第七章 复数 全章综合检测卷-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

《第七章　复数》全章综合检测卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2022福建漳州高一期末]已知复数(1+xi)i=2-yi,x,y∈R,则x-y=(　　)
A.3 B.1 C.-1 D.-3
2.若复数z满足(1-i)z=2+i(其中i为虚数单位),则=(　　)
A.-i B.i
C.-i D.i
3.若与i(a-ai)的虚部互为相反数,则实数a=(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
4.已知A,B是锐角三角形的两内角,则复数(sin A-cos B)+(sin B-cos A)i在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.[2022华南师大附中高一期中]在复平面内,O为坐标原点,复数z1=i(-4+3i),z2=7+i对应的点分别为Z1,Z2,则∠Z1OZ2的大小为(　　)
A. B. C. D.
6.[2022江苏省扬州中学高一期中]已知是复数z的共轭复数,若·z+10i=5z,则=(　　)
A.2 B.i
C.2或i D.2或i
7.[2022重庆十八中高一阶段练习]已知复数z满足,则的最小值为(　　)
A.1 B.2 C. D.
8.已知复数z1的实部为2,复数z2的虚部为-1,且为纯虚数,z1·z2为实数,若z1+z2在复平面内对应的点不在第一象限,则z1-z2对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.[2022湖南天壹名校联盟高一下大联考]已知i为虚数单位,复数z1=3+4i,z2=-4+3i,z3=1+i3,则(　　)
A.|z1|=|z2|
B.z1与z2互为共轭复数
C.z1+z2+z3为纯虚数
D.(z1-z2)z3=8-8i
10.对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3,下列命题为真命题的是(　　)
A.(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3)
B.z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3)
C.(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)
D.z1*z2=z2*z1
11.[2022江苏苏州高一期中]已知复数z1,z2,z3,是z1的共轭复数,则以下说法正确的是(　　)
A.若=0,则z1=z2=0
B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0且z2=0
C.若z1·z2是实数,则z2=
D.若z3=z1·z2,则|z3|=|z1|·|z2|
12.[2022江苏常州高一期末]瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系,并给出公式eiθ=cos θ+isin θ(i为虚数单位,e为自然对数的底数),这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式,下列说法正确的是(　　)
A.e3i表示的复数在复平面内对应的点位于第一象限
B.eiπ+1=0
C.(i)3=-1
D.cos θ=
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.[2022上海奉贤中学高一下月考]已知i是虚数单位,复数z满足z3=2+2i,则|z|=　　　　.
14.在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数a-b的值为　　　　.
15.[2022河北石家庄高一下期末]某同学在解题中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数(i是虚数单位).
①;②;③.
从三个式子中选择一个,求出这个常数为　　　　;根据三个式子的结构特征及计算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒等式　　　　　　　　.(本题第一空2分,第二空3分.)
16.已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i为虚数单位),z=+|ω-2|.写出一个以z为根的实系数一元二次方程为　　　　　　　　.
四、解答题:本题共2小题,共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)[2022江苏扬中市第二高级中学高一期末]已知复数z同时满足下列两个条件:
①z的实部和虚部都是整数,且在复平面内对应的点位于第四象限;②1(1)求复数z;
(2)求||.
18.(12分)已知复数z满足|z|=2且　　　　.
从条件①∈R,②z2=-2-2i,③z(-i)为纯虚数中选择一个填在横线上,并完成下列问题.
(1)求复数z;
(2)若复数z的虚部小于0,且|z+m-1|≥z·,求实数m的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
参考答案
一、单项选择题
1.C　因为(1+xi)i=2-yi,所以-x+i=2-yi,所以所以x-y=-1.
2.D　因为(1-i)z=2+i,所以z=,所以i,故选D.
3.D　=-1-i,i(a-ai)=a+ai,依题意得a-1=0,即a=1.
4.A　由题知A+B>,且00.同理可得sin B-cos A>0.
5.C　因为z1=i(-4+3i)=-3-4i,z2=7+i,所以=(-3,-4),=(7,1),所以·=-21-4=-25,所以cos∠Z1OZ2==-=-.又∠Z1OZ2∈[0,π],所以∠Z1OZ2=.
6.C　设z=a+bi(a,b∈R).因为·z+10i=5z,所以(a-bi)(a+bi)+10i=5(a+bi),所以a2+b2+10i=5a+5bi,所以解得或所以z=1+2i或z=4+2i,所以或=2.
7.B　设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足,所以由复数的几何意义可知,点Z到点和的距离相等,所以在复平面内点Z的轨迹为x轴.又表示点Z到点的距离,所以问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值,所以的最小值为2.
8.D　设z1=2+bi,z2=a-i,a,b∈R,因为为纯虚数,所以2a-b=0且2+ab≠0.因为z1·z2=(2+bi)(a-i)=(2a+b)+(ab-2)i为实数,所以ab=2.由解得或又z1+z2=(2+a)+(b-1)i在复平面内对应的点不在第一象限,所以不符合,于是z1-z2=(2-a)+(b+1)i=3-i对应的点在第四象限.
二、多项选择题
9.AC　依题意,复数z1=3+4i,z2=-4+3i,z3=1+i3=1-i.
A √ |z1|==5,|z2|==5.
B 复数z1=3+4i的共轭复数为=3-4i.
C √ z1+z2+z3=3+4i-4+3i+1-i=6i.
D 因为z1-z2=7+i,所以(z1-z2)z3=(7+i)(1-i)=8-6i.
10.AB　对于A,(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=(z1*z3)+(z2*z3),则A为真命题;对于B,z1*(z2+z3)=z1()=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),则B为真命题;对于C,(z1*z2)*z3=(z1)=z1,而z1*(z2*z3)=z1*(z2)=z1z3,则C为假命题;对于D,z1*z2=z1,而z2*z1=z2,则D为假命题.故选AB.
11.BD
12.BCD
三、填空题
13. 　解析由z3=2+2i,得|z3|=|2+2i|,即|z|3=|2+2i|=,所以|z|=.
14.-4　解析因为,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以解得所以a-b=-4.
15. i　=i　解析可选③,由复数的运算法则,可得=i;根据三个式子的结构特征及上式的计算结果,可以得到:=i,证明如下:=i.
16.x2-6x+10=0(答案不唯一)　解析由题知ω(1+2i)=4+3i,即ω==2-i,故z=+|-i|=3+i.若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根=3-i,因为z+=6,z·=10,所以所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0.(注:其他满足题意的一元二次方程均可.)
四、解答题
17.(1)设z=a+bi(a,b∈Z,且a>0,b<0),
则z+=a+bi+i.(3分)
因为1又b<0,所以a2+b2=2,
所以1<≤4,即因为a,b∈Z,a>0,b<0,所以所以z=1-i.(8分)
(2)由(1)可得=1+i+=1+i+i,(11分)
所以||=|i|=.(12分)
18.方案一　选择条件①.
(1)设z=a+bi(a,b∈R),则|z|==2,
即a2+b2=4.(2分)
因为∈R,
所以a+b=0.(4分)
由得或(5分)
所以z=1-i或z=-1+i.(6分)
(2)因为复数z的虚部小于0,所以z=1-i.(8分)
因为|z+m-1|≥z·,所以|1-i+m-1|≥(1-i)·(1+i),即≥4,(10分)
所以m≥或m≤-.(12分)
方案二　选择条件②.
(1)设z=a+bi(a,b∈R),
则|z|==2,即a2+b2=4.(2分)
因为z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=-2-2i,
所以a2-b2=-2,2ab=-2.(4分)
由,得或(5分)
所以z=1-i或z=-1+i.(6分)
(2)同方案一.
方案三　选择条件③.
(1)设z=a+bi(a,b∈R),
则|z|==2,即a2+b2=4.(2分)
因为z(-i)=(a+bi)(-i)=(a+b)+(b-a)i为纯虚数,
所以a+b=0,且b-a≠0.(4分)
由得或(5分)
所以z=1-i或z=-1+i.(6分)
(2)同方案一.