数学人教A版（2019）必修第二册8.5.1 直线与直线平行 课件（共28张ppt）

(共28张PPT)
第 8章 立体几何初步
人教A版2019必修第二册
8.5.1 直线与直线平行
学习目标：
1.掌握基本事实4的内容及应用；
2.理解空间等角定理的内容及应用.
教学重点：
基本事实4与等角定理的应用.
教学难点：
等角定理中角的相等与互补的辨别.
在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理.类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容.本节我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质.
复习引入
问题1 我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，
并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行. 在空间中，是否也有类似的结论？例如，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，DC//AB, A′B′ //AB. DC与A'B'平行吗
A
C
B
A′
C′
B′
D
D′
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.
A'
A
B
B'
C
C'
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行. 它给出了判断空间两条直线平行的依据. 基本事实4表达的性质通常叫做平行线的传递性.
例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，
CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：
B
C
A
H
D
E
G
F
练习一
如图，在三棱柱中，E,F分别是AB,AC上的点，且AE:EB=AF:FC,则EF与位置关系是_______
解：平行
由平行线分线段成比例定理的性质得EF//BC,从而可判断结论。
在△ABC中∵AE:EB=AF:FC∴EF//BC
又BC// ,所以EF//
练习二
如图，E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
证明：如图，设Q是DD1的中点，连EQ、QC1.
∵E是 AA1的中点∴ EQ//A1D1 EQ=A1D1
又在矩形 A1B1C1D1 中，B1C1//A1D1, B1C1//A1D1 ，
∴ EQ//B1C1,EQ=B1C1 (平行公理）
∴四边形EQB1C1为平行四边形
∴B1E//C1Q,B1E=C1Q又∵Q、F是矩形DD1CC1
的两边的中点，∴ QD//C1F,QD=C1F ,
∴四边形DQC1F是平行四边形
∴DF//C1Q,DF=C1Q
∵B1E//C1Q,B1E=C1Q
∴B1E//DF,B1E=DF,
∴四边形B1EDF是平行四边形
总结：证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实：即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
问题2 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别
对应平行，那么这两个角关系如何？在空间中，这一结论是否仍然成立
与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如下图所示的两种位置.
相等或互补
由此我们得到以下定理：
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
如图，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD=A'D'，AE=A'E'.连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'.
证明：
∴△ADE≌△A'D'E', ∴∠BAC=∠B'A'C'.
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
相等或互补.
D
E
D′
E′
对于图(2)，同理可证∠BAC=180°－∠B'A'C'.
∴如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
Q
练习三：
在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
证明:：因为P、N分别为AB,AC的中点，所以PN//BC，PN=BC
又因为M、N分别为A1C1、AC中点，所以 A1M//NC,A1M=NC所以四边形 A1NCM为平行四边形,于是A1N//MC,A1N=MC，
且∠BCM与 ∠PNA1 对应边方向相同，所以∠PNA1＝∠BCM.
课堂练习
1. 如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
根据基本事实4，这些折痕互相平行.
2. 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′平行的棱共有几条？分别是什么？
3条，分别是BB′，CC′，DD′.
证明：
3. 如图，AA′，BB′，CC′不共面，且AA′ BB′，BB′ CC′. 求证：△ABC≌△ A′B′C′.
∵AA′ BB′，BB′ CC′.
AA′ CC′，
∴四边形ABB′A′，BCC′B′都是平行四边形.
∴AB=A′B′，BC=B′C′，
∴四边形ACC′A′是平行四边形.
又由AA′ BB′，BB′ CC′可得
∴AC=A′C′，
∴△ABC≌△ A′B′C′.
解：
4. 如图，在四面体A-BCD′中，E, F, G分别为AB, AC, AD上的点. 若EF//BC, FG//CD，则△EFG和△BCD有什么关系？为什么？
∵EF//BC，FG//CD.
又∠EFG和∠BCD的两边分别平行并且方向相同.
∴∠EFG =∠BCD.
因此△EFG∽△BCD.
△EFG∽△BCD，理由如下：
随堂检测
1、下列命题中，其中正确的是( )
A .若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行
B.若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行
C.若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
D.若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行
C
2、如图，设E,F,G,H依次是空间四边形，ABCD的边AB,BC,CD,DA上除端点外的点，且AE/AB=AH/AD=λ，CF/CB=CG/CD=μ，则下列结论不正确的是（ ）
A 当λ=μ时，四边形EFGH是平行四边形
B 当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C 当λ=μ=1/2时，四边形EFGH是平行四边形
D 当λ=μ≠1/2时，四边形EFGH是梯形
D
解：如图，连接BD
∵AE/AB=AH/AD=λ，∴EH//BD,且EH=λBD
同理，FG//BD,且FG=μBD∴EH//FG
∴当λ=μ时，EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形∴A,C正确，D错
当λ≠μ，EH≠FG,四边形EFGH是梯形∴B正确
3.如图所示，在空间四边形中，点分别为，的中点.求证：四边形是平行四边形.
解：因为在空间四边形中，分别为
的中点，
所以，，.
所以
所以四边形是平行四边形.
4.如图所示，在正方体中，分别是，，的中点.求证：.
证明：因为，分别是，的中点，
所以，且.
所以四边形是平行四边形.
所以.同理可证.所以.
5.如图，在正方形中，分别为棱
，的中点.求证：.
证明：∵为的中点，∴.
又∵为的中点，∴
又，，∴，.
∴四边形为平行四边形.
∴.同理可证.
∵与的对应边平行且方向相同，
∴.
6.如图，在三棱柱中，分别是，的中点.求证：.
证明：因为，分别是，的中点，
所以，所以四边形是平行四边形,所以.
同理可证.
又与方向相同，
所以.
7.如图，在正方形中，分别为棱
的中点.求证：
(1)四边形为平行四边形；(2).
证明：(1)∵为正方体，∴，且.
又为别为棱的中点，∴,且.
∴四边形为平行四边形.
∴且.
又且，∴且.
∴四边形为平行四边形.
7.如图，在正方形中，分别为棱
的中点.求证：
(1)四边形为平行四边形；(2).
证明：(2)由(1)知四边形为平行四边形，
∴.
同理可得四边形为平行四边形.∴.
∵和方向相同，
∴.
8.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，分别在，上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线.直线与是否平行，如果平行，请给出证明；如果不平行，请说明理由.
解：连接并延长交于，连接，则在，确定的平面内，且在上，所以在平面上，则即为直线与确定的平面与平面的交线.
因为底面是平行四边形，所以.
所以，所以.
因为点，分别在，上，且，，
所以，所以.所以，即直线.
1. 空间中两直线平行的性质
2. 等角定理
课堂小结：
性质4 平行于同一条直线的两条直线平行.
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.