18.1.2平行四边形的判定（3） 课件（32张ppt）

(共32张PPT)
18.1.2平行四边形的判定（3）
人教版八年级下册
教学目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.（重点）
2.掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法.（难点）
3.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.（重点）
复习导入
问题 平行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
AB∥CD, AD∥BC
AB=CD, AD=BC
AB∥CD, AB=CD
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
新知讲解
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！
思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
新知讲解
1.什么叫三角形的中线？有几条？
2.三角形的中线有哪些性质？
A
B
C
D
E
F
　　连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.
①三角形的每一条中线把三角形的面积平分.
②三角形的中线相交于同一点.……
知识点 1
三角形的中位线
三角形有3条中线.
什么叫三角形的中位线呢？
新知讲解
三角形的中位线定理
一
概念学习
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则线段DE就称为△ABC的中位线.
新知讲解
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
新知讲解
问题3：如图，DE是△ABC的中位线，
DE与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
问题4：
新知讲解
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
分析1：
D
E
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的
第三边且等于第三边的一半．
问题3：如何证明你的猜想？
新知讲解
分析2：
D
E
互相平分
构造
平行四边形
倍长DE
新知讲解
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF AD ,
∴CF BD ,
又∵ ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， ．
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，
求证：
证一证
新知讲解
D
E
证明：
延长DE到F，使EF=DE．
F
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE=∠F
连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
证法2：
，AD=CF,
∴BD CF．
又∵ ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， ．
∴CF AD ,
新知讲解
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
D
E
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
则DE∥BC，DE= BC．
三角形中位线定理：
符号语言：
要点归纳
新知讲解
A
B
C
D
E
F
重要发现：
①中位线DE、EF、DF把△ABC
分成四个全等的三角形；有三
组共边的平行四边形，它们是
ADFE和 BDEF， BFED和 CFDE， ADFE和 DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
由此你知道怎样分蛋糕了吗
巩固练习
　　1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？
解：能在图中画出3个平行四边形，如图，连接DE，EF，FD，则四边形BFED，DECF，DFEA即为所画的3个平行四边形.
巩固练习
2.如图，直线l1∥l2，在l1，l2上分别截取AD，BC，使AD=BC，连接AB，CD.AB和CD有什么关系？为什么？
解：AB CD.
理由：∵ l1∥l2，即AD∥BC
又AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB CD
巩固练习
3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.怎样测出A，B两点间的距离？根据是什么？
解：分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，并量出DE的长，则AB=2DE.
根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
典例讲解
例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
典例讲解
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
典例讲解
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
归纳
针对训练
1. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1） 若DE=5，则BC= ．
（2） 若∠B=65°，则∠ADE= °．
（3） 若DE+BC=12，则BC= ．
10
65
8
针对训练
2.直角三角形的两条直角边长分别为6cm，8cm，则连接这两边中点的线段长为____cm.
5
3.三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，6cm，则这个三角形的周长为____cm.
26
典例讲解
例4 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
三角形的中位线与平行四边形的综合运用
二
分析：
典例讲解
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
归纳
针对训练
3.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，
FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= BD，
FG∥BD且FG= BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
典例讲解
证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥ BC，DE= BC.
∵CF= BC，
∴DE=FC．
例5 如图，等边△ABC的边长是2，D、E 分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
典例讲解
例5 如图，等边△ABC的边长是2，D、E 分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF．
（2）求EF的长．
解：∵DE∥FC，DE=FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴EF=DC= ．
当堂小结
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
拓展提高
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB.
∴CE＝BF.
∴CD＝2CE.
F
拓展提高
G
2.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG ， FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG.
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
谢谢
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