数学人教A版（2019）必修第二册8.6.1 直线与直线垂直（共29张ppt）

(共29张PPT)
8.6.1 直线与直线垂直
第 8章 立体几何初步
人教A版2019必修第二册
学习目标
1.会求给定两条异面直线所成的角的大小.
2.理解异面直线所成的角的概念.
3. 理解异面直线垂直的定义.
4.会证明空间中两条直线垂直．
8.6.1　直线与直线垂直
复习导入
与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用.类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质.
回顾1：空间两直线的位置关系有哪几种？
相交、平行、异面.
回顾2：在平面内，两直线所成的角是什么？
在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90°的角称为它们的夹角，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.
新知导入
前面我们认识了空间直线的平行关系，那么空间中的垂直又是什么样的呢
A
D’
C’
B’
A’
D
C
B
空间两条直线的位置关系：
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
在初中我们已经研究了平行直线和相交直线. 本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.
探求新知
类似于研究直线与平面平行的判定, 我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题.
根据平面与平面平行的定义可知，若两个平行平面，则它们没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.
也就是说，如果两个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
平面与平面平行的判定问题：
思考 如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢
观察 如图示, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗 如果不同，如何表示这种差异呢
不同.
可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系.
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角, 其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.
类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.
我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 其中a′//a, b′//b.
空间
平面
异面直线所成的角：
a′
O

a′
b′
直线a、b所成角的大小与点O的位置无关.
异面直线所需的角
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
当两条直线a, b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°. 所以空间两条直线所成角α的取值范围是[0°, 90°].
O

α
b
a
a′
异面直线垂直：
思考：异面直线所成角的取值范围是____________.
(0°, 90°]
练习一
1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.( )
2.异面直线a与b所成角可以是0°.( )
3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.( )
X
√
X
注意： 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.
2.当直线a与b所成角是0°时，两直线平行，即共面.
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB, BC, CD, DA, A′B′, B′C′, C′D′, D′A′.
(2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′, ∴∠B′BA为直线BA′与CC′所成的角. 而∠B′BA=45°. ∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°.
(3) 连接A′C′, BC′. ∴∠BA′C′为直线BA′与AC所成的角.
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′ =60°，
∴直线BA′与AC所成的角等于60°.
求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角：求角度，常利用三角形.
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
例2 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1
的中心，求证：AO1⊥BD.
B
D
C
A1
B1
C1
D1
A
O1

证明：如图示，连接B1D1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴ BB1 DD1.
∴四边形BB1D1D是平行四边形. ∴B1D1//BD .
∴直线AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角.
连接AB1，AD1，易证AB1=AD1.
又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴ O1是B1D1的中点，
∴ AO1⊥B1D1，
∴ AO1⊥BD.
练习二
如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB与CD的位置关系为（ ）
A．相交 B．平行 C．既不相交，也不平行 D．不能确定
解：由题,则正方体的直观图如图所示,
易知, AB与CD既不平行,也不相交,
故选:C
练习三
四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_______
解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连接DE，则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的角为60° 。
利用勾股定理证直线与直线垂直
在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角
解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB
∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角
MF=ME=2，EF=
∴MF +ME =EF
∴∠EMF=90°
∴异面直线AB和CD的夹角是90°。
练习四
如图，在正方体中，N,M,P分别是A1B1 ,CC1，AD的中点，则异面直线D1N 与MP所成角的大小是（ ）
A 90° B 60° C 45° D 30°
解：取BB1中点K,连接A1K,则A1K//D1N,取B1K的中点Q,连接MQ,PQ,则MQ//A1K,所以MQ//D1N,所以∠PMQ即为所求夹角。如图，设正方体棱长为4，由勾股定理易知，PQ =PB +BQ =29，PM =24，MQ =5，所以PQ =PM +MQ ，所以∠PMQ=90°。
课堂练习
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1) 如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. ( )
(2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ( )
√
×
2. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中，
(1) 与直线AB垂直的直线有_____条；
(2) 与直线AB异面且垂直的直线有______条；
(3) 与直线AB和A ‘D’都垂直的直线有______条；
(4) 与直线AB和A 'D'都垂直且相交的直线是直线________.
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
8
4
4
AA′
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
3. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝ ，AA'＝2，求:
(1) 直线BC和A'C'所成的角的大小；
(2) 直线AA'和BC'所成的角的大小.
解：(1) 在长方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵BC∥B′C′,
∴∠B′C′A′为直线BC与A′C′所成的角.
在Rt△A′B′C′中， A′B′=B′C′，∴∠B′C′A′=45°.
∴直线BC与A′C′所成的角的大小为45°.
(2) ∵AA′∥BB′, ∴∠B′BC′为直线AA′与BC′所成的角.
在Rt△B′BC′中， BB′=2，B′C′=，
∴tan∠B′BC′=，∴∠B′BC′=60°，
∴直线AA′与BC′所成的角的大小为60°.
4. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB=BB′=2.
求证：BD⊥AC′.
B
D
C
A′
B′
C′
A
E

F

证明：
如图示，取AC′的中点E，连接DE，取B′B的中点F，连接AF，EF.
随堂检测
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ).
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能
答案：.
【解析】 当两个面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面.
2.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于( ).
A. B. C. D.
答案：.
【解析】 如图，取中点，连接、，则.易知，相等，则为等边三角形，则与所成的角为，则与所成的角为.
3.如图，在正方体中，与所成的角的大小是________.
答案：.
【解析】 如图，连接，则，
∴(或其补角)就是与所成的角，连接，在正方体中，，∴，即所成的角的为.
4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，则与所成的角的是________.
答案：.
【解析】 ∵四边形是平行四边形，∴
∴是与所成的角.
又∵，∴.
5.如图所示，是圆的直径，点是弧的中点，分别是、的中点，求异面直线与所成的角.
解：∵分别是的中点，∴
因此是异面直线与所成的角，又因为是圆的直径，点是弧的的中点，所以是以为直角的等腰直角三角形，于是，故异面直线与所成的角为.
课堂小结
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°, 90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
(1) 求异面直线所成角的基本方法：
(2) 证明两条异面直线垂直的步骤：
① 恰当选点，用平移法构造出一个相交角．
② 证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．
③ 把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
④ 给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．