7.5正态分布常见题型总结+跟踪训练
一、知识梳理
1正态曲线：函数f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作X～N(μ，σ2).
正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
3、3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
二、常用结论
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知
(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；
(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(3)P(X
(4)P(a注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.
三、常见题型总结
题型一：正态分布密度函数及正态曲线
题型二：正态分布的概率
题型三：3σ原则
题型四：正态分布的综合应用
题型一：正态分布密度函数及正态曲线
例1 设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
跟踪训练
1、某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是( )
A．甲科总体的标准差最大
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体的平均数相同
2、某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其分布密度函数为f(x)＝·e－(x∈R)，则下列命题中错误的是( )
A．该市这次考试中数学的平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
3、已知三个随机变量的正态分布密度函数fi(x)＝·e－(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则( )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
4、设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
5、某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
6、已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝____.
题型二：正态分布的概率
例2 某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2)．若P(500≤X≤700)＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率为( )
A. B. C. D.
跟踪训练
1、已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，随机变量Y服从正态分布N(1,1)，且P(X>1)＝0.158 7，则P(1A．0.158 7 B．0.341 3
C．0.841 3 D．0.658 7
2、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2A．0.682 6 B．0.341 3
C．0.460 3 D．0.920 7
3、已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(－2A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.6
4、已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝P(X>8)＝0.15，则P(2≤X<5)＝( )
A．0.3 B．0.35
C．0.5 D．0.7
5、已知随机变量X，Y，Z满足X～N(3，σ2)，Y～N(1，σ2)，Z＝Y－1，且P(X>4)＝0.1，则P(Z2<1)的值为( )
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
6、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
7、含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%～20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X(单位：克)服从正态分布N(400,4)，某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为( )
A． B．
C． D．
8、在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N(86，σ2)，若已知P(80A．0.86 B．0.64
C．0.36 D．0.14
9、某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X近似服从正态分布N(110，σ2)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为_______．
10、设随机变量X～N(2，σ2)，P(011、一试验田某种作物一株生长的果实个数X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量Y，且Y服从二项分布，则Y的方差为_______．
题型三：3σ原则
例3 某袋装加碘食盐的质量X(单位：克)服从正态分布N(500，4)，某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋，则质量在(498，504]内的袋数约为( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．82 B．80 C．84 D．86
跟踪训练
1、2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标X～N(15,0.002 5)，单位为g，该厂每天生产的质量在(14.9 g,15.05 g)的口罩数量为818 600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15 g以上的口罩数量为( )
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σA．158 700 B．22 750
C．2 700 D．1 350
2、在某市2021年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 454人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A．1 500名 B．1 700名
C．4 500名 D．8 000名
3、某地用随机抽样的方式检查了10 000名成年男子的红细胞数(1012/L)，发现成年男子红细胞数服从正态分布，其中均值为4.78(1012/L)，标准差为0.38(1012/L)，则样本中红细胞数不高于4.02(1012/L)的成年男子人数大约为( )
(附：P(μ－σA．228 B．456
C．1 587 D．4 772
4、某厂生产的零件外径尺寸为X(单位：cm)且X～N(10，0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm，9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
5、据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A.0.682 7 B.0.841 3
C.0.818 6 D.0.954 5
6、已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额X(单位：元)服从正态分布N(2 000,1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1 900，2 200)内的概率为( )
附：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σA．0.975 9 B．0.84
C．0.818 6 D．0.477 2
7、(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35
8、(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是( )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A.E(X)＝100
B.D(X)＝100
C.P(X＞90)≈0.841 35
D.P(X＜120)≈0.998 65
9、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X10、为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为_______；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有_______人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
11、若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，设X～N(1，σ2)，且P(X≥3)＝0.158 65，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________.
12、为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计μ，σ2 的值；
(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由．
(参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841 37≈0.298 3，0.841 36≈0.354 6，0.158 73≈0.004 0，0.158 74≈0.000 6，P(μ－σ题型四：正态分布的综合应用
例4从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：
(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(175.6②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z (175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元，若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这些产品的利润，求E(Y)．
附：≈12.2，若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ跟踪训练
1、在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.
(1)求这4 000名学生的竞赛平均成绩 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少？
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，≈14.31；②0.841 34≈0.501；③z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜z＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)≈0.954 5.
2、十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(ⅰ)根据频率分布直方图，估计50位农民的平均年收入(单位：千元)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(ⅱ)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入标准大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附参考数据：≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3.7.5正态分布常见题型总结+跟踪训练（答案）
一、知识梳理
1正态曲线：函数f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作X～N(μ，σ2).
正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
3、3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
二、常用结论
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知
(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；
(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(3)P(X(4)P(a注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.
三、常见题型总结
题型一：正态分布密度函数及正态曲线
题型二：正态分布的概率
题型三：3σ原则
题型四：正态分布的综合应用
题型一：正态分布密度函数及正态曲线
例1 设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是( B )
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
解：由正态分布密度函数的定义和解析式可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
跟踪训练
1、某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是( D )
A．甲科总体的标准差最大
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体的平均数相同
解：不妨设成绩ξ服从正态分布N(μ，σ2)，由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，x＝μ为正态曲线的对称轴，且μ为平均数，由题干所给图象可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大， 甲、乙、丙总体的平均数相同，故D正确．
2、某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其分布密度函数为f(x)＝·e－(x∈R)，则下列命题中错误的是( B )
A．该市这次考试中数学的平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
解：由分布密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数为100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．
3、已知三个随机变量的正态分布密度函数fi(x)＝·e－(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则( D )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
解：因为正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图象关于同一条直线对称，所以μ2＝μ3.又f2(x)的图象的对称轴在f1(x)的图象的对称轴的右边，所以μ1<μ2＝μ3.因为σ越大，曲线越“矮胖”．σ越小，曲线越“瘦高”，由图象，可知正态密度函数f1(x)和f2(x)的图象一样“瘦高”，f3(x)的图象明显“矮胖”，所以σ1＝σ2<σ3.故选D.
4、设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( C )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
解：由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，B错误．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误．
5、某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( D )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
解：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．
6、已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝__2__.
解：因为X服从正态分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，
所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X＝2，所以μ＝2.
题型二：正态分布的概率
例2 某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2)．若P(500≤X≤700)＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率为( C )
A. B. C. D.
解：根据正态曲线的对称性，每个收费口每天通过的小汽车数超过700辆的概率P(X>700)＝[1－P(500≤X≤700)]＝×(1－0.6)＝，所以这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率P＝1－(1－)3＝
跟踪训练
1、已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，随机变量Y服从正态分布N(1,1)，且P(X>1)＝0.158 7，则P(1A．0.158 7 B．0.341 3
C．0.841 3 D．0.658 7
解：由正态曲线的性质知，随机变量X、Y的正态曲线形状相同，(如图)．
由题意P(Y>2)＝P(X>1)＝0.158 7，
∴P(12、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2A．0.682 6 B．0.341 3
C．0.460 3 D．0.920 7
解：因为随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，所以P(X≤2)＝0.158 7，所以P(23、已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(－2A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.6
解：由P(X<4)＝0.9，得P(X≥4)＝0.1.
又正态曲线关于x＝1对称．
则P(X≤－2)＝P(X≥4)＝0.1，
所以P(－24、已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝P(X>8)＝0.15，则P(2≤X<5)＝( B )
A．0.3 B．0.35
C．0.5 D．0.7
解：根据题意，正态分布N(μ，σ2)，
若P(X<2)＝P(X>8)＝0.15，则μ＝5，
即这组数据对应的正态曲线的对称轴x＝5，则P(X<5)＝0.5，
又由P(X<2)＝0.15，得
P(2≤X<5)＝0.5－0.15＝0.35.
5、已知随机变量X，Y，Z满足X～N(3，σ2)，Y～N(1，σ2)，Z＝Y－1，且P(X>4)＝0.1，则P(Z2<1)的值为( C )
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
解：由题意得随机变量X和Y所对的正态密度曲线的形状相同，它们的对称轴分别为x＝3和x＝1，因此，P(Y>2)＝P(X>4)＝0.1，而Z＝Y－1，则P(Z>1)＝P(Y－1>1)＝P(Y>2)＝0.1，于是得P(Z2<1)＝P(－16、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝( A )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解：由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
7、含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%～20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X(单位：克)服从正态分布N(400,4)，某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为( A )
A． B．
C． D．
解：因为X(单位：克)服从正态分布N(400,4)，所以P(X>400)＝.
设4袋海藻碘食用盐中质量超过400克的袋数为Y，则Y～B，则至少有2袋的质量超过400克的概率为1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－4－C3×＝.
8、在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N(86，σ2)，若已知P(80A．0.86 B．0.64
C．0.36 D．0.14
解：由题意P(86∴P(X>92)＝0.5－0.36＝0.14，故选D．
9、某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X近似服从正态分布N(110，σ2)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为___15____．
解：因为X近似服从正态分布N(110，σ2)，P(100≤X≤110)＝0.35，
所以P(110≤X≤120)＝P(100≤X≤110)＝0.35，
由正态分布的对称性可知：
P(X>120)＝0.5－P(110≤X≤120)＝0.5－0.35＝0.15，
所以综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为0.15×100＝15.
10、设随机变量X～N(2，σ2)，P(0解：P(X<0)＝P(X<2)－P(0≤X<2)＝0.5－0.15＝0.35.
11、一试验田某种作物一株生长的果实个数X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量Y，且Y服从二项分布，则Y的方差为___2.1_____．
解：因为X～N(90，σ2)，且P(X＜70)＝0.2，
所以P(X＞110)＝0.2，
所以P(90≤X≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
所以Y～B(10，0.3)，
Y的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
题型三：3σ原则
例3 某袋装加碘食盐的质量X(单位：克)服从正态分布N(500，4)，某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋，则质量在(498，504]内的袋数约为( A )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．82 B．80 C．84 D．86
解：因为X～N(500，4)，则有μ＝500，σ＝2，498＝μ－σ，504＝μ＋2σ，于是得质量X在(498，504]内的概率为P(μ－σ跟踪训练
1、2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标X～N(15,0.002 5)，单位为g，该厂每天生产的质量在(14.9 g,15.05 g)的口罩数量为818 600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15 g以上的口罩数量为( D )
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σA．158 700 B．22 750
C．2 700 D．1 350
解：由题意知，X～N(15,0.002 5)，
即μ＝15，σ2＝ 0.002 5，即σ＝0.05；
所以P(14.9所以该厂每天生产的口罩总量为
818 600÷0.818 6＝1 000 000(件)，
又P(X>15.15)＝P(X>μ＋3σ)＝，
所以估计该厂每天生产的质量在15.15 g以上的口罩数量为1 000 000×＝1 350(件)．
2、在某市2021年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 454人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( A )
A．1 500名 B．1 700名
C．4 500名 D．8 000名
解：由题意得μ＝98，σ＝10，则P(X>108)＝[1－P(883、某地用随机抽样的方式检查了10 000名成年男子的红细胞数(1012/L)，发现成年男子红细胞数服从正态分布，其中均值为4.78(1012/L)，标准差为0.38(1012/L)，则样本中红细胞数不高于4.02(1012/L)的成年男子人数大约为( A )
(附：P(μ－σA．228 B．456
C．1 587 D．4 772
解：依题意得，μ＝4.78，σ＝0.38，根据附录数据，P(4.02由正态曲线得对称性，P(X≤4.02)＝≈，于是样本中红细胞数不高于4.02(1012/L)的成年男子人数大约为10 000×＝228.故选A.
4、某厂生产的零件外径尺寸为X(单位：cm)且X～N(10，0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm，9.3 cm，则可认为( A )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
解：因为零件外径尺寸X～N(10，0.04)，μ＝10，σ＝0.2，所以根据3σ原则，外径在10－3×0.2＝9.4(cm)与10＋3×0.2＝10.6(cm)之外时为异常．
从上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm和9.3 cm，所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常．故选A.
5、据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为( C )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A.0.682 7 B.0.841 3
C.0.818 6 D.0.954 5
解：由题意得σ＝5，则P(80－5≤X≤80＋5)≈0.682 7，所以P(75≤X≤85)≈0.682 7；P(80－10≤X≤80＋10)≈0.954 5，所以P(70≤X≤90)≈0.954 5.所以P(85≤X≤90)≈＝0.135 9，所以果实横径在[75，90]内的概率为0.682 7＋0.135 9＝0.818 6.
6、已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额X(单位：元)服从正态分布N(2 000,1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1 900，2 200)内的概率为( C )
附：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σA．0.975 9 B．0.84
C．0.818 6 D．0.477 2
解：∵服从正态分布N(2 000,1002)，
∴μ＝2 000，σ＝100，
则P(1 9007、(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是( ABD )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35
解：对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；
对于选项BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；
对于选项D：P(280＜X＜320)＝P(μ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7×≈0.341 35，正确.
8、(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是( ABC )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A.E(X)＝100
B.D(X)＝100
C.P(X＞90)≈0.841 35
D.P(X＜120)≈0.998 65
解：∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，
∴正态曲线关于x＝100对称，且E(X)＝100，D(X)＝102＝100，
根据题意可得，P(90≤X≤110)≈0.682 7，P(80≤X≤120)≈0.954 5，
∴P(X＞90)≈0.5＋×0.682 7＝0.841 35，故C正确；
P(X＜120)≈0.5＋×0.954 5＝0.977 25，故D错误.而A，B都正确.故选ABC.
9、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X解：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X10、为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为__0.16_____；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有____10____人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
解：因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X＜82.5)＝≈＝0.16.
又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P(X＞135)＝≈＝0.02.
又P(X＜82.5)＝P(X＞117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是×0.02＝10.
11、若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，设X～N(1，σ2)，且P(X≥3)＝0.158 65，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是_____(－13，13)___.
解：因为X～N(1，σ2)，所以μ＝1，所以P(X＞3)＝P(X＜－1)＝[1－P(－1≤X≤3)]，因为P(X＞3)＝0.158 65，所以P(－1≤X≤3)＝0.682 7，所以1－σ＝－1，1＋σ＝3，所以σ＝2，由题意知，只需圆心(0，0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d满足0≤d＜1即可.
∵d＝＝，∴0≤＜1，∴0≤|c|＜13，∴－13＜c＜13，∴c的取值范围是(－13，13).
12、为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计μ，σ2 的值；
(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由．
(参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841 37≈0.298 3，0.841 36≈0.354 6，0.158 73≈0.004 0，0.158 74≈0.000 6，P(μ－σ解：(1)μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋0.1×18＝10，
σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2.
(2)正常．理由如下：
μ＋σ＝10＋4.38＝14.38，
设“3名乘客候车时间超过15分钟”的事件为A，
P(X>14.38)＝≈0.158 7，
P(A)＝C×(0.158 7)3×(0.841 3)7≈0.143>0.003，
所以准点率正常．
题型四：正态分布的综合应用
例4从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：
(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(175.6②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z (175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元，若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这些产品的利润，求E(Y)．
附：≈12.2，若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解：(1)由题意得
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200
s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150.
即样本平均数为200，样本方差为150.
(2)①由(1)可知，μ＝200，σ＝≈12.2，
∴Z～N(200,12.22)，∴P(175.6＝P(μ－2σ②设X表示100件产品的正品数，
题意得X～B(100,0.95)，∴E(X)＝95，
∴E(Y)＝16E(X)－48×5－100×10＝280.
跟踪训练
1、在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.
(1)求这4 000名学生的竞赛平均成绩 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少？
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，≈14.31；②0.841 34≈0.501；③z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜z＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)≈0.954 5.
解 (1)由题意知
中点值 45 55 65 75 85 95
频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，
∴这4 000名学生的竞赛平均成绩为70.5分.
(2)依题意z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，σ2＝s2＝204.75，σ＝14.31，
∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5，14.312)，
而P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝P(56.19＜z＜84.81)≈0.682 7，
∴P(z≥84.81)≈≈0.158 7.
又0.158 7×4 000＝634.8≈635.
∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为635.
(3)全市竞赛考生的成绩不超过84.81分的概率p≈1－0.158 7＝0.841 3.
而ξ～B(4，0.841 3)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 34≈1－0.501＝0.499.
2、十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(ⅰ)根据频率分布直方图，估计50位农民的平均年收入(单位：千元)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(ⅱ)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入标准大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附参考数据：≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3.
解：(ⅰ)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40千元．
故估计50位农民的年平均收入为17.40千元．
(ⅱ)由题意知X～N(17.40,6.92)，
①P(X>μ－σ)＝＋≈0.841 4，
所以μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意，
即最低年收入大约为14.77千元．
②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋≈0.977 3，
每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，
记1 000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为X
则X～B(1 000，p)，其中p＝0.977 3
于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为
P(X＝k)＝Cpk(1－p)1 000－k，
从而由＝>1，得k<1 001p
而1 001p＝978.277 3，所以，
当0≤k≤978时，P(X＝k－1)当979≤k≤1 000时，P(X＝k－1)>P(X＝k)，
由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人．