=20×≈17.32，
∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；
∴能有效救援．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，先求出∠CAG=30°，再利用解直角三角形求出CG=ACsin30°=12×=6，最后利用线段的和差可得CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；
（2）过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，先求出∠CAG=60°，再利用解直角三角形求出CG=ACsin60°=20×≈17.32，最后利用线段的和差可得CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18，所以能有效救援。
25．【答案】（1）证明：连接OB，如图，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠A+∠APO＝90°，
∵CP＝CB，
∴∠CBP＝∠CPB，
而∠CPB＝∠APO，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设BC＝x，则PC＝x，
在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，
∵OB2+BC2＝OC2，
∴52+x2＝（x+3）2，
解得x＝ ，
即BC的长为 ；
（3）解：如图，作CD⊥BP于D，
∵PC＝PB，
∴PD＝BD＝ PB＝ ，
∵∠PDC＝∠AOP＝90°，∠APO＝∠CPD，
∴△AOP∽△PCD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OA＝4，
∴CD＝ ，
∴tan∠CBP＝ ＝2.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OB，由OP⊥OA，得∠A+∠APO＝90°；由CP＝CB，得∠CBP＝∠CPB；再由OA＝OB，得∠A＝∠OBA，而∠CPB＝∠APO，整理变形可得∠OBC＝90°，即BC是⊙O的切线；（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，由勾股定理可得关于x的方程52+x2＝（x+3）2，解方程即可求出CB的长；（3）作CD⊥BP于D，由PC＝PB，得PD＝BD＝ PB＝ ，易证△AOP∽△PCD，则由 ，可得 ，即 ，由此可求CD的长，再在Rt△BCD中，按照正切定义求出tan∠CBP即可.
26．【答案】（1）2π
（2）解：如图，连接GF，过点B作AE的垂线，与GF交于点H，与圆的交点即是点P
由(1)得△BEF∽△AEC，
∵
∴BF=BG
∴△BGF为等腰三角形
∴∠FBE=∠CAE
∵弧AD=弧BC
∴∠ABD=∠CAB
∴∠DBA=∠FBE
∵∠ABH=∠EBH=90°
∴∠DBH=∠FBH
∴BH为GF的中垂线
∴PG=PF
故存在P.
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）问题一：解：如图，连接OA和OC
∵∠ABC=120°
∴∠AOC=360°-2∠ABC=120°
∴==
问题2：解：如图，连接AC
∵弧AD=弧BC
∴弧BD=弧AC
∴BD=AC
∵
∴，∠BEF=∠AEC
∴△BEF∽△AEC
∴
∴，即3BF=BD
∴n=3
【分析】（1）问题1：连接OA、OC，则∠AOC=360°-2∠ABC=120°，然后根据弧长公式进行计算；
问题2：连接AC，根据弧与弦的关系可得BD=AC，由已知条件可得，证明△BEF∽△AEC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2）连接GF，过点B作AE的垂线，与GF交于点H，与圆的交点即是点P，由（1）得△BEF∽△AEC，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得BF=BG，推出△BGF为等腰三角形，则∠FBE=∠CAE，由圆周角定理可得∠ABD=∠CAB，则∠DBA=∠FBE，进而推出BH为GF的中垂线，据此解答.
27．【答案】（1）
（2）解：如图，过P作交于M，
二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，
当时，，
解得，
当时，，
，，，
直线解析式为：
设，则
当时面积的最大值为，
；
（3）解：存在，理由如下：
由（2）可知，，
①如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，
即，，
是的中点，
②如图，为等腰三角形，为直角三角形，
即，，
设
解得：或（不合题意，舍去）
综上所述：或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为：
二次函数解析式为：
即，
故答案为：；
【分析】（1）根据顶点坐标可得二次函数的解析式为y=(x-3)2-4，然后化为一般形式即可；
（2）过P作PM⊥AB交BC于M，分别令二次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标，然后求出直线BC的解析式，设P（x，x2-6x+5），则M（x，-x+5），根据三角形的面积公式表示出S△PBC，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）由（2）可知OB=OC，∠OBC=45°，①△CQM为等腰直角三角形，△BQM为直角三角形，即CM=QM，∠CMQ=90°，则CM=BM，推出M为BC的中点，据此可得点M的坐标；②△CQM为等腰三角形，△BQM为直角三角形，即CM=QM，∠MQB=90°，易得BQ=QM=CM，设QM=BQ=CM=m，则BM=-m，然后在Rt△BMQ中，由勾股定理可得m的值，据此可得点M的坐标.
1 / 1江苏省苏州市昆山市第二中学2022-2023学年九年级下学期开学数学试题
一、单选题
1．（2023九下·昆山开学考）已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k 6＝0成立，解得k＝-1.
故答案为：B.
【分析】将x＝-3代入方程中即可求出k值.
2．（2022九上·沭阳期末）⊙O的直径为10cm，点A到圆心O的距离OA=6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．无法确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为5cm，
而点A到圆心O的距离OA=6cm＞5cm，
∴点A在⊙O外.
故答案为：B.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
3．（2017·历下模拟）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：
组 别 1 2 3 4 5 6 7
分 值 90 95 90 88 90 92 85
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．88，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：85，88，90，90，90，92，95，
故中位数为：90，
众数为：90．
故选B．
【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．
4．（2023九下·昆山开学考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，tanB＝，a2＋b2＝c2.
∵sinA＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2＋b2＝c2得b＝4x.
∴tanB＝＝＝.
故答案为：C.
【分析】由于sinA＝＝，可设a＝3x，则c＝5x，由勾股定理求出b＝4x，根据tanB＝即可求解.
5．（2023九下·昆山开学考）如图，是半圆O的直径，D，E是上两点，连接并延长交于点A，连接.如果，那么的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵是半圆O的直径，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDC=90°，即得∠ADC=90°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ACD的度数，根据圆周角定理即可求解.
6．（2023九下·昆山开学考）如图，等边三角形内接于大，小是等边三角形的内切圆，随意向大内部区域抛一个小球，则小球落在小内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；几何概率
【解析】【解答】解：如图，连接，过O作于D，
依题意，O是的内心和外心，
平分，
又
，
，
，
小球落在小内部（阴影）区域的概率为：
，
故答案为：B.
【分析】 小球落在小内部（阴影）区域的概率为内切圆的面积与外接圆面积的比，据此解答即可.
7．（2020·黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝ ，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为(5，4) B．AB＝AD
C．a＝ D．OC OD＝16
【答案】D
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）.因为对称轴为直线x＝ ，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意.如答图，
过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5.因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO.因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5.在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝ ，所以D（－3，0）.在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意.设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝ ，选项C正确，不符合题意.因为OC＝8，OD＝3，所以OC OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D.
【分析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可.
8．（2023九下·昆山开学考）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A．π B．π C．π D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形；圆的周长
【解析】【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴AB=BC=4，
∴OC=OP=AB=2，
∵∠ACB=90°，
∴C在⊙O上，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO=90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
P点在A点时，M点在E点；P点在B点时，M点在F点.
∵O是AB中点，E是AC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//BC，OE=BC=，
∴OE⊥AC，
同理OF⊥BC，OF=，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长=×π×2=π.
故答案为：B.
【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，由勾股定理求出AB的长，进而求出OC，OP的长，求得∠CMO=90°，于是可得点M在以OC为直径的圆上，再证四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，即得M点的路径为以EF为直径的半圆，利用圆的周长公式即可求解.
二、填空题
9．（2023九下·昆山开学考）设，是关于x的一元二次方程的两根，则 .
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：，是关于x的一元二次方程的两根
，，
故答案为：-5
【分析】由于，是关于x的一元二次方程的两根，可得，，然后整体代入计算即可.
10．（2020九上·泰州期中）数据8，9，10，11，12的方差等于 .
【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】这组数据的平均数为
∴这组数据的方差为
故答案为2.
【分析】先求出这组数据的平均数，然后利用方差公式计算即得.
11．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 .
【答案】8π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】圆锥的底面圆周长为2π×2=4π，则圆锥的侧面积为×4π×4=8π．
故答案是8π．
【分析】考查圆锥的计算．
12．（2020九上·秦淮期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是 ．
【答案】－1＜x＜3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
13．（2023九下·昆山开学考）如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正西方向，km，从测得船在北偏东45°的方向，从测得船在北偏西30°的方向，则船离海岸线的距离是 .
【答案】km
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示，过C作AB的垂线交AB于D
由题易知：∠CAD=45°，∠CBD=60°
设BD=x
在Rt△BCD中，∠CBD=60°
sin60°=
∴CD=
在Rt△ACD中，∠CAD=45°
∴AD=CD=
∴=2
解得：
∴CD=
故答案是：()km
【分析】过C作AB的垂线交AB于D，由题易知∠CAD=45°，∠CBD=60°，设BD=x，则CD=，AD=CD=，根据AB=AD+BD=2，建立关于x方程并解之即可.
14．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 ．
【答案】4.8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，
于是=，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB PE=BE AE，
求得PE的最小值为4.8．
故答案为 4.8．
【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．
15．（2023九下·昆山开学考）我们用符号表示不大于x的最大整数.例如：.那么：当时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，则实数a的范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意：当时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，
当时，则有时，函数分别为：，，
由题意，，
∴，
当时，则有，而，此时的图象在的图象上方或图象上.
当时，则有，
当时，有最小值，最小值要大于或等于4，
∴，
解得，
综上所述，时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，
故答案为.
【分析】分三种情况：①当时，则有；②当时，则有，③当时，则有，据此分别求出函数y1、y2，再根据求解即可.
16．（2023九下·昆山开学考）如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为(4，4)，点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边相切时，t的值为 .
【答案】或2
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵点C坐标为（4，4），点D是BO的中点，
∴OA＝OB＝4，OD＝OB＝2，
分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况考虑：
①当⊙P与AC相切时，如图1所示.
∵点P横坐标为t，
∴PA＝4﹣t.
在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝t，PD＝PA＝4﹣t，
∴PD2＝OD2+OP2，即（4﹣t）2＝22+t2，
解得：t＝；
②当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，如图2所示.
∵PE⊥BC，AC⊥BC，
∴PE∥AC.
∵PA∥EC，
∴四边形ACEP为矩形，
∴PE＝AC＝4，
∴PD＝PE＝4.
在Rt△POD中，OP＝t，OD＝2，PD＝4，
∴PD2＝OD2+OP2，即42＝22+t2，
解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去），
综上所述：t的值为或2，
故答案为或2.
【分析】根据点C的坐标以及中点的概念可得OA＝OB＝4，OD＝OB＝2，①当⊙P与AC相切时，OD＝2，OP＝t，PD＝PA＝4-t，利用勾股定理求解即可；②当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，则四边形ACEP为矩形，PE＝AC＝4，PD＝PE＝4，OP＝t，OD＝2，PD＝4，然后利用勾股定理计算即可.
三、解答题
17．（2023九下·昆山开学考）计算：.
【答案】解：原式=2×+×-
=+-
=
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×+×-，然后计算乘法，再根据二次根式的减法法则进行计算.
18．（2023九下·昆山开学考）解方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
或
（2）解：
或
或
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+1)2=6，接下来利用直接开平方法进行计算；
（2）提取公因式(x-2)可得2(x-2)(x-1)=0，据此求解.
19．（2023九下·昆山开学考）为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“优秀：；良好：；合格﹔不合格：”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）扇形统计图中所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数.
【答案】（1）120
（2）54°
（3）解：120×20%=24，24-12=12，
120-16-25-23-12-12-10-8=14，
补全统计图如下：
（4）解：（14+16）÷120×1500=375人，
∴估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数有375人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）（25+23）÷40%=120人，
∴此次共调查了120名学生；
（2）（10+8）÷120×360°=54°，
∴D所在扇形的圆心角度数为54°；
【分析】（1）利用B的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）利用D的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占扇形圆心角的度数；
（3）根据总人数乘以C所占的比例可得对应的人数，然后求出C对应的女生的人数，再结合总人数求出A对应的男生的人数，进而可补全条形统计图；
（4）利用A的人数除以总人数，然后乘以1500即可.
20．（2023九下·昆山开学考）某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序.
（1）求甲小组第一个展示的概率；
（2）用列举法(画树状图或列表)求丙小组比甲小组先展示的概率.
【答案】（1）解：有可能甲小组第一个展示，也有可能乙小组第一个展示，还有可能丙小组第一个展示，
∴甲小组第一个展示的概率是
（2）解：画树状图如下：
∴共有6种等可能出现的结果，其中丙小组比甲小组先展示有3种结果，
∴丙小组比甲小组先展示的概率为：＝.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）直接根据概率公式进行计算；
（2）画出树状图，找出总情况数以及丙小组比甲小组先展示的情况数，然后根据概率公式进行计算.
21．（2023九下·昆山开学考）如图，在一个半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形.
（1）求这个扇形的面积（保留）；
（2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径.
【答案】（1）解：如图，连接，∵，
∴为的直径，
∵为扇形，∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∴这个扇形的面积
（2）解：设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得的长即为底面圆的周长
∵扇形中，的长，
∴，解得，即围成的这个圆锥的底面圆的半径为1.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；圆锥的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AB，则AB为直径，进而推出△PAB为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出PA的值，然后根据扇形的面积公式进行计算；
（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r，由题意得的长即为底面圆的周长，根据弧长公式求出的长，然后由圆的周长公式就可求出半径.
22．（2020九上·秦淮期末）已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．
（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图象上的两个点，请判断a、b的大小关系．
【答案】（1）证明：方法一：
令y＝0，(x－m)(x＋m＋4)=0，解得x1＝m；x2＝－m－4．
当m＝－m－4，即m＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；
当m≠－m－4，即m≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点．
综上不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．
方法二：
化简得y＝x2＋4x－m2－4m．
令y＝0，b2－4ac＝4m2＋16m＋16＝4(m＋2)2≥0，方程有两个实数根．
∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．
（2）解：由题意知，函数的图象的对称轴为直线x＝－2
①当n＝－3时，a＝b；
②当－3＜n＜－1时，a＞b
③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）方法一：当y=0时，（x-m）（x-m-4）=0，解得x1=m，x2=-m-4，即可得到结论；方法二：化简得y＝x2＋4x－m2－4m，令y＝0，可得b2－4ac≥0，即可证明；（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a与b 的大小.
23．（2023九下·昆山开学考）某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定：售价不超过70元.
（1）若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元
（2）若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元
【答案】（1）解：设每件售价提高x元，
由题意得(10+x)(800-25x)=10800，
解得：x1=8，x2=14，
因为0≤x≤10
所以，x=8
答：售价应提高8元.
（2）解：设售价提高x元，利润y元，则
y=(10+x）（800-25x）
因为0≤x≤10，当x=10元时，利润最大.
答：售价为70元，获得利润最大.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件售价提高x元，则每件的利润为(60-50+x)元，销售量为(800-25x)，然后根据每件的利润×销售量=总利润建立关于x的方程，求解即可；
（2）设售价提高x元，利润y元，同理根据每件的利润×销售量=总利润可得y与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
24．（2022·石家庄模拟）图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．
（1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度；
（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：）
【答案】（1）解：如图1，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，
∵AE⊥BD，
∴四边形AEFG是矩形，
∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，
∴∠CAG=30°，
∵AC=12，
∴CG=ACsin30°=12×=6，
∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；
（2）解：如图2，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，
∵AE⊥BD，
∴四边形AEFG是矩形，
∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，
∴∠CAG=60°，
∵AC=20，
∴CG=ACsin60°=20×≈17.32，
∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；
∴能有效救援．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，先求出∠CAG=30°，再利用解直角三角形求出CG=ACsin30°=12×=6，最后利用线段的和差可得CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；
（2）过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，先求出∠CAG=60°，再利用解直角三角形求出CG=ACsin60°=20×≈17.32，最后利用线段的和差可得CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18，所以能有效救援。
25．（2019·乌鲁木齐模拟）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝5，OP＝3，求CB的长；
（3）设△AOP的面积是S1，△BCP的面积是S2，且 .若⊙O的半径为4，BP＝ ，求tan∠CBP.
【答案】（1）证明：连接OB，如图，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠A+∠APO＝90°，
∵CP＝CB，
∴∠CBP＝∠CPB，
而∠CPB＝∠APO，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设BC＝x，则PC＝x，
在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，
∵OB2+BC2＝OC2，
∴52+x2＝（x+3）2，
解得x＝ ，
即BC的长为 ；
（3）解：如图，作CD⊥BP于D，
∵PC＝PB，
∴PD＝BD＝ PB＝ ，
∵∠PDC＝∠AOP＝90°，∠APO＝∠CPD，
∴△AOP∽△PCD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OA＝4，
∴CD＝ ，
∴tan∠CBP＝ ＝2.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OB，由OP⊥OA，得∠A+∠APO＝90°；由CP＝CB，得∠CBP＝∠CPB；再由OA＝OB，得∠A＝∠OBA，而∠CPB＝∠APO，整理变形可得∠OBC＝90°，即BC是⊙O的切线；（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，由勾股定理可得关于x的方程52+x2＝（x+3）2，解方程即可求出CB的长；（3）作CD⊥BP于D，由PC＝PB，得PD＝BD＝ PB＝ ，易证△AOP∽△PCD，则由 ，可得 ，即 ，由此可求CD的长，再在Rt△BCD中，按照正切定义求出tan∠CBP即可.
26．（2023九下·昆山开学考）问题1如图①点A、B、C在⊙O上，且∠ABC=120°，⊙O的半径是3.求弧AC的长.
问题2如图②点A、B、C、D在⊙上，且弧AD=弧BC，E是AB的延长线上的.
（1）设BD=nBF，则n= ；
（2）如图③若G是线段BD上的一个点，且.试探究，在⊙上是否存在点P (B除外)使PG=PF 为什么
【答案】（1）2π
（2）解：如图，连接GF，过点B作AE的垂线，与GF交于点H，与圆的交点即是点P
由(1)得△BEF∽△AEC，
∵
∴BF=BG
∴△BGF为等腰三角形
∴∠FBE=∠CAE
∵弧AD=弧BC
∴∠ABD=∠CAB
∴∠DBA=∠FBE
∵∠ABH=∠EBH=90°
∴∠DBH=∠FBH
∴BH为GF的中垂线
∴PG=PF
故存在P.
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）问题一：解：如图，连接OA和OC
∵∠ABC=120°
∴∠AOC=360°-2∠ABC=120°
∴==
问题2：解：如图，连接AC
∵弧AD=弧BC
∴弧BD=弧AC
∴BD=AC
∵
∴，∠BEF=∠AEC
∴△BEF∽△AEC
∴
∴，即3BF=BD
∴n=3
【分析】（1）问题1：连接OA、OC，则∠AOC=360°-2∠ABC=120°，然后根据弧长公式进行计算；
问题2：连接AC，根据弧与弦的关系可得BD=AC，由已知条件可得，证明△BEF∽△AEC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2）连接GF，过点B作AE的垂线，与GF交于点H，与圆的交点即是点P，由（1）得△BEF∽△AEC，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得BF=BG，推出△BGF为等腰三角形，则∠FBE=∠CAE，由圆周角定理可得∠ABD=∠CAB，则∠DBA=∠FBE，进而推出BH为GF的中垂线，据此解答.
27．（2023九下·昆山开学考）已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为.
（1）原抛物线的函数解析式是 .
（2）如图①，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图②，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：如图，过P作交于M，
二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，
当时，，
解得，
当时，，
，，，
直线解析式为：
设，则
当时面积的最大值为，
；
（3）解：存在，理由如下：
由（2）可知，，
①如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，
即，，
是的中点，
②如图，为等腰三角形，为直角三角形，
即，，
设
解得：或（不合题意，舍去）
综上所述：或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为：
二次函数解析式为：
即，
故答案为：；
【分析】（1）根据顶点坐标可得二次函数的解析式为y=(x-3)2-4，然后化为一般形式即可；
（2）过P作PM⊥AB交BC于M，分别令二次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标，然后求出直线BC的解析式，设P（x，x2-6x+5），则M（x，-x+5），根据三角形的面积公式表示出S△PBC，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）由（2）可知OB=OC，∠OBC=45°，①△CQM为等腰直角三角形，△BQM为直角三角形，即CM=QM，∠CMQ=90°，则CM=BM，推出M为BC的中点，据此可得点M的坐标；②△CQM为等腰三角形，△BQM为直角三角形，即CM=QM，∠MQB=90°，易得BQ=QM=CM，设QM=BQ=CM=m，则BM=-m，然后在Rt△BMQ中，由勾股定理可得m的值，据此可得点M的坐标.
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