《一元函数的导数及其应用》章末测试
（能力提升）（答案）
一、单项选择题
1、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，则实数a的值为( D )
A．－2 B．－
C． D．2
解：
＝－ ＝－a，则－a＝1－a，解得a＝2，故选D.
2、已知曲线y＝x＋在点(1，1)处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则k的值为( A )
A．1 B．－1
C． D．－
解：易知点(1，1)在曲线y＝x＋上．令f(x)＝x＋，则f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝1＋，即曲线y＝x＋在点(1，1)处的切线的斜率为1＋，
又该切线与直线x＋2y＝0垂直，直线x＋2y＝0的斜率为－，所以1＋＝2，解得k＝1，故选A.
3、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( D )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
解： 结合题目所给图象进行分段分析，
当x<－3时，(x－1)3<0，得f′(x)<0；当－3
0；当10，得f′(x)>0；当x>3时，(x－1)3>0，得f′(x)<0.根据极值点的定义可知，当x＝－3时，f(x)取得极小值f(－3)，当x＝3时，f(x)取得极大值f(3)，x＝1的左、右两边导函数值都大于零，因此不是原函数的极值点，故选D.
4、已知函数f(x)＝xex－，则( C )
A．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上单调递减
B．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
C．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减
D．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
解：由f(x)＝xex－，可得f(－x)＝－xe－x－＝xex－＝f(x)，故f(x)为偶函数，所以A，B错误；由f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)，当x<0时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以C正确，D错误．故选C.
5、函数f(x)＝，若a＝f(4)，b＝f(5.3)，c＝f(6.2)，则( )
A．aC．c解：由f(x)＝(x>0)，得f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e，则当x>e时，f′(x)<0，则函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．∵e<4<5.3<6.2，∴f(4)>f(5.3)＞f(6.2)，即a＞b>c.故选B.
6、当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝( B )
A．－1 B．－
C． D．1
解：因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2，所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－，故选B.
7、已知函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，则实数a的取值范围为( D )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(0，2] D．(0，2)
解： 函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－4＋＝.因为函数f(x)有两个极值点，
所以方程f′(x)＝0有两个正根，
所以方程2x2－4x＋a＝0有两个正根x1，x2，所以得0＜a＜2.
8、如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2x ln x－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是( C )
A．(－∞，0] B．(－∞，2]
C．(－∞，4] D．(－∞，6]
解：由题意可知，f(x)≤g(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤2ln x＋x＋对任意x∈(0，＋∞)恒成立．设h(x)＝2ln x＋x＋，则h′(x)＝＋1－＝，x>0，易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，故a≤4.
二、多项选择题
9、下列求导运算正确的是( BD )
A.′＝1＋
B.(log2x)′＝
C.(5x)′＝5xlog5x
D.(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x
10、如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是( AD )
A．x＝－2是函数y＝f(x)的极值点
B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点
C．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值
D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
解：根据导函数y＝f′(x)的图象可得，y＝f′(x)在(－∞，－2)上小于零，在(－2，1)，(1，＋∞)上大于零，且f′(－2)＝0，故函数f(x)在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数，故x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点，故A正确；x＝1不是函数y＝f(x)的极值点，故B不正确；根据x＝－1的两侧均为单调递增函数，故x＝－1不是极值点，故C不正确；根据y＝f(x)在区间(－2，2)上的导数大于或等于零可知，f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故D正确．
11、已知函数f(x)＝x ln (1＋x)，则( AC )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)有两个零点
C．曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2
D．f(x)是偶函数
解：函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ln (1＋x)＋，对于A，当x∈(0，＋∞)时，ln (1＋x)＞0，＞0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；对于B，令f(x)＝0，得x＝0或ln (1＋x)＝0，解得x＝0，所以f(x)只有一个零点，故B错误；对于C，因为f′＝ln －1＝－ln 2－1，所以曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2，故C正确；对于D，因为函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，故D错误．综上所述，选AC.
12、已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( AC )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
解：因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)＝3x2－1>0得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－因为f(x)的极小值f＝－＋1＝1－>0，
f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误．
因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0，0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0，1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确．
假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，则切点坐标为(1，1)，但点(1，1)不在直线y＝2x上，若x0＝－1，则切点坐标为(－1，1)，但点(－1，1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．故选AC.
三、填空题
13、若曲线y＝e－x在点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是___(－ln 2，2)_____．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.
又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y0＝e－x0＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2).
14、若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝___4_____.
解： f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
15、已知函数f(x)＝a ln x－sin x＋x在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为__[0，＋∞)______．
解：f′(x)＝－cos x＋1(x>0).
若a≥0，因为x>0，1－cos x≥0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合要求．
若a<0，则当x∈时，<－2，从而f′(x)<－2－cos x＋1＝－(1＋cos x)≤0，
所以f(x)在上单调递减，不符合要求．
综上，a的取值范围是[0，＋∞).
16、已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，f′(x)>2，f(2)＝4，则不等式xf(x－1)＞2x2－2x的解集为____(－∞，0)∪(3，＋∞)____．
解： 设F(x) ＝f(x)－2x.
则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以函数F(x)在R上单调递增，又f(2)＝4，所以F(2)＝f(2)－2×2＝4－2×2＝0.不等式xf(x－1)＞2x2－2x可转化为x[f(x －1)－2(x － 1)]>0，
即xF(x－1)＞0，所以
或解得或即x＞3或x<0，所以不等式xf(x－1)＞2x2－2x的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)
解答题
17、设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为
y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又∵f′(x)＝a＋，
∴解得
∴f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0).令x＝0，得y＝－，∴切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
18、已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)<0，
所以h(x)在区间上单调递减，
所以对任意x∈有h(x)所以函数f(x)在区间上单调递减.
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.
19、已知函数f(x)＝(a≥0，e为自然对数的底数).讨论f(x)的单调性．
解： 由题意得，
f′(x)＝
＝.
①若a＝0，则f′(x)＝，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝2，则当x∈，x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
20、已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A，所以－4a－4a－2＝，解得a＝2，
即f(x)＝x3－x2－2x－2，所以f′(x)＝x2－x－2.
由f′(x)>0，得x<－1或x>2.
所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞).
(2)由(1)知f(x)极大值＝f(－1)＝－－＋2－2＝－，
f(x)极小值＝f(2)＝－2－4－2＝－，
由数形结合，可知要使函数g(x)＝f(x)－2m＋3有三个零点，则－＜2m－3＜－，解得－＜m＜.
所以m的取值范围为.
21、设函数f(x)＝ax2＋ln x＋x.
(1)当a＝－1时，判断f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋ln x＋x(x>0)，
所以f′(x)＝－2x＋＋1＝＝－＝－，
当00，所以f(x)在(0，1)上单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
(2)因为函数f(x)的图象与x轴没有公共点，所以f(x)≠0恒成立．
若f(x)＝0有解，则关于x的方程－ax2＝ln x＋x(x>0)有解，
等价于关于x的方程－a＝(x＞0)有解．
令p(x)＝(x>0)，则p′(x)＝，
令q(x)＝1－x－2ln x(x>0)，则q′(x)＝－1－<0恒成立，
所以q(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又q(1)＝0，
所以当0q(1)＝0，当x>1时，q(x)所以当00，当x>1时，p′(x)<0，
所以p(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以p(x)max＝p(1)＝1.
当x>0且x→0时，p(x)→－∞，当x>1时，p(x)>0，
若直线y＝－a与函数p(x)的图象有交点，
则－a≤1，即a≥－1，
所以要使函数f(x)的图象与x轴没有公共点，则a的取值范围为(－∞，－1).
22、已知函数f(x)＝x ln x.
(1)判断f(x)的单调性；
(2)设方程f(x)－2x＋1＝0的两个根分别为x1，x2，求证：2e解：(1)f′(x)＝ln x＋1，x∈(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝，
当0时，f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)证明 令g(x)＝f(x)－2x ＋1，
则g′(x)＝ln x－1，
令g′(x)＝0，得x＝e，当0g′(x)<0，当x>e时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
又g(e)<0，所以不妨设0要证x1＋x2>2e，即证x2>2e－x1，
即证g(x2)>g(2e－x1).
因为g(x2)＝g(x1)，所以即证g(x1)>g(2e－x1).
令h(x)＝g(x)－g(2e－x)，x∈(0，e)，
则h′(x) ＝ln x－2＋ln (2e－x)＝ln (2ex－x2)－2＝ln [－(x－e)2＋e2]－2 <0，
所以h(x)在(0，e)上单调递减，
所以h(x)>0，从而必有g(x2)>g(2e－x1)，
即x1＋x2＞2e.《一元函数的导数及其应用》章末测试
（能力提升）
一、单项选择题
1、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，则实数a的值为( )
A．－2 B．－
C． D．2
2、已知曲线y＝x＋在点(1，1)处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则k的值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
3、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
4、已知函数f(x)＝xex－，则( )
A．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上单调递减
B．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
C．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减
D．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
5、函数f(x)＝，若a＝f(4)，b＝f(5.3)，c＝f(6.2)，则( )
A．aC．c6、当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝( )
A．－1 B．－
C． D．1
7、已知函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(0，2] D．(0，2)
8、如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2x ln x－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，2]
C．(－∞，4] D．(－∞，6]
二、多项选择题
9、下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋
B.(log2x)′＝
C.(5x)′＝5xlog5x
D.(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x
10、如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是( )
A．x＝－2是函数y＝f(x)的极值点
B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点
C．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值
D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
11、已知函数f(x)＝x ln (1＋x)，则( )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)有两个零点
C．曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2
D．f(x)是偶函数
12、已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
三、填空题
13、若曲线y＝e－x在点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
14、若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________.
15、已知函数f(x)＝a ln x－sin x＋x在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
16、已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，f′(x)>2，f(2)＝4，则不等式xf(x－1)＞2x2－2x的解集为________．
解答题
17、设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
18、已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
19、已知函数f(x)＝(a≥0，e为自然对数的底数).讨论f(x)的单调性．
20、已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围．
21、设函数f(x)＝ax2＋ln x＋x.
(1)当a＝－1时，判断f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
22、已知函数f(x)＝x ln x.
(1)判断f(x)的单调性；
(2)设方程f(x)－2x＋1＝0的两个根分别为x1，x2，求证：2e