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线面角
一．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，
则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
【注意】直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．
二．利用向量法求线面角的两种方法
【例1】（2022·全国甲（理）T18） 在四棱锥中，底面．
（1）证明：；
（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
【例2】（2022·浙江卷T19） 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
向量法求直线与平面所成角主要方法是：
1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
2.通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
1．（2023·江西赣州·统考一模）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
3．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．
(1)当时，求三棱柱的体积；
(2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
4．（2023·福建福州·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．
(1)证明：BE平面PAD；
(2)若，平面PAD⊥平面ABCD，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.
(1)证明：平面平面；
(2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.
6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.
(1)证明：直线平面；
(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在三棱锥中，，，．
(1)证明：；
(2)若，，在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求的长．
8．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．
(1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；
(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．
9．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，交于点O，．
(1)若，求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求四棱柱的高．
10．（2023·全国·模拟预测）已知底面为正方形的四棱柱，，E，F，H分别为，，的中点，三角形的面积为4，P为直线FH上一动点且
(1)求证：当时，BP⊥AC；
(2)是否存在，使得线段BP与平面夹角余弦值为．
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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线面角
一．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，
则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
【注意】直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．
二．利用向量法求线面角的两种方法
【例1】（2022·全国甲（理）T18） 在四棱锥中，底面．
（1）证明：；
（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，所以，
故，，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以，又，所以平面，
又因平面，所以；
（2）如图，以点原点建立空间直角坐标系，，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
【例2】（2022·浙江卷T19） 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
向量法求直线与平面所成角主要方法是：
1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
2.通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
1．（2023·江西赣州·统考一模）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）连接，利用线面垂直证明异面直线垂直；
（2）根据为等边三角形，可得的值，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，利用向量的夹角公式即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，为的中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
∵平面，∴，
又∵，且，，平面，∴平面，
又平面，∴．
（2）由为等边三角形，，得，
如图，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，得，取，得，则，
因为为的中点，所以 ，
又，所以，
则，
设直线与平面所成角为，则，
2．（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【分析】（1）取中点，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明平面.（2）分别取中点，连接，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法计算即可求出结果.
【详解】（1）证明：
取中点，连接，
因为正三棱柱，
所以，且，
因为为线段的中点，
所以且.
所以且，
因为为中点，所以.
所以且.
所以四边形是平行四边形.
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：
分别取中点，连接，
因为是正三棱柱，
所以，平面，.
所以平面.
所以，.
以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则.
所以.
设平面的法向量为，
所以，即，
令，解得，所以.
设直线与平面所成角为，，
则，
所以.
即直线与平面所成角为.
3．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．
(1)当时，求三棱柱的体积；
(2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【分析】（1）取的中点为O，根据等边三角形可知，，再计算出各个长度可知，根据线面垂直判定定理可证平面，即为三棱柱的高，根据体积公式求出即可；
（2）根据及余弦定理解出，以为原点建立合适空间直角坐标系，找出点的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出，根据直线面所成角的正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数性质即可求得范围.
【详解】（1）解：如图，取的中点为O，
因为为菱形，且，所以为正三角形，
又有为正三角形且边长为2，则，，
且，，所以，
所以，因为又，
平面，平面，所以平面，
所以三棱柱的体积．
（2）在中，，，
由余弦定理可得，
所以，由（1），，
又，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，所以在平面内作，则平面，
以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
，，
则，即，
取得，设，
则
，
设直线与平面所成角为，
则
，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
4．（2023·福建福州·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．
(1)证明：BE平面PAD；
(2)若，平面PAD⊥平面ABCD，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法证得BE平面PAD.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【详解】（1）取中点，连接．
，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面，
平面．
（2）取中点中点，连接，可得．
平面平面，平面平面平面，
平面．
．
以为原点，以所在直线为轴 轴 轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
因为是等边三角形，
所以，
所以．
则．
设平面的法向量为，由，
可得，令，可得，
从而是平面的一个法向量．
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.
(1)证明：平面平面；
(2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.
【分析】（1）先证明平面，由此即可得到本题答案；
（2）以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，然后代入公式，即可得到本题答案.
【详解】（1）因为，
所以都是等腰三角形，
因为于F，所以F为DE的中点，
则，，
又因为是平面内两条相交直线，
所以平面，
又平面，
所以平面平面 ；
（2）因为，，所以，，，
所以， ，
由（1）知为二面角的平面角
所以，
以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
易得，，知，
因为，，
可得，
所以
设平面的法向量，，
所以，令，则，
所以 ，
又，
设直线与平面所成角为θ，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.
(1)证明：直线平面；
(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【分析】（1）延长和交于点，连接交于点，连接，即可得到，从而得到为中点，即可得到且，从而得到，即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：延长和交于点，连接交于点，连接，
由，故，所以，所以，
所以，所以为中点，
又且，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
则.
所以.
设平面的法向量，由，得，
取，
故所求角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在三棱锥中，，，．
(1)证明：；
(2)若，，在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求的长．
【分析】（1）取中点，连接，，利用线面垂直证明异面直线垂直；
（2）过点作于，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用坐标法计算线面夹角正弦值，进而确定当时线面夹角最大，可得此时的长度.
【详解】（1）取中点为，连接，，
因为，，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
（2）过作，交于点，
由（1）知，平面平面，所以平面，
过作的平行线，交，分别于，，有，，两两垂直，
建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系，
因为，，，
所以，，，
所以，，，
所以，，，，
设，有，．
设为平面的一个法向量，
由，有，所以．
设直线与平面所成的角为，则有，
当时，取最小值，取最大值，即最大，此时．
8．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．
(1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；
(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可证明；
（2）设且，利用空间向量法求出表示出线面角的正弦值，即可求出参数的值，再根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以、，又，
如图建立空间直角坐标系，则、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以，
因为，且不存在使得，即与不共线，
所以与平面不平行且不垂直.
（2）解：设且，则，所以，
直线与平面所成角的正弦值为，
，化简得，解得或（舍去），
因为，平面，所以平面，又平面，平面，
所以，，又，，所以，
，平面，所以平面，
又，所以，
，所以，
所以，即多面体的体积为.
9．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，交于点O，．
(1)若，求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求四棱柱的高．
【分析】（1）由线面垂直性质定理证得，由线面垂直判定定理及性质定理证得，由平面几何知识证得，进而证得平面，再由面面垂直判定定理证得结果.
（2）以O为原点建立空间直角坐标系，运用线面角公式计算即可.
【详解】（1）证明：连接，因为底面是菱形，所以，
又平面平面，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，所以是等边三角形，所以，
在中，又，所以，同理，
所以，即，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）以O为坐标原点，向量的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，
所以．
设平面的一个法向量为，
由得取，则．
设直线与平面所成的角为，
则，
解得或，
即四棱柱的高为或．
10．（2023·全国·模拟预测）已知底面为正方形的四棱柱，，E，F，H分别为，，的中点，三角形的面积为4，P为直线FH上一动点且
(1)求证：当时，BP⊥AC；
(2)是否存在，使得线段BP与平面夹角余弦值为．
【分析】（1）由的面积为4，推导出，即，又，可得平面，当时，为的中点，P在上，可证得平面，从而得；
（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用向量夹角公式列出关于的方程，即可得出结论．
【详解】（1）连接，
因为，
所以，所以，即，
又，，平面，故平面，
当时，，则为中点，P在上，
∵平面，平面，∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，∴；
（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
∴，，，，设，
所以，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，∴，
若线段BP与平面夹角余弦值为，
则，
∴，
∴，
∵，∴方程无解，
∴不存在，使得线段BP与平面夹角余弦值为．
思路引导
母题呈现
方法总结
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