第七章 复数 高考真题训练-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

《第七章　复数》高考真题挑战
考点1　复数的有关概念
1.[2020浙江卷·2,4分]已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.[2020全国Ⅲ卷理·2,5分]复数的虚部是(　　)
A.- B.- C. D.
3.[2020江苏卷·2,5分]已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是　　　　.
考点2　复数的四则运算
4.[2022新高考Ⅱ卷·2,5分](2+2i)(1-2i)=(　　)
A.-2+4i B.-2-4i
C.6+2i D.6-2i
5.[2021浙江卷·2,4分]已知a∈R,(1+ai)i=3+i (i为虚数单位),则a=(　　)
A.-1 B.1 C.-3 D.3
6.[2021全国甲卷理·3,5分]已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　)
A.-1-i B.-1+i
C.-+i D.--i
7.[2021天津卷·10,5分]i是虚数单位,复数=　　　　　.
考点3　复数的模
8.[2020全国Ⅰ卷理·1,5分]若z=1+i,则|z2-2z|=(　　)
A.0 B.1 C. D.2
9.[2022北京卷·2,4分]若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=(　　)
A.1 B.5 C.7 D. 25
10.[2020全国Ⅱ卷理·15,5分]设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　.
考点4　共轭复数
11.[2022全国乙卷理·2,5分]已知z=1-2i, 且z+a+b=0, 其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1, b=-2 B.a=-1, b=2
C.a=1, b=2 D.a=-1, b=-2
12.[2022全国甲卷理·1,5分]若z=-1+i,则=(　　)
A.-1+i B.-1-i
C.-i D.-i
13.[2021全国乙卷理·1,5分]设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=(　　)
A.1-2i B.1+2i
C.1+i D.1-i
14.[2021新高考Ⅰ卷·2,5分]已知z=2-i,则z(+i)=(　　)
A.6-2i B.4-2i
C.6+2i D.4+2i
15.[2022新高考Ⅰ卷·2,5分]若i(1-z)=1,则z+=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
考点5　复数的几何意义
16.[2021新高考Ⅱ卷·1,5分]复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
17.[2020北京卷·2,4分]在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=(　　)
A.1+2i B.-2+i
C.1-2i D.-2-i
18.定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置复数,记为z'=b+ai,显然(z')'=z,即z与z'互为转置复数.
(1)结合共轭复数的一些运算性质,如 等,还有一些常用结论,如z= z∈R等,尝试发现两个有关转置复数的运算性质(如:(z1+z2)'=z'1+z'2)或其他结论;
(2)对任意的两个复数z1,z2,定义运算“*”:z1*z2=z'1··z'2,设z=x+yi(x,y∈R),求复平面上的点集M={(x,y)|z*z'=8}所围成区域的面积.
参考答案
1.C　因为a-1+(a-2)i是实数,所以a-2=0,所以a=2.故选C.
2.D　i,所以虚部为.
3.3　解析复数z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3.
4.D　(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.
5.C　方法一　因为(1+ai)i=-a+i=3+i,所以-a=3,解得a=-3.故选C.
方法二　因为(1+ai)i=3+i,所以1+ai==1-3i,所以a=-3.故选C.
6.B　z==-1+i.
7.4-i　解析=4-i.
8.D　通解　因为z=1+i,所以|z2-2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|=|-2|=2.故选D.
优解　因为z=1+i,所以|z2-2z|=|z||z-2|=×|-1+i|==2.故选D.
9.B　方法一　依题意可得z==-4-3i,所以|z|==5.
方法二　依题意可得i2·z=(3-4i)i,所以z=-4-3i,则|z|==5.
10.2　解析方法一　设z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则由|z1|=|z2|=2,得=4.因为z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i=+i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=()2+12=4,所以2x1x2+2y1y2=-4,所以|z1-z2|=|x1-x2+(y1-y2)i|==2.
方法二　设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=-a+(1-b)i,则即所以|z1-z2|2=(2a-)2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(a+b)+4=4×4-4×2+4=12,所以|z1-z2|=2.
方法三　题设可等价转化为向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=(,1),求|a-b|.因为(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,所以4+(a-b)2=16,所以|a-b|=2,即|z1-z2|=2.
方法四　设z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,z1+z2=z=+i,则z在复平面内对应的点为P(,1),所以|z1+z2|=|z|=2.由平行四边形法则,知四边形OAPB是边长为2,一条对角线也为2的菱形,则另一条对角线的长为|z1-z2|=×2=2.
11.A　由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i.又z+a+b=0,所以解得
12.C　=-i,故选C.(易错:一是分不清虚、实部,共轭复数写错;二是记不住i2=-1.)
13.C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,可得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.
14.C　因为z=2-i,所以z(+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.
15.D　因为i(1-z)=1,所以z=1-=1+i,所以=1-i,所以z+=(1+i)+(1-i)=2.
16.A　i,所以复数在复平面内对应的点为(,),位于第一象限.
17.B　由题意,知z=1+2i,所以i·z=i·(1+2i)=-2+i,故选B.
18.(1)有关转置复数的运算性质:
①z'=;②+()'=0.
(2)由运算“*”的定义得z*z'=z'··(z')'=i··z=-i2·z·+z·=2z·=8,得|z|=2,所以M所围成区域的面积S=4π.