2023年全国新高考高三押题卷（四）数学试题（含解析）

2023年高考押题卷
数学(四)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3A．2　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　D．5
2．已知复数z＝i(1＋i)，则＝(　　)
A．－i B. －＋i
C．－i D. －＋i
3．已知f(x)在R上连续，y＝f′(x)是y＝f(x)的导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数f(x)极值点的(　　)
A．充要条件 B. 充分不必要条件
C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是(　　)
A．等边三角形 B. 等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形 D. 其他等腰三角形
5．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．事件A与B互斥 B. 事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D. 事件A与B既互斥又相互独立
6．已知cos (＋α)＝(－<α<)，则sin (α＋)＝(　　)
A． B. C． D.
7．已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B. (－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－，)
8．函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x)在R上存在导函数f′(x)，且在(0，＋∞)上f′(x)A． B．∪
C． D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是(　　)
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
10．已知实数m、n和向量a、b，下列结论中正确的是(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb B. (m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D. 若ma＝na(a≠0)，则m＝n
11．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋33n(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　)
A．{an}是递增数列 B. an＝－2n＋34
C．当n＝16或17时，Sn取得最大值 D. |a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝452
12．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为4x－3y＝0，过点(5，0)作直线l交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有(　　)
A．t＝16或－9
B．该双曲线的离心率为
C．满足＝的直线l有且仅有一条
D．若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线l的斜率的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x，则f(－1)＝________．
14．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p＝________．
15．已知3a＝5b＝A，则＋＝2，则A等于________．
16．如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________cm3.
　
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在△ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝－.
(1)求C；
(2)若c＝2a，求sin B．
18．(12分)已知数列{an}为首项a1＝的等比数列，其前n项和Sn中S3＝，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log|an|，Tn＝＋＋…＋，求Tn.
19.
(12分)如图，四棱锥P ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，BC＝CD＝2AB＝2，PB＝PD＝2，PC＝，AD＝3AM，N为PC中点．
(1)证明：BD⊥PC；
(2)求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．
20．(12分)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出冠军．积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为p(0(1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
(2)第10轮比赛中，记张三3∶1取胜的概率为f(p).
①求出f(p)的最大值点p0；
②若以p0作为p的值，这轮比赛张三所得积分为X，求X的分布列及期望．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(2，0)，M(－1，0)，N(1，0)，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆O1内切．
(1)证明|PM|＋|PN|为定值，并求点P的轨迹Ω的方程．
(2)过点A的直线与轨迹Ω交于另一点Q(异于点B)，与直线x＝2交于一点G，∠QNB的角平分线与直线x＝2交于点H，是否存在常数λ，使得＝λ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋－5.
(1)证明：f(x)<；
(2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有两个不同的公共点，求实数a的取值范围．
2023年高考数学押题卷(四)
1．解析：由题意，A∩B＝{5，7，11}，故A∩B中元素的个数为3.故选B.
答案：B
2．解析：∵z＝i(1＋i)＝－＋i，
∴|z|＝2，＝－－i，
∴＝－＝－＝－＋i.故选D.
答案：D
3．解析：f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点，还需要在x＝x0两侧的单调性不相同．
x0是f(x)的极值点时，由于f(x)在R上连续，所以f′(x0)＝0.
所以f′(x0)＝0是x0为函数f(x)极值点的必要不充分条件．故选C.
答案：C
4．解析：因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥母线长为，圆锥底半径r＝，所以此圆锥的轴截面是等边三角形．故选A.
答案：A
5．解析：因为P()＝，所以P(A)＝1－P()＝1－＝，
又P(AB)＝，P(B)＝，所以P(AB)＝P(A)·P(B)，则A与B相互独立；
因为P()≠P(B)，所以事件A与B显然不对立，无法确定事件A与B是否互斥．故选C.
答案：C
6．解析：∵cos (＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，
∴－<α<0，∴cos α＝.
∴sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝.故选A.
答案：A
7．解析：易知点B(a，2)在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线，
设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，
即kx－y－2＝0，
由d＝＝1，得k＝±，
∴切线方程为y＝±x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为(－，2)，(，2)，
故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).故选B.
答案：B
8．解析：由函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，可知函数为奇函数，
∵f(1－m)－f(m)≥[(1－m)3－m3]，
即f(1－m)－(1－m)3≥f(m)－m3，
构造函数g(x)＝f(x)－x3，
由题意知：在(0，＋∞)上，g′(x)＝f′(x)－x2<0，
故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵f(x)为奇函数，
∴g(－x)＝f(－x)＋x3＝－f(x)＋x3＝－g(x)，
即g(x)为奇函数，
故g(x)在R上单调递减，
因此原不等式可化为：g(1－m)≥g(m)，
即1－m≤m，解得m≥.故选D.
答案：D
9．解析：甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，A正确；s＝191>110＝s，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B正确．
甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：对于A选项，m(a－b)＝ma－mb，A对；
对于B选项，(m－n)a＝ma－na，B对；
对于C选项，若ma＝mb，则m(a－b)＝0，所以，m＝0或a＝b，C错；
对于D选项，若ma＝na(a≠0)，则(m－n)a＝0，所以，m－n＝0，即m＝n，D对．
故选ABD.
答案：ABD
11．解析：因为Sn＝－n2＋33n(n∈N*)，
所以Sn－1＝－(n－1)2＋33(n－1)(n≥2)，
两式相减得an＝－2n＋34，
当n＝1时，a1＝32适合上式，
所以an＝－2n＋34，
因为an＋1－an＝－2<0，所以数列{an}是递减数列，
由an＝－2n＋34≥0，解得n≤17，且a17＝0，
所以当n＝16或17时，Sn取得最大值，
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a30|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－a30
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋a17＋a18＋a19＋…＋a30)，
＝2×－＝454.故选BC.
答案：BC
12．解析：因为双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为4x－3y＝0，
所以＝，解得t＝16，故A错误；
双曲线方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5，
所以该双曲线的离心率e＝，故B正确；
点(5，0)为双曲线的右焦点，
当x＝5时，y＝±，
当A，B两点都在双曲线的右支上时，≥，
因为＝，所以这种情况的直线AB只有一条，且AB与x轴垂直，
当A，B在双曲线的左右两支上时，
可得≥2a＝6，
而>6，可得这样的直线有两条，
综上所述，满足＝的直线l有3条，故C错误；
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
要使A和B分别在双曲线左、右两支上，
则直线l的斜率的取值范围是，故D正确．
答案：BD
13．解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x，则
f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2×1)＝－3.
答案：－3
14．解析：抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，)，
将y＝代入x2＝2py可得x＝±p，即有A(p，)，B(－p，)，
所以＝2p，所以S△AOB＝××2p＝18，解得p＝6.
答案：6
15．解析：∵3a＝5b＝A，∴a＝log3A，b＝log5A，A>0.
∴＝logA3，＝logA5.
又∵＋＝2，
∴logA3＋2logA5＝2 logA3＋logA25＝2，
即logA75＝2，∴A2＝75，∵A>0，∴A＝5.
答案：5
16．解析：设圆锥底面圆的半径为R cm，圆柱形冰块的底面圆半径为x cm，高为h cm，由题意可得，×(2R)2＝16，解得R＝4，h≤tan ·(R－x)＝(4－x)(00；当答案：
17．解析：(1)因为cos B＝－，
即2c cos B＝2a－b，由正弦定理可得2sin C cos B＝2sin A－sin B，
又sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)，
即2sin C cos B＝2sin (B＋C)－sin B，
所以2sin C cos B＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin B，
即2sin B cos C＝sin B，因为sin B>0，所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为c＝2a，所以sin A＝sin C＝×＝，
因为c>a，所以cos A＝＝，
所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×＋×＝.
18．解析：(1)若q＝1，则S3＝≠不符合题意，∴q≠1，
当q≠1时，由，得，
∴an＝·(－)n－1＝(－)n＋1.
(2)∵bn＝log|an|＝log＝n＋1，
∴＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－.
19．解析：(1)连接CM交BD于点O，连接PO，
因为AD＝3AM，延长CM交AB于E，
由AB∥CD，则＝＝，可得AE＝1，
四边形EBCD为正方形，则BD⊥CM，且O为BD中点，
由PB＝PD＝2，则BD⊥PO，且CM∩PO＝O，CM，PO 平面PCM，
所以BD⊥平面PCM，PC 平面PCM，则BD⊥PC；
(2)以C为原点，CD为x轴，CB为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(，，0)，B(0，2，0)，D(2，0，0)，C(0，0，0)，设P(x，y，z)，
由BD⊥平面PCM，BD 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PCM，
由PB＝PD＝2，则PO＝，由BC＝CD＝2AB＝2且BC⊥CD，则OC＝，
又PC＝，故△POC为等边三角形，且平面ABCD⊥平面POC，
所以P(，，)，则N(，，)，
综上，＝(－，－，)，＝(2，－2，0)，＝，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则，令x＝，解得n＝(，，2)，
所以sin θ＝＝＝.
20．解析：(1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是p＝＝；
(2)①由题可知f(p)＝Cp3(1－p)＝3p3(1－p)，
f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)，
令f′(p)＝0，得p＝，
当p∈(0，)时，f′(p)>0，f(p)在(0，)上单调递增；
当p∈(，1)时，f′(p)<0，f(p)在(，1)上单调递减．
所以f(p)的最大值点p0＝，
②X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)3＝(1－)3＋C××(1－)3＝；
P(X＝1)＝Cp2(1－p)3＝C×()2×(1－)3＝；
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2p＝C()2×(1－)2×＝；
P(X＝3)＝p3＋pCp2(1－p)＝()3＋C()2×(1－)×＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.21.解析：
(1)如图，以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆O1内切，
则|OO1|＝－
＝2－.
连接PN，因为点O和O1分别是MN和PM的中点，所以|OO1|＝.
故有＝2－，即|PN|＋|PM|＝4，
又4>2＝|MN|，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆．
因为2a＝4，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故Ω的方程为＋＝1.
(2)存在λ＝满足题意．
理由如下：设Q(x0，y0)，G(2，y1)，H(2，y2).显然y1y2>0.
依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为x＝my－2(m≠0)，
因为点G在这条直线上，所以my1＝4，m＝.
联立得(3m2＋4)y2－12my＝0的两根分别为y0和0，
则y0＝，x0＝my0－2＝，
所以kQN＝＝＝＝，kNH＝y2.
设∠BNH＝θ，则∠BNQ＝2θ，则kQN＝tan 2θ，kNH＝tan θ，
所以tan 2θ＝＝＝，整理得(y1－2y2)(y1y2＋2)＝0，
因为y1y2>0，所以y1－2y2＝0，即y2＝y1.
故存在常数λ＝，使得＝λ.
22．解析：(1)证明：要证f(x)<，即证：当x∈(0，＋∞)时，不等式ln x－<0恒成立．
令F(x)＝ln x－，则F′(x)＝－＝，
故当00，F(x)单调递增；
当x>4时，F′(x)<0，F(x)单调递减．
则F(x)max＝F(4)＝ln 4－2<0，故f(x)<.
(2)由f(x)＝g(x)可得a＝＋－＝，
构造函数h(x)＝－，其中x>0，
则h′(x)＝＋＝，
当00，ln x<0，则h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增，
当x>1时，4－4x<0，ln x>0，则h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝3，
令φ(x)＝x ln x＋5x－2，则当x>1时，φ(x)>5x－2>0，
当0作出函数h(x)与y＝a的图象如图所示：
由图可知，当0因此，实数a的取值范围是(0，3).