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空间几何体的交线与截面问题
空间几何体的交线与截面问题是立体几何的难点也是高考的热点问题，利用平面的性质是处理交线与截面解决问题的关键.进而提升直观想象，逻辑推理数学核心素养.
类型一 空间几何体的交线
【例1】(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为__________.
【答案】
【解析】如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝eq \r(R－D1E2)＝＝.
可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.
又D1P＝，∴B1P＝eq \r(D1P2－D1B)＝1，同理C1Q＝1，
∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，
∴∠PEQ＝，知的长为×＝.
【解题技巧】作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【跟踪训练】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为________.
【答案】
【解析】如图所示，
连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，
由EF∥B1D1，即E，F，B1，D1共面，
由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即Q的轨迹为MN，
由棱长为3，得C1M＝A1C1＝3，则BC1＝6，
又＝＝，则NC1＝BC1＝4，
由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，
则MN＝eq \r(MC＋NC－2MC1·NC1·cos∠A1C1B)＝＝.
类型二 空间几何体的截面问题
【例2】(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【答案】C
【解析】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-181.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-181.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-181.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-181.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-181.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-181.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-181.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-181.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-181.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.
【答案】
【解析】如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，
由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，
故BD＝2，MN＝，
且BM＝DN＝，
∴等腰梯形MNDB的高为
h＝＝，
∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝.
【解题技巧】(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【跟踪训练】(1)(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( )
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积最大值为3
【答案】ACD
【解析】易知A，C正确，B不正确，下面说明D正确，
如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝2，GH＝，
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-185.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-185.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-185.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-185.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-185.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-185.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-185.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-185.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-185.TIF" \* MERGEFORMATINET
OE＝＝＝，
所以S＝2××(＋2)×＝3，故D正确．
(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET
【答案】3
【解析】在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-14.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-14.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-14.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-14.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-14.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-14.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-14.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-14.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-14.TIF" \* MERGEFORMATINET
因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，
设正方体的棱长为3a，
则ME＝2a，MI＝a，
IH＝2a，HG＝a，FG＝2a，EF＝a，
所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，
又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，
故截面多边形的周长为3．
1．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形，求出梯形周长即为所求.
【详解】连接 与的延长线交于点, 连 接与交于点,
因为 , 所以为的中点, 则为的中点,
所以截面为梯形 ,
因为所有棱长均为2,，
所以,,
,
,
故梯形 的周长为 .
故选：D.
2．（2023·全国·模拟预测）在棱长为3的正方体中，O为AC与BD的交点，P为上一点，且，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正方体的性质结合条件作出过A，P，O三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.
【详解】因为，即，
取，连接，则，
又，
所以，
所以共面，即过 ， ，三点的正方体的截面为 ，
由题可知，，，
所以过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为.
故选：D.
3．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过对称转换，由三点共线求得三角形周长的最小值.
【详解】在平面上，设E关于B1C的对称点为M，根据正方形的性质可知，
关于B1C1的对称点为N，，
连接MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为时，
则MN是△PEQ周长的最小值，
，,
∴△PEQ周长的最小值为
故选：B
4．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知、、分别是正方体的棱、和的中点，由点、、确定的平面截该正方体所得截面为（ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】分别取的中点、、，连接，由正方体性质可得答案.
【详解】如图，分别取的中点、、，连接，
由正方体性质，所以平面，且，又交于同一点，所以平面，所以点、、确定的平面即为六边形
故选：D．
5．（2019·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）一正方体的棱长为，作一平面与正方体一条体对角线垂直，且与正方体每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的周长为，则（ ）
A． B． C． D．以上都不正确
【答案】C
【分析】将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，考查的位置，确定．
【详解】解：
将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，如图
而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中，显然，故为定值．
且，故
故选：．
【点睛】本题考查了利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，属于难题．
6．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【分析】根据题意画出与垂直的平面GJKLNM，作出其投影平面AOQCKJ，已知正方体棱长为3，点Р到棱与到棱AD的距离均为1，所以点G，J，K，L，N，M均为各棱的三等分点，求出投影的面积S即可得出答案.
【详解】
由题意可以作出与垂直的平面，
利用面面平行可作出过点P且平行于平面的平面GJKLNM，
则平面GJKLNM与垂直，
作出点M，N的投影O，Q，
平面AOQCKJ的面积S即为所求，
已知正方体棱长为3，点Р到棱与到棱AD的距离均为1，
所以点G，J，K，L，N，M均为各棱的三等分点
，
故选：C.
7．（2023·北京·高三统考阶段练习）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则以为球心，2为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正三棱锥四个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案.
【详解】
由已知得，，，得
，所以，
其中，以为球心，2为半径的球面与正三棱锥的面的交线如图，为弧与弧，可求得，，故，故，
故，同理，球面与正三棱锥的面和面所交的弧长一致，故以为球心，2为半径的球面与正三棱锥的面，面，面的交线的总长度为：.
而球面与正三棱锥的面的其中交线为三部分长度一样的圆弧，
因为为直角三角形，且，，根据正三棱锥的性质，为三角形的外接圆圆心，故为中点，则，且，所以，，
取，则中，，中，，，故利用余弦定理，可得，所以，弧长，而这样的弧长，球面与正三棱锥的面的交线总共有三部分，故交线长为：
故选：D
8．（多选题）（2022秋·江苏泰州·高三统考期末）如图，两个底面为矩形的四棱锥、组合成一个新的多面体，其中、为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形.平面平面，平面截多面体所得截面多边形的周长为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．多面体有外接球 D．为定值
【答案】BCD
【分析】分析出，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；分析出，利用直角三角形的几何性质可判断C选项；利用面面平行的性质结合平面展开图可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，且，，则，
因为为等腰直角三角形，则，A错；
对于B选项，若，因为为等腰直角三角形，则，设，
从而，从而，
因为，则，故不为等腰直角三角形，矛盾，
故，
若，则，则为等边三角形，矛盾，
故，因为为为等腰直角三角形，则，
，，则平面，
平面，，B对；
对于C选项，连接、交于点，连接、，
因为，，，则平面，
平面，则，故，同理，
因此，多面体有外接球，C对；
对于D选项，设截面与多面体各棱的交点如下图所示：
因为平面平面，平面平面，平面平面，故，
同理可证，，，，，
根据平行线分线段成比例易得,
所以定值.
D对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
9．（多选题）（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别为接CD，CB的中点，点Q为侧面内部（不含边界）一动点，则（ ）
A．当点Q运动时，平面MNQ截正方体所得的多边形可能为四边形、五边形或六边形
B．当点Q运动时，均有平面MNQ⊥平面
C．当点Q为的中点时，直线平面MNQ
D．当点Q为的中点时，平面MNQ故正方体的外接球所得截面的面积为
【答案】BCD
【分析】点Q运动时，平面MNO截正方体所得的多边形可能为五边形成六边形判断A，根据线面垂直即可判断B，根据线线平行可判断C，根据几何体外接球的性质可计算长度求解半径即可判断D.
【详解】如图2所示，当点Q运动时，平面MNO截正方体所得的多边形可能为五边形成六边形，故A错误；
由于平面,所以平面,由于,故直线MN⊥平面，平面MNQ，平面MNQ⊥平面，故B正确；
如图3所示，当点Q为中点时，截面MNSER为五边形，直线MN与直线AC交于点T，易得：，又在平面中，易得，所以，平面MNQ,平面MNQ ,则直线平面MNQ，故C正确；
如图4所示，由C选项可知，，所以球心O到平面MNQ的距离等于点A到平面MNQ距离的三分之一，又由B选项可知，点A到直线ET的距离即是点A到平面MNQ的距离，利用等面积法可得该距离为，所以球心O到平面MNQ的距离，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为，故D正确，
故选:BCD．
10．（多选题）（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．三棱锥的体积不变
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长
【答案】ACD
【分析】根据的最小值为等边三角形的高，可求得A正确；将与矩形沿翻折到一个平面内，可知所求最小值为，利用余弦定理可求得B错误；利用体积桥可求得三棱锥的体积为定值，知C正确；利用体积桥可求得点到平面的距离，根据交线为圆可求得交线长，知D正确.
【详解】对于A，在中，，即是边长为的等边三角形，
的最小值为的高，，A正确；
对于B，将与矩形沿翻折到一个平面内，如图所示，
则的最小值为；
又，，，
在中，由余弦定理得：，
，即，B错误；
对于C，平面，平面，；
四边形为正方形，，
又，平面，平面；
，
即三棱锥的体积不变，C正确；
对于D，设点到平面的距离为，
，，即，解得：，
以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，
交线长为，D正确.
故选：ACD.
11．（多选题）（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，
则（ ）
A．任意，
B．存在，直线与直线相交
C．平面与底面交线长为定值
D．当时，三棱锥外接球表面积为
【答案】AC
【分析】对于A，由题意可得平面，从而可得，即可判断；
对于B，根据异面直线的定义可得；
对于C，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；
对于D，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积.
【详解】解：对于A，，，，，平面，
平面，平面，，故正确；
对于B，因为平面，平面，
所以平面，
与异面，故不相交，故错误；
对于C，延长，交于点，连接交于，为中点，
，
所以,
所以,
所以，
平面平面，
平面与底面交线为，
其中为中点，所以，故正确对；
对于D，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，
圆心设为，半径，
取中点，则平面，，
所以，
所以，
，故错误.
故选：．
12．（多选题）（2023秋·广东清远·高二统考期末）如图，圆锥PO的轴截面PAB为直角三角形，E是其母线PB的中点．若平面α过点E，且PB⊥平面α，则平面α与圆锥侧面的交线CED是以E为顶点的抛物线的一部分，设此抛物线的焦点为F，且CF=3．记OD的中点为M，点N在曲线CED上，则（ ）
A．圆锥PO的母线长为4
B．圆锥底面半径为2
C．建立适当坐标系，该抛物线的方程可能为y2=6x
D．|MN|+|NF|的最小值为3
【答案】ABD
【分析】设圆锥PO的母线PA=2a，根据圆锥的轴截面为直角三角形得到底面半径为a，然后以E为原点，EO所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到C（a，-a），然后利用抛物线的定义和点在抛物线上列方程得到a=p=2，即可判断ABC选项；根据几何知识得到当MN平行于x轴时，|MN|+|NF|取得最小值，然后得到最小值即可判断D选项.
【详解】设圆锥PO的母线PA=2a，则底面半径为a．
以E为原点，EO所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则C（a，-a），设抛物线的方程为y2=2px（p>0），
因为|CF|=a+=3，2a2=2pa，所以a=p=2，所以圆锥PO的母线长为4，底面半径为2，故A，B正确．
因为该抛物线的方程为y2=4x，M（2，），且|NF|=xN+1，所以|MN|+|NF|=|MN|+xN+1．当MN平行于x轴时，|MN|+|NF|取得最小值，最小值为xM+1=3，故C不正确，D正确．
故选：ABD.
13．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）直三棱柱的所有棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．
【答案】##
【分析】设的中点为，再根据题意结合正三棱柱的性质和球的性质即可求解即可.
【详解】设的中点为，则，，
又因为面面，且面面面，
所以面，
所以题中所求交线即为以为圆心，为半径的一段圆弧，
设该圆弧与的交点分别为，
球与侧面的交线如图所示，则，
易知，
所以该圆弧所对的圆心角为，
故所求弧长为.
故答案为：.
14．（2020·浙江·模拟预测）如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，则该多边形的周长为________，该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值为________．
【答案】
【分析】延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，作出截面多边形，由此易求该截面多边形的周长；多边形与平面，ABCD的交线分别为与，由面面平行的性质定理得∥，则为多边形与平面，ABCD的交线所成的角或其补角，利用余弦定理计算即可.
【详解】如图，延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的
延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，
因为正方体的棱长为12，
所以．
因为∥，
所以，
所以，
所以，
同理可得，
所以，
所以，，
所以，．
易知，所以，
又，解得，
所以，，
则该多边形的周长为．
由面面平行的性质定理得∥，
则为多边形与平面，ABCD的交线所成的角或其补角．
因为，所以，
所以该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值为．
故答案为：；
【点睛】本题主要考查截面问题和异面直线所成的角，考查了空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.
15．（2020秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）在棱长为4的正方体中，点P分别是棱的中点，点M是底面ABCD上的动点，且，则平面CPM截正方体所得多边形的边数为________，该多边形的周长为________.
【答案】 5
【分析】先作出截面CRPSQ,分别求出各边长，求出周长即可.
【详解】解：点P是棱的中点，点M是底面ABCD上的动点，，取AB中点Q，
则点M在Q上移动，平面CPM即为平面CQP.
如图所示，取上一点R，使得，
则，延长CQ交DA延长线于点T，
则点T为平面CQP上的点，连结PT交于点S，
则S为平面CQP上点，且由相似可判断，
即平面CMP截正方体所得多边形为五边形CQSPR，
因为正方体棱长为4，
所以周长.
故答案为：5；.
【点睛】用任一平面截正方体,可能截得的截面形状有三边形、四边形、五边形和六边形，做截面的方法：通过作平行线，实现延展平面，可作出界面多边形，并得到截面与正方体的交点.
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空间几何体的交线与截面问题
空间几何体的交线与截面问题是立体几何的难点也是高考的热点问题，利用平面的性质是处理交线与截面解决问题的关键.进而提升直观想象，逻辑推理数学核心素养.
类型一 空间几何体的交线
【例1】(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为__________.
【解题技巧】作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【跟踪训练】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为________.
类型二 空间几何体的截面问题
【例2】(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.
【解题技巧】(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【跟踪训练】(1)(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( )
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积最大值为3
(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\邵园园\\看ppt\\2022 一轮\\数学 人A 新教材\\word\\7-13.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）在棱长为3的正方体中，O为AC与BD的交点，P为上一点，且，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知、、分别是正方体的棱、和的中点，由点、、确定的平面截该正方体所得截面为（ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．（2019·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）一正方体的棱长为，作一平面与正方体一条体对角线垂直，且与正方体每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的周长为，则（ ）
A． B． C． D．以上都不正确
6．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ）
A． B．5 C． D．8
7．（2023·北京·高三统考阶段练习）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则以为球心，2为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2022秋·江苏泰州·高三统考期末）如图，两个底面为矩形的四棱锥、组合成一个新的多面体，其中、为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形.平面平面，平面截多面体所得截面多边形的周长为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．多面体有外接球 D．为定值
9．（多选题）（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别为接CD，CB的中点，点Q为侧面内部（不含边界）一动点，则（ ）
A．当点Q运动时，平面MNQ截正方体所得的多边形可能为四边形、五边形或六边形
B．当点Q运动时，均有平面MNQ⊥平面
C．当点Q为的中点时，直线平面MNQ
D．当点Q为的中点时，平面MNQ故正方体的外接球所得截面的面积为
10．（多选题）（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．三棱锥的体积不变
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长
11．（多选题）（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，
则（ ）
A．任意，
B．存在，直线与直线相交
C．平面与底面交线长为定值
D．当时，三棱锥外接球表面积为
12．（多选题）（2023秋·广东清远·高二统考期末）如图，圆锥PO的轴截面PAB为直角三角形，E是其母线PB的中点．若平面α过点E，且PB⊥平面α，则平面α与圆锥侧面的交线CED是以E为顶点的抛物线的一部分，设此抛物线的焦点为F，且CF=3．记OD的中点为M，点N在曲线CED上，则（ ）
A．圆锥PO的母线长为4
B．圆锥底面半径为2
C．建立适当坐标系，该抛物线的方程可能为y2=6x
D．|MN|+|NF|的最小值为3
13．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）直三棱柱的所有棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．
14．（2020·浙江·模拟预测）如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，则该多边形的周长为________，该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值为________．
15．（2020秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）在棱长为4的正方体中，点P分别是棱的中点，点M是底面ABCD上的动点，且，则平面CPM截正方体所得多边形的边数为________，该多边形的周长为________.
思路引导
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