人教版八年级下册17.1勾股定理 同步练习(含解析)

17.1 勾股定理 同步练习
一、单选题
1．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）
A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm
2．“勾股定理”的证明方法有四百多种，其中最美妙的莫过于“赵爽弦图”的无字证明．下列图案中哪一个是“赵爽弦图”？（ ）
A． B． C． D．
3．下面是一些中外数学家与他们在数学发展史上所作出的伟大成就．
a．笛卡尔；b．赵爽；c．杨辉；d．莱布尼茨；
①用“勾股圆方图”证明勾股定理；②杨辉三角；
③建立微积分理论；④创建坐标系，建立坐标思想．
其中匹配正确的一项是（ ）
A．a-③；b-①；c-②；d-④ B．a-④；b-①；c-②；d-③
C．a-④；b-②；c-①；d-③ D．a-③；b-④；c-②；d-①
4．如图，在中，，为上一点，且，又的面积为10，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长是（ ）
A．10 B．10或 C．10或8 D．
6．如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.已知AB=5,BC=8,则AD的长为 ( )
A．5 B．4 C．3 D．6
7．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝2，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（ ）
A． B．3 C．4 D．2
8．如图，在2×2正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A、B、C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则以B，C，D为顶点的三角形面积为( )
A． B． C． D．
9．如图，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．60 C．36 D．72
10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．121 B．110 C．100 D．90
二、填空题
11．如图，在和中，，点在上.若，，，则______.
12．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝_____．
13．如图所示，在中，，，若，则__________．
14．如图，点是射线外一点，连接，cm，点到的距离为3cm．动点从点出发沿射线以2cm/s的速度运动．设运动的时间为秒，当为__________秒时，为直角三角形．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是_____．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（）．
(1)若点P在AC上，求出此时线段PC的长（用含t的代数式表示）；
(2)在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．
17．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t(s)．
(1)求BC边的长．
(2)当为直角三角形时，求t的值．
18．如图所示，在一棵树的10米高的处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的处．另一只猴子爬到树顶处后顺绳子滑到处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．
参考答案：
1．B
【详解】最短路径
故答案为：B．
2．D
【详解】由“赵爽弦图”的图形特征可知选D
故选：D．
3．B
【详解】解：根据笛卡尔创建坐标系，建立坐标思想；赵爽用“勾股圆方图”证明勾股定理；杨辉发现了杨辉三角；莱布尼茨建立微积分理论；
即a-④；b-①；c-②；d-③，
故选：B．
4．B
【详解】解：∵
∴DA·BC=20
∵DA=5
∴BC=4
在Rt△BCD中，BC=4,DB=5
∴CD=．
故选B．
5．B
【详解】试题分析：①当8cm是斜边时，第三边长=cm；②当6cm和8cm是直角边时，第三边长=cm；故第三边的长为：cm或10cm．故选B．
考点：1．勾股定理；2．分类讨论．
6．C
【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，AB=5,BC=8.
∴BD=BC=4，
由勾股定理得，AD= =3（cm），
故选C．
7．D
【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理得．
在Rt△ADC中，由勾股定理得．
在Rt△ADE中，由勾股定理得．
8．D
【详解】解：连接AD，
由勾股定理得，DE= ，
∴CD=EC-ED=2- ，
∴△BCD的面积= ，
故选D．
9．C
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∴四边形的面积为
，
故选：C．
10．B
【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形．
，
，
又直角中，，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
所以，矩形是正方形，
边长，
所以，，，
因此，矩形的面积为，
故选B．
11．5
【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=5，
∵△ABC≌△EDB，
∴DE=AB=5.
12．
【详解】∵AB=BD=4，
∴∠BAE=∠BDE，
又∵CB⊥BD，
∴∠DBE=∠CAB=90°，
∴∠DEB=90°－∠BDE，
∠CAE=90°－∠BAE，
∴∠CAE=∠DEB，
又∵∠CAE=∠DEB，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=EC，
又∵BE=1，
∴BC=AC＋1，
在Rt△ABC中，有勾股定理可知：AC ＋AB =BC ，
∴AC ＋4 =（AC＋1） ，
∴AC=，
故答案为：．
13．
【详解】在中，，
是等腰直角三角形
故答案为：．
14．2或
【详解】解：①如图1，当∠APB＝90°时，
由题意得：AP＝3cm，
∴（cm），
∴t＝（秒）；
②如图2，当∠BAP＝90°时，过点A作AD⊥BC于D，
由①可知，AD＝3，BD＝4，
在Rt△ADP中，AD2＋DP2＝AP2，
∴32＋DP2＝AP2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
∴，
∴，
∴BP＝4＋＝，
∴秒，
综上，当为2秒或秒时，为直角三角形．
15．18
【详解】解：如图连接DP,设AD＝BD＝25k，CD＝7k，
在Rt△DCB中，BC＝ ＝24k，
在Rt△ACB中，∵AC2+BC2＝AB2，
∴（32k）2+（24k）2＝302，
∴k＝，
∴BC＝18，
∵S△ABD＝ AD BC＝ AD PE+ BD PF，AD＝BD
∴PE+PF＝BC＝18，
故答案为18
16【详解】（1）解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴由勾股定理得AC＝＝8cm，
AB+AC=10+8=18cm
∴PC=18-4t．
∴线段PC的长为（18-4t）cm．
（2）解：当点P在AB边上且PC＝BC时，
过点C做CD⊥AB于点D，则PB＝2BD
∵，
∴
∴，
∴
即，
∴．
当点P在AC边上时，则PC＝BC
即18－4t＝6，
∴t＝3
综合上述，当或t＝3时，△BCP是以PB为底的等腰三角形．
17．
（1）在中，
由勾股定理得，
∴．
（2）
由题意知．
①当时，如图1，点P与点C重合，，
∴．
②当时，如图2，，．
在中，，
在中，，
因此，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或．
图1 图2
18解：设树高为米，由题意得，米，米，米，米，
在中， ．
∵两只猴子所经过的距离相等，，
即，解得：，即树高米．
答：这棵树的高为米．