高二数学第二学期---
导数综合基础训练卷01
一、单选题
1．设函数是函数的导函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知函数f(x)的图像在点处的切线为l，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．1
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．自由落体运动的物体下落的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数，取，则时的瞬时速度是多少（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上有且仅有2个极值点
C．在区间上有且仅有3个零点
D．在区间上存在极大值点
7．函数的单调递减区间是（ ）
A．（-∞，） B．（-2，-） C．（，2） D．（2，+∞）
8．已知函数f（x）在R上的导函数为，则“=0”是“x0是f（x）的极值点”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
9．若直线：是曲线的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
10．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．若函数的图象在处的切线斜率为，则实数__________.
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
13．已知函数，则______.
14．已知函数在处取得极值0，则______．
15．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则__________．
三、解答题
16．已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求曲线在点处的切线方程.
17．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
18．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围.
19．已知.
(1)若函数在处取得极值，求实数的值；
(2)若，求函数的单调递增区间；
20．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.高二数学第二学期---
导数综合基础训练卷01
一、单选题
1．设函数是函数的导函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的导数公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B.
2．如图，已知函数f(x)的图像在点处的切线为l，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．1
【答案】D
【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算.
【详解】由图像可得，切线过点和，切线斜率为，，
切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：D.
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算法则以及复合函数的求导法则，求出各项的导数，即可得出答案.
【详解】对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，，故D项错误.
故选：B.
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.
【详解】函数的定义域为，其导函数，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为1，又，
故曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
5．自由落体运动的物体下落的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数，取，则时的瞬时速度是多少（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【分析】时的瞬时速度是,求导，代入即可求解.
【详解】，故时的瞬时速度是.
故选:B.
6．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上有且仅有2个极值点
C．在区间上有且仅有3个零点
D．在区间上存在极大值点
【答案】D
【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可.
【详解】由图可知，在区间为负，单调递减，
在区间为正，单调递增，故A错误；
在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负，
故有3个极值点，故B错误；
由选项B可知，只能判断在区间上有3个极值点，
当的3个极值都小于0时，至多只有1个零点，
当的3个极值有正有负时，至少有1个零点，
所以无法判断零点个数，故C错误；
在区间上为正，单调递增，
在区间上为负，单调递减，
则为极大值点，故D正确；
故选：D.
7．函数的单调递减区间是（ ）
A．（-∞，） B．（-2，-） C．（，2） D．（2，+∞）
【答案】C
【分析】求函数得导数，令解不等式得出结果即可.
【详解】已知函数，
则.
由，解得，
所以的单调递减区间为.
故选：C.
8．已知函数f（x）在R上的导函数为，则“=0”是“x0是f（x）的极值点”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】根据极值点定义和充分条件、必要条件定义即可判断．
【详解】由极值点的定义，若为的极值点，则有，而由不一定推得为的极值点，例如，
故“”是“是的极值点”的必要不充分条件.
故选：D
9．若直线：是曲线的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】由，得，
设切点，则，
故切线方程为，即，
又因切线为，所以，即，因此.
故选：A.
10．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故答案为:A.
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．若函数的图象在处的切线斜率为，则实数__________.
【答案】##
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求
【详解】因为，所以，所以在处的切线斜率，解得．
故答案为：．
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先计算，在借助导数得，即可求解切线方程.
【详解】,
又，，
故切线方程为，即，
故答案为：.
13．已知函数，则______.
【答案】##
【分析】将视为常数，在 中令求出的值，从而求出的解析式，再求即可.
【详解】因为，
所以，
将代入得，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
14．已知函数在处取得极值0，则______．
【答案】11
【分析】求出导函数，然后由极值点和极值求出参数值即可得，注意检验符合极值点的定义．
【详解】，则，即，解得或
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
令，得或；令，得．
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．
故答案为：11．
15．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则__________．
【答案】
【分析】由函数和，分别求出，以及和，代入曲率公式计算，化简求值即可．
【详解】，则，
，，；
，则，
，，；
则
故答案为：
三、解答题
16．已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求曲线在点处的切线方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由题意可得，求出导数，代入计算即可；
(2)由(1)可知，从而可得，切线的斜率，用点斜式表示出直线的方程，再化成斜截式即可.
【详解】（1）解：∵，
因为函数在处取得极值，
所以，
即，
解得；经检验成立
（2）解：由（1）知.
∴.
∴，.
∴，
∴所求切线方程为.
17．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)递增区间为，；递减区间为
(2)最大值为59，最小值为-49
【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；
（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.
【详解】（1）的定义域为R，且，
令得，令得，
所以递增区间为，，递减区间；
（2）
x -3 (-3，-1) -1 (-1，1) 1 (1，3) 3
+ 0 - 0 +
-49 单调递增 极大值11 单调递减 极小值-1 单调递增 59
所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.
18．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）求导得到，确定函数的单调区间，根据单调区间计算极值得到答案.
（2）在上恒成立，得到，解得答案.
【详解】（1）当时，，，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，无极大值.
（2）在上恒成立，即在上恒成立，所以.
19．已知.
(1)若函数在处取得极值，求实数的值；
(2)若，求函数的单调递增区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据，求出的值，检验即可；
（2）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调递增区间即可；
【详解】（1）解：因为，
所以，依题意，即，解得，
此时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意，所以.
（2）解：因为，
所以，，
则，
令，则或，
当时，令可得，
函数的单调递增区间为；
当时，令，可得或，
函数的单调递增区间为，；
当时，在上恒成立，
函数的单调递增区间为；
当时，令可得：或，
函数的单调递增区间为，；
综上可得：当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，，
当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，.
20．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)单调增区间；减区间
(2)
【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；
（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，
，
令可得，列表如下：
取值为正 取值为负
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，
函数的定义域为，，
由，可得，列表如下：
取值为正 取值为负
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数的极大值为，
且当时，，
当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，
且，，
又，
根据以上信息，作出其图象如下：
当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
