常见的几何证明类题总结

【题目1】在锐角三角形中，三个内角的度数都是质数，则满足条件的锐角三角形仅有一个
且为等腰三角形
【解析】三角形的内角和为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，三个内角不可均为奇数，而且小于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的质数中只有一
个偶数是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，故满足条件的锐角等腰三角形有且只有一个，即：内角为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
的三角形
【题目2】如图，线段 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的一个动点，分别以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为斜边
在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的同侧作两个等腰直角三角形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的长最短是________
【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
见图：∵两个三角形均为等腰三角形，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
故： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的最小值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【题目3】如图，在四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别是两组对边延长线的交点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别
平分 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 _____________
【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
见图，由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，可得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【题目4】【倍长中线→移形变位（不等关系及2倍关系）】
见图： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的中点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】延长 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 至 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，使得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ①
又易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ②
在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，由①②可知： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【题目5】【正方形中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 旋转问题→拼边凑角】
见图，已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别是正方形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的点，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】延长 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 至点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，使得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
由①②可得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目6】【经典导角、特殊三角形：三线，四边形对角线】
见图，在正方形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为对角线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上任意一点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，试判断 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 之间的位置关系，并加以
证明
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，延长 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则易证 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为对角线， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目7】【经典判断：有关三角形全等】
⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（ ）
⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等（ ）
⑶三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等（ ）
⑷一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等（ ）
【答案】×，×，×，×
【解析】见下图：
⑴
( http: / / www.21cnjy.com )
⑵
( http: / / www.21cnjy.com )
⑶略，⑷略
【题目8】【全等中的等积变换】
见图，等腰 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和等腰 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的腰长分别为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，且有共同的顶点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，若用 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 表示 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的面积
求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】过点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 分别向 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 作垂线，垂足分别为点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目9】【三角形三边与周长的关系】
将长度为18的木条做成三边长均为整数的三角形，那么这样做成的不同的三角形
个数为_________
【答案】7
【解析】设周长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，三角形的最大边为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则：
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，三边为： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，三边为： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，三边为： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【题目10】见图，易证四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 分别平分
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的长与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的长的大小关系是____________
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解析】方法一（截长法）：在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上取 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
方法二（补短法）：延长 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，使得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 三点共线，在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目11】【典型类等边三角形全等】
已知： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的度数
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
综上可得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目12】已知：在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 平分 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，过 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
作 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的垂线，交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 延长线于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】分别延长 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 相交于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则：等腰 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
易证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目13】三角形三边长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，且满足关系式： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，试判断这个三
角形的特征，写出你的结论并加以证明
【解析】∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 三者中至少有两个相等
∴三角形一定是等腰三角形
【题目14】已知：见图， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 经过点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【题目15】已知：如图， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是等腰直角三角形， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的面积
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】过 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 作 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的垂线，垂足分别为： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则易证：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目15】如图，四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的度数
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】根据题意易得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
作 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，易得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为正三角形，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目16】【外角定理，证明角之间的关系】
如图所示：已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 内的任意一点，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目17】设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 内的一点，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，证明： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目18】【利用中位线解题】
如图，在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的中点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 边上一点，
且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的长
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目19】【构造等边三角形→等腰三角形+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 】
如图所示，两条长度为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的线段 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 相交于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 点，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
【题目20】【代数方程与根的判别式】
求方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的实数根
【解析】将方程看成关于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的一元二次方程，则方程有解的条件为：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，代入方程得：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，解得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【题目21】【特殊双十字分解法】
解方程： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
【解析】用双十字相乘法： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
故分解为： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
解得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"