四川省泸州市重点中学2023届高三下学期高考冲刺一数学文科试题（含解析）

四川省泸州重点中学高2020级高三下期高考冲刺一 数学文科
时间:120分钟 满分:150分
一 单项选择题 （每题5分，共12道小题，共计60分）
1.已知全集 ，集合，则（ ）
A. B. D.
2.若复数 ，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列 ，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.交通事故是造成道路堵塞的主要原因之一，如图，这是某市连续 日的各类交通事故发生次数统计图，若当日各类交通事故发生次数小于表示道路通畅，当日各类交通事故发生次数大于表示道路严重拥堵，其余情况表示道路中度拥堵，则下列说法正确的是（ ）
A.这 日道路中度拥堵的频率为
B.这 日交通事故发生次数的极差为
C.这 日交通事故发生次数的中位数为
D.这 日交通事故发生次数的平均值小于
5.已知向量 ，且，则（ ）
A. B. C.或 D.或
6.苂光定量 PCR 是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法. 在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量 与扩增次数满足，其中为DNA的初始数量，为扩增效率. 已知某被测标本DNA扩增 次后，数量变为原来的倍，则扩增效率约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
7.已知实数 满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则（ ）
A. B. D.
9.已知圆 和圆的交点为，直线与圆交于两点. 有如下四个结论：
① 直线 的方程为；
② 圆 上存在两点和，使得；
③ 圆 上的点到直线的最大距离为；
④ 若 ，则或.
则正确结论的个数为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图所示，则余下部分的几何体的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数 满足. 若， 则（ ）
A. B. C. D.
12.已知双曲线 为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A. B.
C. D.
二 填空题（每题5分，共 4道小题，共计20分）
13 已知函数 ，则函数图象在处的切线方程为___________________。
14已知椭圆 的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点 为，点是椭圆上位于第一象限内的点，且为坐标原点，则椭圆的离心率为_____________。
15在边长为 的菱形中，，将菱形沿对角线翻折，取的中点，连接，若，则三棱雉的外接球的半径为_______________。
16已知各项都不为 的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是_____________。
三 解答题（共6道小题，共计70分，22题，23题，选做一题，多写按照第一题计分，写清楚必要的演算步骤和解题过程）
17 （本题满分12分）研究发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对 个接种与未接种牛痘疫苗的猴痘病毒密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒的情况，得到下面的列联表：
（1）是否有 的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
（2）现从样本中未接种牛痘疫苗的人群中按分层抽样方式抽取 人做进一步观察，然后从这人中随机抽取人进行数据采集，记抽取的人中未感染猴痘病毒的人数为，求的分布列及数学期望.
附：,
18. （本题满分12分）在 中，角所对的边分别为.
（1）求角 的值；
（2）若 ，边上的中点为，求的长度.
19 （本题满分12分）如图所示，在多面体 中，底面为矩形，且底面，，，.
（1）证明：平面；
（2）求三棱雉 的体积.
20. （本题满分12分）已知函数 .
（1）若 存在两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若 ，且在上有两个极值点，，求证：.
21. （本题满分12分）已知抛物线 的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点.
（1）求 的值；
（2）若斜率不为 的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由。
在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修 4-4: 坐标系与参数方程]（（本题满分10分）在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）过点 的直线与曲线相交于两点，求的值.
23 [选修 4一5: 不等式选讲]（（本题满分10分）设函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）求直线 与的图象围成的三角形的面积的最大值.
参考答案及解析
1. 【答案】A 【解析】因为 ，所以.
2. 【答案】D 【解析】因为 ，所以.
3. 【答案】B 【解析】设等比数列 的公比为，则，
解得 ，故.
4. 【答案】D 【解析】A、这 日道路中度拥堵的频率为，故 A 项错误；
B、极差为 ，故 B 项错误；
C、中位数为 ，故 C 项错误；
D、
，故 D 项正确.
5. 【答案】C 【解析】由 ，解得或.
6. 【答案】C 【解析】由题意知 ，即，
即 ，所以，解得.
7. 【答案】A 【解析】当 取得最小值时，过与的交点，此时.
8. 【答案】C 【解析】因为函数 的最小正周期为，
所以 ，所以.
因为 是的一个极值点，所以，
所以 ，
因为 ，所以，
所以 ，
所以 .
9. 【答案】B 【解析】圆 的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以.
因为两圆相交，所以将两圆的方程作差可得 ，即直线的方程为，① 错误；
圆心 到直线的距离为，所以，对于圆上的任意两点，② 错误；
圆心 到直线的距离的最大值为，③ 正确；
因为 ，所以圆心到直线的距离为，所以，故或，④ 正确.
10. 【答案】C
【解析】
由已知中的三视图，得圆雉母线 ，圆雉的高，圆雉的底面半径为，截去的底面圆弧的圆心角为，
故该几何体的侧面积为
底面剩余部分的面积为 ，
故几何体的表面积为 .
11. 【答案】B 【解析】，
令 ，得，
因为 ，所以，
令 ，得，
即 ，则，
上面两式子相加得 ，所以，
故 ，故是以为周期的函数，且.
所以 .
12. 【答案】B 【解析】设 为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图所示，过点作于点，
因为 ，所以，
因为 ，
所以 ，所以，
故 ，得，
因为 ，所以，故点，
将 代入双曲线中，
即 ，化简得，
，
解得 或(舍去)，故 B 项正确.
13. 【答案】
【解析】 ，则切点为，故所求切线方程为，即.
14 【答案】 【解析】设为半焦距，因为，所以，故点，因为，整理得，所以，得.
15 【答案】 【解析】如图所示，易知和都是等边三角形，取的中点，易知，因为 平面平面，所以，因为平面，所以平面，在中，，取的外心为，过作，则三棱雉的外接球的球心在直线上，连接，令，在线段上取点，使得，连接，则在和中，可得解得.
16【答案】
【解析】因为，所以当时，，则，因为数列的各项都不为，所以，因为，所以，故数列的奇数项是以为首项，公差为的等差数列，；数列的偶数项是以为首项，公差为的等差数列，.故数列的通项公式为,令，，，则则随着的增大而增大，即在处取最小值，，因为对一切，恒有成立，所以, 解得，故能取到的最大整数是.
17【解析】（1）因为 ，
所以有 的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关；
（2）由题意知，从未接种牛痘疫苗且感染猴痘病毒的人群中抽取 人，从未接种牛痘疫苗且未感染猴痘病毒的人群中抽取人, 再从这人中随机抽取人，则的所有取值为，
所以 的分布列为
.
18解析】（1），
，
，
；
（2）是边上的中线，，
， .
19【解析】（1）取线段 的中点，连接，因为四边形是矩形，且，
所以 且，
因为 且且，所以 且，所以且，
所以四边形 是平行四边形，则，
因为 平面平面，所以平面.
（2）延长线段 至点，使得，连接, 易知多面体为直三棱柱，
则三棱雉 的体积.
20【解析】（1）由 ，得，
因为方程 有两个不等实根，即方程有两个不等实根，
所以 ，即，即的取值范围为；
（2），在上有两个极值点，
，且为方程的两个根，即.
，即，
，
将 代入上式，得，
由题意，需证 ，
令 ，求导得，
当 时，，则在上单调递减，
即 ，故.
21【解析】（1）如图所示，过点 作，垂足为交轴于点，
由题得 ，所以，
因为 ，所以是等边三角形，
因为 是的中点，所以，故 ，所以,
所以 ，所以，即；
（2）由（1）可知抛物线的方程是 ，设直线的方程为，
则 ，
因为 ，所以,
即 ，即，
又 ，所以，故，
联立 ，消去，得，则，
所以 ，所以，
设点 到直线和直线的距离分别为，
则由 得，
所以点 到直线与到直线的距离之比是定值，定值为.
22【解析】（1）由 (为参数)，得，
由 得，则曲线的直角坐标方程是；
（2）将直线 (为参数) 化为标准形式(为参数)，
将其代入 ，得，
化简得 ，
易知 ，则，
所以 .
23【解析】（1）因为 ，
所以不等式 等价于或或，解得，
综上可得不等式 的解集为；
（2）作出 的大致图象，如图所示：
由图可知，当 时，直线与的图象围成的的面积最大，
由（1）知 ，
令 ，即或，
解得 或，因为当时，函数取得最小值，
所以 的面积的最大值为.
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