第3讲 平面图形的应用 复习讲义（无答案）

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平面图形的应用
一．知识点梳理
要点一、平行线的判定与性质
要点二、图形的平移
要点三、认识三角形
要点四、多边形的内角和与外角和
二．典型例题
类型一：利用平行线的性质求角
【例1】如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（　　）
A．28° B．22° C．32° D．38°
【变式1】如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）
A．68° B．58° C．48° D．32°
类型二：利用平行线的判定及性质证明平行或角相等
【例2】已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）
【变式1】如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？
【变式2】如图，已知点A．D，B在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠E，试判断DE、BC有怎样的位置关系，并说明理由．
【变式3】如图：已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，请问AB与DE是否平行，并说明理由．
类型三：平移变换的运用以及平移变换作图
【例3】如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右平移3cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　）
A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm
【变式1】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距离为6，则阴影部分的面积（　　）
A．40 B．42 C．45 D．48
【变式2】如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，设DC交AC于G．给出下列结论：
①四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等；
②AD∥EC，且AD＝EC，
则（　　）
A．①，②都正确 B．①正确，②错误
C．①，②都错误 D．①错误，②正确
【变式3】如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC向左平移5个单位得到△DEF．
（1）在正方形网格中，作出△DEF；
（2）设网格小正方形的边长为1，求平移过程中线段AC所扫过的图形面积．
类型四：三角形的三边关系
【例4】用一根长为10cm的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长
为2cm，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式1】为△ABC的三边，化简，
结果是（　　）
A．0 B． C． D．
类型五：三角形内角和与平行线
【例5】如图，将一副三角板如图放置，若AE∥BC，则∠BAD＝（　　）
A．90° B．85° C．75° D．65°
【变式1】一副三角板如图放置，点D在CB的延长线上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，则∠DFB＝（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
类型六：三角形外角性质与平行线
【例6】如图，AB∥CD，∠B＝2∠D，∠E＝22°，则∠D的度数为（　　）
A．22° B．44° C．68° D．30°
【变式1】已知l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝32°，那么∠1等于（　　）
A．28° B．32° C．20° D．16°
【变式2】如图，直线AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．45° B．55° C．35° D．不能确定
类型七：三角形内角和与外角性质
【例7】小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（　　）
A．120° B．150° C．180° D．210°
【变式1】如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　）
A．90° B．180° C．270° D．360°
类型八：三角形内角和与角平分线以及外角性质与角平分线
【例8】如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．
（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为　 　；
（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数　 　；
（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．
【变式2】如图，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．
（1）试说明∠BOA＝90°+∠C；
（2）AD是△ABC的高，∠BOA＝115°，∠BAC＝60°时，求∠DAE的度数．
类型九：多边形内角与外角
【例9】一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【变式1】马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830°，则该多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定
【变式2】过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的（　　）
A．4倍 B．5倍 C．6倍 D．3倍
类型十： 平行线中的辅助线构造
【例10】如图，已知AB∥CD，分别探讨下面的四个图形中∠APC、∠PAB和∠PCD的关系，并请你从所得的四个关系中任选一个，说明成立的理由．
（1）图①的关系是　 　；
（2）图②的关系是　 　；
（3）图③的关系是　 　；
（4）图④的关系是　 　；
（5）图⑤的关系是　 　．
【变式1】如图，已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠B+∠E＝∠D；
（2）F为AB，CD之间的一点，∠E＝30°，∠EFD＝140°，DG平分∠CDF交AB于点G，
①如图2，若DG∥BE，求∠B的度数；
②如图3，若DG与∠EFD的平分线交于点H，∠B＝3∠H，真接写出∠CDF的度数．
课堂训练
1.如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．35° D．50°
2.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），
不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的
夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3.如图，△ABC是一块直角三角板，∠C＝90°，∠A＝30°，现将三角板叠放在一把直尺上，AC与直尺的两边分别交于点D、E，AB与直尺的两边分别交于点F、G，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4.如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（　　）
A．360° B．720° C．540° D．240°
5.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（　　）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
6.如图，两直线与平行，则　　　　．
7.如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠D＝30°，求∠AED的度数．
8.画图：
如图1，三角形ABC可通过平移得到三角形DEF，此时点A落在点D．
（1）请描述三角形ABC经过两次平移后得到三角形DEF的过程．
（2）平移三角形ABC使点B落在点D，在图2中作出平移后的三角形．
9.如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
四．举一反三
1.已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2.如图，已知直线EC∥BD，直线CD分别与EC，BD相交于C，D两点．在同一平面内，把一块含30°角的直角三角尺ABD（∠ADB＝30°，∠ABD＝90°）按如图所示位置摆放，且AD平分∠BAC，则∠ECA＝（　　）
A．15° B．2 C．25 D．30°
3.如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（　　）
A．360° B．300° C．180° D．240°
4.如图，∠1＝∠C，∠2+∠D＝90°，BE⊥FD于G，证明∠B＝∠C．
5.如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．
（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝　 　．（直接在横线上填写度数）
（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．
6.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．
7.（1）如图，在三角形纸片ABC中．∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，折痕为MN．如果∠1＝17°，求∠2的度数；
（2）小明在（1）的解题过程中发现∠1+∠2＝2∠C，小明的这个发现对任意的三角形都成立吗？请说明理由．
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